7. Cấu trúc của luận văn
2.4. Biện pháp 4: Rèn luyện kĩ năng suy luận cho HS nhờ hỗ trợ của biểu diễn
trực quan động trong môi trường hình học động
2.4.1. Mục đích của biện pháp
Biểu diễn trực quan động không chỉ cung cấp những hình ảnh động, trực quan để minh họa cho các ý tưởng toán học mà còn được thừa nhận như là một thành phần hỗ trợ cho suy luận. Từ đó giúp HS rèn luyện các loại suy luận và các phán đoán tiền đề.
2.4.2. Nội dung của biện pháp
Với đặc điểm của phần mềm hình học động là bảo toàn các mối quan hệ và cấu trúc toán học đã được xác định trước giữa các đối tượng khi di chuyển, một vài mối quan hệ hình học có thể không được phát hiện khi quan sát hình vẽ ở dạng tĩnh nhưng lại xuất hiện khi HS tiến hành các thao tác lên biểu diễn trực quan động. Quá trình kéo rê cũng giúp HS nhận ra sự chuyển động của các đối tượng hình học khác nhau là phụ thuộc lẫn nhau, chẳng hạn như khi kéo rê đỉnh A của tam giác ABC thì trọng tâm G của nó cũng di chuyển. Sự phụ thuộc về mặt chuyển động này được chuyển thành mối quan hệ phụ thuộc lẫn nhau giữa các đối tượng trong hình học Euclide. Đây được xem là chìa khóa chính để giúp HS đề xuất các giả thuyết khi khám phá các bài toán hình học.
Chú ý là việc phát hiện ra các mối quan hệ hình học không chỉ dựa vào việc quan sát hình vẽ mà còn cần có sự hỗ trợ rất lớn từ các dữ liệu. Chẳng hạn như nhận ra tổng các góc trong một tứ giác là 3600 là dễ dàng hơn so với việc chỉ quan sát các hình dạng khác nhau của tứ giác này. Do đó, việc đo đạc (độ dài đoạn thẳng; chu vi,
diện tích đa giác, góc,…), tính toán số liệu, vẽ biểu đồ... bằng các công cụ hỗ trợ của phần mềm hình học động sẽ cung cấp thêm các nguồn thông tin giúp HS dễ dàng hơn trong việc phát hiện các mối quan hệ hình học. Các dạng biểu diễn khác nhau của đối tượng (bảng biểu, đồ thị…) có thể xuất hiện cùng lúc trên màn hình cùng với các số liệu được cập nhật liên tục, tức thời ngay khi có sự thay đổi trên biểu diễn trực quan động giúp HS tập trung vào việc quan sát và đề xuất giả thuyết thay vì dành thời gian cho việc vẽ các hình khác nhau trên giấy. Tóm lại, tất cả những thao tác mà HS tác động liên biểu diễn trực quan động như kéo rê, tạo vết, đo đạc, tính toán, dựng thêm các đường phụ… đều là thể hiện cụ thể của suy luậntrong môi trường hình học động nhằm lí giải cho các kết quả (chẳng hạn các tính chất, các mối quan hệ bất biến) mà HS quan sát được.
Không chỉ tạo cơ hội cho HS quan sát và đề xuất giả thuyết bằng suy luận ngoại suy, việc sử dụng biểu diễn trực quan động trên máy tính còn hỗ trợ hiệu quả cho quá trình kiểm chứng và tổng quát hóa giả thuyết bằng suy luận quy nạp, chứng minh bằng suy luận suy diễn. Trong môi trường giấy bút, HS chỉ có thể minh họa cho tính đúng đắn của giả thuyết thông qua một vài trường hợp cụ thể. Trái lại, trong môi trường hình học động, chỉ với một vài thao tác lên biểu diễn trực quan động, HS đã có thể kiểm chứng giả thuyết bằng thực nghiệm thông qua một số lượng lớn các thử nghiệm toán học với các phản hồi chính xác và gần như ngay lập tức. Cũng trong quá trình thử nghiệm này, HS có thể nhận ra một giả thuyết bị bác bỏ tại thời điểm nào. Nói cách khác, vô số trường hợp khác nhau được thể hiện qua biểu diễn trực quan động một cách “liên tục” giúp HS hình dung được toàn bộ quá trình trung gian diễn ra như thế nào, từ đó dễ dàng tiếp cận trường hợp tổng quát hoặc chỉ ra ngay thời điểm ở đó xuất hiện một phản ví dụ.
