Các thao tác tư duy liên quan đến suy luận

7. Cấu trúc của luận văn

1.1.4. Các thao tác tư duy liên quan đến suy luận

Một trong những nhiệm vụ quan trọng của dạy học toán là rèn luyện cho HS các hoạt động trí tuệ: khái quát hoá, đặc biệt hoá, tương tự, so sánh, phân tích, tổng hợp. Các hoạt động này giúp cho HS nắm vững, đào sâu kiến thức, phát huy tính độc lập, sáng tạo của bản thân các em không những trong học tập môn toán mà còn các môn học khác. Chúng còn là cơ sở ban đầu để hình thành những phẩm chất trí tuệ cho HS. Suy luận rất phổ biến và có mối liên hệ mật thiết, khăng khít với các thao tác tư duy này.

a, Phân tích, tổng hợp

Theo Hoàng Chúng: “Phân tích là dùng trí óc chia cái toàn thể ra thành từng phần, hoặc tách ra từng thuộc tính hay khía cạnh riêng biệt nằm trong cái toàn thể đó”; “Tổng hợp là dùng trí óc hợp lại các phần của cái toàn thể, hoặc kết hợp lại những thuộc tính hay khía cạnh khác nhau nằm trong cái toàn thể đó” [6, Tr. 16]. Theo Từ điển Tiếng Việt: “Phân tích là phân chia thật sự hay bằng tưởng tượng một đối tượng nhận thức, ra thành các yếu tố, trái với tổng hợp; tổng hợp là tổ hợp bằng tưởng tượng hay thật sự, các yếu tố riêng rẽ nào đó làm thành một chỉnh thể, trái với phân tích” [16, Tr. 746, 979].

Theo tác giả Nguyễn Bá Kim: “Phân tích là tách (trong tư tưởng) một hệ thống thành những vật, tách một vật thành những bộ phận riêng lẻ; tổng hợp là liên kết (trong tư tưởng) những bộ phận thành một vật, liên kết nhiều vật thành một hệ thống” [10, Tr. 46].

Từ những định nghĩa trên có thể hiểu: phân tích là dùng trí óc chia cái toàn thể ra thành từng phần (những vật), là chia nhỏ là tách một vật thành những bộ phận riêng lẻ hoặc tách ra từng thuộc tính từng yếu tố hay khía cạnh riêng biệt nằm trong cái toàn thể để tìm mối liên hệ giữa các phần, các bộ phận, các yếu tố đó và hiểu được chúng; tổng hợp là dùng trí óc hợp lại các phần của cái toàn thể, là kết hợp lại liên kết những bộ phận riêng lẻ hoặc kết hợp thống nhất các thuộc tính các yếu tố hay các khía cạnh khác nhau nằm trong cái toàn thể đó để nhận thức được cái toàn thể. Ta có thể nêu lên những biểu hiện cụ thể của hoạt động phân tích và tổng hợp như sau:

 Những biểu hiện cụ thể của hoạt động phân tích và tổng hợp Phân tích:

- Thao tác chia nhỏ cái toàn thể thành từng phần;

- Tìm mối liên hệ giữa các phần với cái toàn thể để hiểu cái toàn thể sâu sắc hơn. Tổng hợp:

- Kết hợp lại, liên kết, thống nhất các phần trong cái toàn thể; - Nhận thức được cái toàn thể.

Phân tích và tổng hợp có mối quan hệ hữu cơ, chúng là hai mặt đối lập của một quá trình thống nhất: trong phân tích đã có tổng hợp, phân tích một cái toàn thể đồng thời là tổng hợp các phần của nó vì phân tích một cái toàn thể ra từng phần cũng chỉ

nhằm mục đích làm bộc lộ ra mối liên hệ giữa các phần của cái toàn thể ấy; phân tích một cái toàn thể là con đường để nhận thức cái toàn thể sâu sắc hơn. Sự thống nhất của quá trình phân tích - tổng hợp còn được thể hiện ở chỗ: cái toàn thể ban đầu, định hướng cho phân tích, chỉ ra cần phân tích mặt nào, khía cạnh nào; kết quả của phân tích là cái toàn thể ban đầu được nhận thức sâu sắc hơn.

