Ở trường sau đại học Princeton, khoa vật lý và khoa toán chung nhau một phòng tiếp tân, và vào bốn giờ chiều hàng ngày, chúng tôi thường ngồi uống trà ở đó. Đây là một cách thư giãn buổi chiều, thêm một trò bắt chước các trường của Anh. Mọi người thường ngồi vòng quanh chơi cờ vây, hoặc thảo luận các định lý. Vào những ngày ấy, Tôpô đang là chủ đề lớn.
Tôi vẫn nhớ hình ảnh một anh chàng ngồi ở đi văng, đang suy nghĩ rất lung, trong khi một anh chàng khác đứng trước mặt, nói: “Và do đó cái này cái nọ là đúng.”
“Tại sao lại thế?” anh chàng ngồi trên đi văng hỏi.
“Điều đó là tầm thường! Điều đó là tầm thường!” anh chàng đang đứng đáp, và anh ta tuôn ra một chuỗi các bước logic: “Đầu tiên, giả sử điều này điều nọ, khi đó chúng ra có cái này cái kia của Kerchoff; rồi có Định lý Waffenstoffer, và chúng ta thay thế cái này rồi xây dựng cái kia. Bây giờ cậu đặt một véctơ, nó hướng đâu đó để rồi như thế-như vậy…” Anh chàng ngồi trên đi văng đang gắng hiểu tất cả những điều này, chúng được bắn ra với tốc độ cao trong khoảng mười lăm phút!
Cuối cùng, anh chàng đang đứng đi ra đầu kia của căn phòng, và anh chàng ngồi trên đi văng nói: “Đúng, đúng. Điều đó là tầm thường.”
Cánh vật lý chúng tôi cười, gắng hiểu bọn họ. Chúng tôi luận ra “Tầm thường” ngụ ý “Đã được chứng minh”. Thế nên, chúng tôi trêu bọn toán: “Chúng tớ có một định lý mới – rằng
dân toán có thể chứng minh chỉ những định lý tầm thường, bởi vì bất kỳ định lý nào đã được chứng minh đều là tầm thường.”
Bọn toán không thích định lý này, nhưng tôi thường trêu họ về điều đó. Tôi nói, việc các nhà toán học chỉ chứng minh những thứ vốn là hiển nhiên chẳng bao giờ là cái gì bất ngờ cả.
Tôpô là khái niệm chưa hề rõ ràng đối với dân toán. Có nhiều kiểu giả thiết “Phản trực quan” thật khó hiểu. Tôi nảy ra một ý định. Tôi thách bọn họ: “Tớ cá là chẳng có một định lý riêng rẽ nào mà các cậu có thể nói cho tớ - những giả thiết là gì và định lí ấy là gì theo cách tớ có thể hiểu được - một trường hợp mà tớ không thể nói ngay với các cậu là nó đúng hay sai.”
Chuyện đó thường xảy ra như thế này: Bọn họ giải thích cho tôi: “Cậu có một quả cam, được chưa? Bây giờ cậu cắt quả cam đó thành một số hữu hạn miếng nhỏ, ghép chúng trở lại với nhau, và nó to như mặt trời. Đúng hay sai?”
“Không có lỗ hổng?” “Không lỗ hổng.”
“Không thể có! Không thể có chuyện như vậy.”
“Ha! Hắn sập bẫy rồi! Mọi người lại đây! Đó là định lý này nọ của độ đo không đo được!” ngay khi bọn họ nghĩ là đã tóm được tôi, thì tôi nhắc họ: “Nhưng các cậu nói về một quả cam! Các cậu không thể cắt vỏ quả cam thành cái gì đó mỏng hơn nguyên tử.”
“Nhưng chúng tớ có điều kiện liên tục: Chúng tớ có thể cắt mãi!”
“Không, các cậu nói quả cam, nên tớ đã giả thiết các cậu ám chỉ một quả cam thật.”
Vậy là tôi luôn thắng. Nếu tôi đoán đúng, tuyệt. Nếu đoán sai, thì luôn tìm ra một điều gì đó mà họ bỏ qua khi đơn giản
hóa vấn đề.
Thật ra, về những phán đoán của tôi cũng có một lượng nhất định của năng lực thực sự. Tôi có một sơ đồ, mà hôm nay tôi vẫn dùng mỗi khi có người giải thích một điều gì đó mà tôi gắng hiểu : tôi luôn tạo ra những ví dụ. Chẳng hạn, dân toán thường đi vào phòng với một định lý khủng và tất cả bọn họ đều rất phấn khích. Khi họ nói với tôi về các điều kiện của định lý, tôi đưa ra một cái gì đó thoả mãn tất cả những điều kiện này. Như bạn biết, bạn có một tập (một quả bóng) – rời nhau (hai quả bóng). Rồi, trong đầu tôi những quả bóng này trở nên có màu sắc, mọc tóc, hay thứ gì đó, khi họ đặt thêm những điều kiện. Cuối cùng, họ phát biểu định lý, là một điều ngớ ngẩn nào đó về quả bóng, mà nó không đúng với quả bóng màu xanh có tóc của tôi, và thế là tôi nói: “Sai!” nếu định lý đúng, tất cả bọn họ rất phấn chấn, và tôi để cho họ tiếp tục phấn chấn một lát. Rồi tôi mới đưa ra phản ví dụ của mình. “Ồ, Chúng tớ quên nói với cậu rằng nó là đồng cấu hausdorff lớp 2.”