Như vậy, mặc dù những giả thuyết khoa học được xây dựng và kiểm chứng với sự hỗ trợ của biểu diễn trực quan động không thể thay thế được cho chuỗi suy luận suy diễn dẫn đến các chứng minh toán học, nhưng nó định hướng và hỗ trợ tích cực cho quá trình khám phá và giải quyết vấn đề bằng suy luận ngoại suy và quy nạp, tương tự. Ví dụ sau đây sẽ minh họa một số ưu điểm của việc sử dụng biểu diễn trực quan động trong khám phá toán.
Ví dụ 2.25: Khi dạy định lý “ Đường trung bình của hình thang” ta tiến hành như sau: - Vẽ hình thang ABCD trực tiếp trên màn hình GSP, vẽ trung điểm E của cạnh AD, sau đó vẽ đường thẳng đi qua E song song với CD, nó cắt BC tại một điểm, đặt tên cho điểm đó là F.
- Vẽ FB và FC lấy số đo hai đoạn FB và FC cho HS nhận xét chúng có bằng nhau không?
- Kéo rê đỉnh A (vẫn đảm bảo ABCD là hình thang có đáy là AB) cho HS quan sát và nhận xét số đo của hai đoạn FB và FC?
Từ đó cho HS rút ra nhận xét: “ Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh bên của hình thang và song song với hai đáy thì đi qua trung điểm cạnh bên thứ hai”
Ví dụ 2.26: Khi dạy định lý 4 về: “ Đường trung bình của hình thang” ta tiến hành như sau:
-Dựng hình thanh ABCD có hai đáy là AB và CD. Sau đó vẽ đường trung bình EF ( E thuộc AD, F thuộc BC) của hình thang ABCD.
-Đo độ dài đường trung bình EF và độ dài hai cạnh đáy AB và CD bằng menu phép đo, cho HS so sánh độ dài đường trung bình EF và tổng độ dài của hai đáy AB + CD. Và rút ra nhận xét “Đường trung bình của hình thang thì song song với hai đáy và bằng nửa tổng hai đáy”
-Kéo rê điểm A sao cho ABCD vẫn là hình thang sau đó so sánh EF với AB+CD. Kiểm tra xem nhận xét trên còn đúng không?
Từ đó rút ra nội dung định lí đường trung bình của hình thang.
Hình 2. 23
Ví dụ 2.27: Một tên cướp biển muốn chôn kho báu trên một hòn đảo, ở đó có một tảng đá lớn, một cây cọ và một cây sồi. Tên cướp biển đếm số bước chân khi đi thẳng từ tảng đá đến cây cọ. Ngay ở vị trí cây cọ, tên cướp đi theo hướng tạo với hướng nhìn về phía tảng đá một góc 900 quay về phía phải, với số bước chân đúng bằng số bước chân đã đếm thì dừng lại và cắm một cột mốc thứ nhất ở vị trí này. Tên cướp quay trở lại chỗ tảng đá và đếm số bước chân đi thẳng từ đó đến cây sồi, sau đó từ vị trí cây sồi đi theo hướng tạo với hướng nhìn về phía tảng đá một góc 900 quay về phía trái, với số bước chân đúng bằng số bước chân vừa đếm thì dừng lại và cắm cột mốc thứ hai để đánh dấu. Kho báu được chôn ngay chính giữa vị trí của hai cột mốc (Hình 2.25). Một thời gian sau, một nhóm nghiên cứu tìm đến nơi chôn kho báu. Cây cọ và cây sồi vẫn còn, nhưng tảng đá và các cột mốc đã biến mất và không để lại dấu vết. Dù vậy họ vẫn tìm ra kho báu. Họ đã làm như thế nào?