Như vậy, có thể hiểu phân tích được tiến hành theo định hướng của tổng hợp còn tổng hợp được thực hiện theo kết quả của phân tích. Do đó, phân tích và tổng hợp có mối quan hệ hữu cơ giữa cái toàn thể và bộ phận, giữa thống nhất và yếu tố. Chúng là hai hoạt động trí tuệ trái ngược nhau nhưng lại là hai mặt của quá trình thống nhất. Nếu xem cái toàn thể là một khu rừng thì phân tích là đi sâu vào nghiên cứu cây cối trong rừng, sau đó nếu không có tổng hợp thì chỉ có cây mà không có rừng. Phân tích tạo điều kiện cho tổng hợp vì nếu không đi sâu vào nghiên cứu tất cả các bộ phận của cái toàn thể thì khó mà mô tả được chính xác bức tranh toàn cảnh của cái toàn thể. Tổng hợp lại chỉ ra phương hướng cho sự phân tích tiếp theo, giống như người đi rừng, nếu mê mải với từng cây trong rừng mà không thỉnh thoảng xác định lại phương hướng thì sẽ lạc vào trong rừng mà không có lối ra, hay có ra được thì việc tìm hiểu nghiên cứu cây cối trong rừng cũng không thể toàn diện được. Do vậy, không phân tích để hiểu được các bộ phận thì không thể hiểu được cái toàn bộ. Ngược lại, không tổng hợp để nghiên cứu cái toàn bộ thì không thể hiểu được các bộ phận trong cái toàn thể như thế nào.

Quá trình tìm tòi lời giải bài toán chứng minh hình học thường dùng phương pháp phân tích đi lên.

Phân tích đi lên từ kết luận của bài toán, cách phân tích này giúp HS hiểu được mối quan hệ logic giữa điều cần phải chứng minh và điều cần để chứng minh, phát triển tư duy suy luận, rèn luyện kĩ năng suy luận, óc sáng tạo và tính chủ động cao khi giải một bài toán chứng minh.

Sơ đồ của phân tích đi lên: A A1  A2 ...An1  An

Trong đó, A là mệnh đề cần chứng minh,An là mệnh đề đúng đã biết. Hay nói cách khác, để phân tích đi lên ta làm như sau:

- Xuất phát từ A, xem nó có là hệ quả logic của mệnh đềA1 nào đó hay không (AA1). Ở bước này ta cần trả lời câu hỏi muốn chứng minh A ta cần chứng minh cái gì?

- Xuất phát từ A1, xem A1 có là hệ quả logic của mệnh đề A2 nào đó hay không (A1A2). Tương tự, ta cần đi trả lời câu hỏi muốn chứng minh A1 ta cần chứng minh cái gì?

- …

- Cuối cùng đi tới An là mệnh đề đúng đã biết. Vì An đúng nên A đúng. Khi trình bày lời giải, ta sẽ sử dụng phương pháp “tổng hợp” có quy trình ngược lại với phương pháp phân tích đi lên: An  An1... A2  A1  A

Ví Dụ 1.17: (SGK Toán 8, tập 2 – Tr. 71) Chứng minh định lí: Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của tam giác và song song với cạnh còn lại thì nó tạo thành một tam giác mới đồng dạng với tam giác đã cho.

GT ∆ABC

/ /

MN BC (M AB; NAC)

KL ΔAMN∽ΔABC

Muốn chứng minh ΔAMN∽ΔABC thì phải chứng minh gì?

- Phải chứng minh AMN  ABC; ANM  ACB; hai tam giác đã có góc BAC

chung và chứng minh AM AN MN

AB  AC  BC

- AMN  ABC; ANM ACB vì là các cặp góc đồng vị

- AM AN MN

AB  AC  BC theo hệ quả của định lí Ta-lét

Vậy ta dã dùng phép phân tích đi lên để chứng minh định lí trên.

Nhưng khi trình bày ta dùng phép tổng hợp, tức là đi từ dưới lên theo chiều mũi tên như sau:

ΔAMN∽ΔABC



 

AMN  ABC; ANM ACB

;

AM AN MN

AB  AC  BC

Xét tam giác AMN và ABC có:

AMN ABC; ANM ACB vì là các cặp góc đồng vị

AM AN MN

AB  AC  BC theo hệ quả của định lí Ta-lét (do MN / /BC) Vậy ΔAMN∽ΔABC (theo định nghĩa hai tam giác đồng dạng)

Thông qua ví dụ, chúng ta có thể thấy vai trò quan trọng của thao tác phân tích, tổng hợp trong quá trình suy luận.

b, So sánh

“So sánh là xác định sự giống và khác nhau giữa các sự vật và hiện tượng” [10, Tr. 21]. Muốn so sánh hai sự vật (hiện tượng) ta phải phân tích các dấu hiệu, các thuộc tính của chúng, đối chiếu các dấu hiệu, các thuộc tính đó với nhau, rồi tổng hợp lại xem hai sự vật (hiện tượng) đó có gì giống và khác nhau.

Trong dạy học môn Toán nói chung, dạy học môn Toán ở Trường THCS nói riêng, so sánh đóng vai trò quan trọng giúp HS tìm ra những dấu hiệu thuộc tính bản chất đặc trưng của sự vật, hiện tượng từ đó giúp HS nắm vững và sâu sắc kiến thức một cách có hệ thống.