“Được rồi, vậy thì,” tôi nói: “Điều đó là tầm thường! Điều đó là tầm thường!” Lúc ấy tôi biết là sự thể sẽ diễn ra như thế nào, cho dù tôi chẳng biết đồng cấu hausdorff là gì cả.
Tôi đoán đúng hầu hết tất cả các lần bởi vì mặc dù dân toán nghĩ rằng các định lý tôpô của họ là phản trực giác, nhưng thực ra chúng không khó như thoạt nhìn. Bạn có thể quen với những tính chất ngồ ngộ của cái công việc cắt siêu mỏng này và thực thi tốt cái việc dự đoán xem nó sẽ xảy ra như thế nào.
Mặc dù tôi đã gây ra nhiều rắc rối cho dân toán, nhưng họ luôn rất tốt với tôi. Họ là một bọn con trai vui vẻ, triển khai nhiều trò và cực kỳ phấn khích về điều đó. Họ thảo luận những định lý “Tầm thường” của mình và luôn cố gắng giải thích điều gì đó cho bạn nếu bạn hỏi một câu đơn giản.
Paul Olum và tôi dùng chung nhà tắm. Chúng tôi trở thành những người bạn tốt. Cậu ấy cố gắng dạy toán cho tôi và đã nâng tôi đến tận các nhóm đồng luân (homotopy), và đến đây thì tôi bỏ cuộc. Nhưng, những gì thấp hơn mức đó tôi đều hiểu khá tốt.
Có một thứ mà tôi không bao giờ chịu học là tích phân đường. Tôi đã học tính tích phân bằng các phương pháp khác nhau trình bày trong cuốn sách mà thầy giáo dạy vật lý ở trung học phổ thông, thầy Bader, đã đưa cho tôi.
Một hôm, thầy bảo tôi ở lại sau giờ học. “Feynman,” thầy nói: “Em nói nhiều quá và làm ồn quá. Thầy biết vì sao em quậy thế. Thế nên, thầy sẽ đưa cho em một cuốn sách. Em đi ra phía sau kia, chỗ góc ấy, nghiền ngẫm cuốn sách này, và khi nào em hiểu tất cả những gì viết trong cuốn sách, thì em lại có thể nói.”
Thế là vào tất cả các giờ vật lý, tôi chẳng quan tâm đến điều gì đang diễn ra với định luật Pascal, hay bất kỳ chuyện gì cả lớp đang làm. Tôi ngồi ở phía sau với cuốn sách: Tính toán cao cấp của Woods. Thầy Bader biết tôi đã ít nhiều nghiền ngẫm cuốn Tính toán thực hành, nên đã giao cho tôi những công việc đích thực - cuốn sách đó dành cho năm thứ ba hay năm cuối ở đại học. Nó có chuỗi Fourier, hàm Bessel, định thức, hàm elliptic – tất cả những thứ hay ho mà tôi chưa biết một chút nào về chúng cả.
Cuốn sách cũng trình bày cách vi phân các tham số dưới dấu tích phân – đó cũng là một loại phép tính. Hóa ra là cái này lại không được dạy nhiều ở đại học; họ không nhấn mạnh nó. Nhưng tôi đã nắm được cách sử dụng phương pháp đó, và đã sử dụng cái công cụ trời đánh ấy không biết bao nhiêu lần. Thế là nhờ tự học bằng cuốn sách ấy, tôi đã có những phương pháp riêng để tính tích phân.
Hệ quả nhãn tiền, khi mấy anh chàng ở MIT hay Princeton gặp khó khăn với việc tính một con tích phân nào đó, vì họ không thể tính nó bằng các phương pháp thông thường đã học ở trường. Nếu đó là một tích phân đường thì bọn nó làm được; nếu đó là một khai triển chuỗi đơn giản thì bọn nó cũng làm được. Thế rồi tôi xuất hiện và thử lấy vi phân dưới dấu tích phân, và thường là làm ngon. Vì thế, tôi rất nổi tiếng về việc tính tích phân, chẳng qua chỉ vì cái hộp công cụ của tôi khác với của mọi người khác, và họ đã thử dùng tất cả công cụ của mình để tính trước khi đưa bài toán đó cho tôi.