Gọi vị trí cây sồi là A, vị trí cây cọ là B, vị trí tảng đá là C, vị trí hai cột mốc là D và E, vị trí chôn kho báu là G. Vì không cần có tảng đá mà kho báu vẫn được tìm thấy nên HS đề xuất giả thuyết ngoại suy: vị trí chôn kho báu chỉ phụ thuộc vào vị trí cây cọ và cây sồi mà không phụ thuộc vào vị trí tảng đá. Việc kiểm nghiệm giả thuyết với biểu diễn trực quan động là dễ dàng khi HS chỉ cần kéo rê điểm C tùy ý trên mặt phẳng và nhận thấy trung điểm G của DE vẫn không di chuyển. Vị trí chôn kho báu là điểm cố định G mà đường thẳng DE luôn đi qua (Hình 2.26). HS tiếp tục thao tác trên máy tính với việc kéo rê điểm C đến các vị trí đặc biệt để thu thập dữ liệu cho suy luận quy nạp.
Hình 2.26 H G E D A B C H G E D A B C Hình 2.27a Hình 2.27b Hình 2. 25
Quan sát biểu diễn trong trường hợp C trùng với A (Hình 2.27a), C trùng với
B, hay C trùng với trung điểm H của AB (Hình 2.27b), các em đưa ra giả thuyết ngoại suy: “Khi C thay đổi thì G nằm trên trung trực của AB và HG HA HB”. Việc kiểm nghiệm giả thuyết được thực hiện dễ dàng với các công cụ đo độ dài của GSP.
Như vậy, cả trong môi trường giấy bút và môi trường hình học động, suy luận ngoại suy và quy nạp đều được sử dụng để đề xuất và kiểm chứng các giả thuyết. Tuy nhiên, nếu trong môi trường giấy bút, phép quy nạp đòi hỏi thời gian, tính cẩn thận và chỉ được thực hiện thông qua một số trường hợp cụ thể rời rạc, liệt kê được thì trong môi trường hình học động, việc kiểm chứng giả thuyết được thực hiện bởi vô số các trường hợp.
Sử dụng các biểu diễn trực quan động với sự hỗ trợ của các phần mềm hình học động tạo điều kiện cho HS được khám phá và kiểm chứng toán học theo một ý nghĩa hoàn toàn khác: khám phá toán bằng thực nghiệm.
Ví dụ 2.28: Cho tứ giác ABCD. Về phía ngoài của tứ giác, dựng các hình vuông nhận AB, BC, CD, DA tương ứng làm cạnh của nó. Gọi M, N, P, Q lần lượt là tâm của các hình vuông này. Trong trường hợp tổng quát, có nhận xét gì về tứ giác
MNPQ? (Hình 2.28). Kết quả mà chúng tôi mong muốn HS sẽ phát hiện được trong quá trình khám phá Ví dụ 2.28 là: Tứ giác MNPQ có hai đường chéo vuông góc với nhau và bằng nhau (MPNQ và MPNQ).
HS sử dụng kéo rê ngẫu nhiên trong giai đoạn đầu tiên: kéo rê các đỉnh A, B,
C, D một cách tùy ý để xem xét các tính chất của tứ giác MNPQ. Khi nhận thấy tứ
P Q M N B A C D Hình 2. 28
giác MNPQ có rất nhiều hình dạng khác nhau và chưa thể đưa ra một giả thuyết nào về đặc điểm của tứ giác MNPQ, HS thay đổi phương án bằng cách sử dụng Kéo rê về các trường hợp đặc biệt đối với tứ giác ABCD.