Trong dạy học khái niệm, việc so sánh khái niệm này với khái niệm kia đóng vai trò quan trọng giúp cho HS nắm vững, hiểu sâu sắc khái niệm; trong dạy học định lý, cần hướng dẫn HS so sánh định lí vừa học với định lí đã biết trước đó giúp HS nắm chắc và hiểu về định lí đó; trong dạy học quy tắc, cần cho HS so sánh quy tắc này với quy tắc khác để tìm ra những dấu hiệu giống và khác nhau giúp cho HS nắm vững được các quy tắc. Cần luyện tập cho HS so sánh những sự vật, hiện tượng bề ngoài có vẻ khác nhau nhưng thực chất là giống nhau thậm chí là một hoặc cho HS so sánh các sự vật hiện tượng theo nhiều khía cạnh khác nhau, nhìn ở khía cạnh này thì chúng khác nhau nhưng nhìn ở khía cạnh khác thì lại giống nhau.

c, Đặc biệt hoá, khái quát hóa

Theo G. Polya, “Đặc biệt hoá là chuyển từ việc nghiên cứu từ một tập hợp đối tượng đã cho sang việc nghiên cứu một tập hợp nhỏ hơn chứa trong tập hợp đã cho” [8, Tr. 19].

Theo Nguyễn Bá Kim, “Khái quát hoá là chuyển từ một tập hợp đối tượng sang một tập hợp lớn hơn chứa tập hợp ban đầu bằng cách nêu bật một số đặc điểm chung của các phần tử trong tập hợp xuất phát” [10, Tr. 46].

Theo Hoàng Chúng: “Khái quát hoá là dùng trí óc tách ra cái chung trong các đối tượng, sự kiện hoặc hiện tượng [6, Tr. 23].

Muốn khái quát hoá, thường phải so sánh nhiều đối tượng, hiện tượng, sự kiện với nhau. Để bồi dưỡng cho HS kĩ năng khái quát hoá đúng đắn, cần luyện tập cho HS biết phân tích, tổng hợp, so sánh để tìm ra cái chung ẩn náu trong các hiện tượng, sau những chi tiết tản mạn khác nhau, nhìn thấy cái bản chất bên trong của các hiện tượng, sau cái hình thức bên ngoài đa dạng, "tóm được" cái chính, cái cơ bản, cái chung trong cái khác nhau về bên ngoài. Muốn vậy, một điều kiện rất quan trọng là GV phải biết phối hợp biến thiên những dấu hiệu không bản chất của khái niệm, hiện tượng đang nghiên cứu và giữ không đổi những dấu hiệu bản chất.

Ví dụ 1.18: Tính số đo mỗi góc của đa giác đều n cạnh n3. Từ đó tính số đo mỗi góc của bát giác đều.

Chúng ta khái quát khi chuyển việc nghiên cứu những tam giác, tứ giác, ngũ giác,... sang đa giác n cạnh tùy ý. Từ đó ta có thể suy ra tổng số đo góc của đa giác n cạnh n3 là   0

2 .180

n .

Trên đây chúng ta đã khái quát bằng cách chuyển từ chỗ chỉ xét một vài đối tượng sang việc xét toàn thể một lớp đối tượng bao gồm cả đối tượng đó.

Sau đó chúng ta đặc biệt hóa khi chuyển việc nghiên cứu đa giác n cạnh sang đa giác đều n cạnh. Ở bước chuyển này, từ đa giác đến đa giác đều chúng ta có sự hạn chế, cụ thể là yêu cầu tất cả các cạnh các góc bằng nhau. Từ đó số đó mỗi góc của đa giác đều n cạnh n3 là   0

2 .180

n n



.

Tiếp đó chúng ta có thể đặc biệt hóa để tính số đo mỗi góc của bát giác đều là   0 0 8 2 .180 135 8   .

Ở bước chuyển này, chúng ta thay đối tượng biến thiên bằng đối tượng cụ thể, thay biến số tự nhiên n bằng số 8.

Chúng ta thường khái quát dựa trên các trường hợp riêng nhưng đặc biệt hóa để kiểm tra một mệnh đề, giả thuyết phát biểu chung có đúng với một số trường hợp đặc biệt không.

Ví dụ 1.19: (Bài 51, SBT Toán 8, tập 1 – Tr. 132).

Cho tam giác ABC với đường cao AA’, BB’, CC’. H là trực tâm của tam

giác ABC. Tính ' ' ' ?

' ' '

HA HB HC

AA  BB CC  .

Trước hết ta xét một số trường hợp đặc biệt:

Tam giác ABC đều suy ra H là trọng tâm của tam giác. ' ' ' 1 1 1 1 ' ' ' 3 3 3 HA HB HC AA BB CC       

Tam giác ABC vuông tại A khi đó AH'B'C'

' ' ' ' 1 ' ' ' ' HA HB HC AA AA BB CC AA     

Việc chứng minh hoặc bác bỏ giả thuyết trên ta phải dùng suy luận suy diễn.