2.5.4.1. Phân chia nhỏ (Subdivision).
Các kỹ thuật tạo bề mặt đối với sự phân chia nhỏ cũng đƣợc hƣởng lợi từ tính linh hoạt của các bề mặt PDE. Sự phân chia nhỏ là một kỹ thuật tạo bề mặt mà một thiết lập của một tập các điểm xác định một đối tƣợng bề mặt thô đƣợc sửa đổi bằng cách thêm các điểm bề mặt bổ sung theo một quy tắc phân chia cho trƣớc.
Mặc dù kỹ thuật này có thể đạt đƣợc độ mịn của bề mặt ở một mức độ nhất định
nào đó, tuy nhiên các bề mặt phân chia này lại không có cơ chế phát hiện va chạm
và trong một số trƣờng hợp dẫn đến sự chồng chéo không mong muốn mà từ đó hạn
chế cấu trúc liên kết của bề mặt đƣợc tính toán. Trong trƣờng hợp đó các bề mặt
PDE dạng ẩn đƣợc sử dụng để giải quyết vấn đề này. Một số trƣờng vận tốc đƣợc
sử dụng để giải quyết vấn đề này nhƣ độ cong Gaussian, các bề mặt phân tán và
dòng Willmore…Ngoài ra các bề mặt PDE dạng tham số cũng đƣợc sử dụng trong
kỹ thuật phân chia.
2.5.4.2. Hoạt hình(Animation)
Hoạt hình là một lĩnh vực mà các bề mặt PDE cũng đƣợc áp dụng một cách
khá hữu ích. Các quá trình nhƣ kỹ xảo, biểu hiện khuôn mặt và các chuyển động là các ứng dụng có thể hƣởng lợi từ việc sử dụng các mặt PDE. Một trong những lý do để các bề mặt PDE đại diện cho một cơ chế mạnh mẽ trong việc khắc phục những hạn chế cố hữu đối với những vấn đề này là số lƣợng các thông số mô tả một bề mặt PDE là tƣơng đối nhỏ điều này có thể thu đƣợc thông qua các thao tác đối với các phƣơng trình PDE hoặc các điều kiện biên của nó.
Morphing (kỹ xảo) đề cập đến một quá trình mà một đối tƣợng đƣợc chuyển đổi thành một đối tƣợng khác và trong phần lớn các trƣờng hợp quá trình này là cần thiết để diễn tả đối tƣợng một cách trôi chảy và thẩm mỹ nhất có thể. Các bề mặt
PDE dạng tham số đặc biệt hữu ích cho các mục đích nhƣ vậy bởi về cơ bản các đối tƣợng đƣợc xác định thông qua một tập các điều kiện biên. Do đó một tham số phù hợp với sự kết hợp các điều kiên biên của hai đối tƣợng đƣợc chuyển đổi sẽ dẫn đến một sự chuyển đổi thuận lợi và nhanh chóng giữa các đối tƣợng.
Các đặc tính toán học của sự chuyển động đối với một đối tƣợng trong hoạt hình sẽ làm giảm đáng kể thời gian và công việc liên quan trong suốt quá trình thực hiện. Phƣơng pháp Bloor – Willson PDE đƣợc coi là một sự lựa chọn tuyệt vời để thực hiện những mục đích nhƣ thế.
Kết luận:
Trong chƣơng 2 luận văn đã trình bày một số vấn đề liên quan đến các bề mặt đƣợc tạo ra từ các phƣơng trình đạo hàm riêng, đặc biệt là sử dụng phƣơng
pháp Bloor – Willson PDE để tạo ra các bề mặt PDE và ứng dụng của các bề mặt
PDE trong việc thiết kế và mô hình hóa hình học. Trong chƣơng tiếp theo sẽ trình bày chi tiết về hình học phƣơng trình vi phân đạo hàm riêng, là các bề mặt hình học đƣợc xây dựng trên cơ sở các phƣơng trình vi phân đạo hàm riêng.
Chƣơng III
CÁC PHƢƠNG PHÁP PHƢƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG TRONG
THIẾT KẾ VÀ MÔ HÌNH HÓA HÌNH HỌC
Chƣơng này trình bày về hình học phƣơng trình vi phân đạo hàm riêng (GPDE- Geometric partial differential equation) định nghĩa, tầm quan trọng, ứng
dụng, cấu trúc, nền tảng toán học, các bƣớc xây dựng GPDE và các giải pháp số
trong việc xây dựng GPDE.