a)ABCD là hình thang b) ABCD là hình chữ nhật c) ABCD là hình bình hành
Hình 2.29: Kéo rê về các trường hợp đặc biệt đối với tứ giác ABCD
HS liên tục đưa ra các giả thuyết khác nhau về tứ giác MNPQ khi ABCD có các hình dạng đặc biệt. GV có thể đặt những câu hỏi như sau:
GV: Như vậy khi kéo rê ABCD về các trường hợp đặc biệt thì MNPQ có thể trở thành hình vuông, đúng không? Vậy thì xem thử hình vuông có tính chất gì? Và mình thử kiểm tra tính chất đó có còn đúng với các trường hợp còn lại hay không?
HS tiếp tục kéo rê ngẫu nhiên.Và đưa ra giả thuyết hai đường chéo vuông góc với nhau. Rồi HS đo góc giữa MP và NQ, và thực hiện kéo rê ngẫu nhiên để kiểm chứng. HS đã nhận thấy giả thuyết mà các em đưa ra là đúng khi số đo góc giữa MP và NQ luôn bằng 900 khi tứ giác MNPQ ở vô số hình dạng khác nhau.
Vậy trong trường hợp tổng quát thì tứ giác MNPQ có hai đường chéo vuông góc với nhau.
GV khuyến khích HS tiếp tục khám phá xem còn giả thuyết nào khác về tứ giác MNPQ
HS: AC, BD giao nhau tại I? HS đưa ra giả thuyết giao điểm của hai đường chéo AC, BD của tứ giác ABCD trùng với giao điểm I của hai đường chéo MP, NQ
của tứ giác MNPQ khi quan sát một trường hợp cụ thể trên màn hình GSP trong lúc đang thực hiện kéo rê ngẫu nhiên (Hình 2.30).
HS kiểm chứng giả thuyết bằng cách dựng giao điểm của AC, BD rồi thực hiện kéo rê ngẫu nhiên và lập tức bác bỏ giả thuyết này nhưng thấy số đo độ dài hai đoạn thẳng MP và NQ bằng nhau.
GV cho HS tiếp tục kéo rê ngẫu nhiên để kiểm chứng giả thuyết mà các em đang dự đoán trước khi đưa ra kết luận trong trường hợp tổng quát thì hai đường chéo của tứ giác MNPQ vuông góc và bằng nhau.
Ngay khi nhìn thấy kết quả đo độ dài của MP và NQ bằng nhau, HS liền thực hiện Kéo rê ngẫu nhiên để kiểm chứng giả thuyết này có còn đúng trong trường hợp tổng quát. Phát biểu tổng quát cho bài toán dựa trên suy luận quy nạp: Tứ giác MNPQ có hai đường chéo vuông góc với nhau và bằng nhau.
Như vậy, trong quá trình khám phá các bài toán hình học, các phương thức kéo rê ngẫu nhiên (có thể có sự hỗ trợ của kéo rê về các trường hợp đặc biệt) giúp HS đề xuất các giả thuyết dưới dạng “Trong điều kiện của bài toán thì tính chất T luôn xảy ra”. Phương thức kéo rê ngẫu nhiên cũng giúp HS kiểm chứng giả thuyết bằng thực nghiệm với sự hỗ trợ của các công cụ đo đạc, tính toán trên GSP để đưa ra kết luận dựa trên suy luận quy nạp. Quá trình thực nghiệm còn cho thấy phương thức Kéo rê về các trường hợp đặc biệt giúp HS đề xuất các giả thuyết toán học.
2.4.3. Kết luận
Giúp HS phát hiện ra các hiện tượng gây ngạc nhiên (các bất biến), thúc đẩy việc tiến hành suy luận để đưa ra giả thuyết dạng: “Trong điều kiện cho sẵn của bài toán thì tính chất T xảy ra”;
Giúp kiểm chứng giả thuyết bằng thực nghiệm để đưa ra kết luận tổng quát bằng suy luận quy nạp.