7. Cấu trúc của luận văn
2.1.2. Nội dung của biện pháp
Từ những luận điểm của tâm lý học và triết học, tác giả Nguyễn Phú Lộc đề xuất quy trình khái quát hóa như sau:
Sơ đồ 2. 1
Từ việc nghiên cứu về quy trình của khái quát hóa của tác giả Nguyễn Phú Lộc [13, Tr. 56] và trải nghiệm thực tiễn vấn đề nghiên cứu, chúng tôi đề xuất quy trình PĐ khi tiến hành khái quát hóa như sau:
Bước 1: Quan sát một số trường hợp riêng (cái riêng). Cái riêng chỉ tồn tại trong mối liên hệ đưa tới cái chung, do đó nếu quan sát nhiều cái riêng có thể giúp phát hiện ra cái chung.
Bước 2: (phân tích): Tiến hành phân tích hay so sánh để tìm các mối liên hệ, tìm những đặc điểm của các cái riêng trong mối liên hệ đó.
Bước 3: (Khái quát hóa): Chỉ ra đặc điểm chung có tính khái quát và dự đoán trường hợp khái quát hóa (cái chung).
Bước 4 (Kiểm chứng): Tiến hành kiểm chứng hay xem xét lại đưa ra khái niệm mới hay vận dụng vào tình huống mới. Khẳng định dự đoán đó là đúng hoặc sai.
Ví dụ 2.1: (Bài 10 SBT Toán 8, tập 1 – Tr. 126) Một đa giác lồi có nhiều nhất bao nhiêu góc nhọn?
Bước 1: Cho HS quan sát hai bài toán sau cũng là hai trường hợp riêng của một bài toán khái quát.
Trường hợp riêng thứ nhất: Đối với tam giác có 3 trường hợp là tam giác vuông, tam giác đều, tam giác tù.
Tam giác vuông có 2 góc nhọn. Tam giác đều có 3 góc nhọn. Tam giác tù có 2 góc nhọn.
Trường hợp riêng thứ 2: Đối với tứ giác ta xét các trường hợp đặc biệt, đó là: Hình thang cân có 2 góc nhọn.
Hình chữ nhật không có góc nhọn.
Trường hợp riêng thứ 3: Đối với ngũ giác, ta chỉ xét ngũ giác đều: Ngũ giác đều không có góc nhọn.
Bước 2: Phân tích các trường hợp riêng
Qua những trường hợp riêng ta có thể thấy rằng: Tam giác có tối đa 3 góc nhọn
Tứ giác có tối đa 2 góc nhọn
Một số ngũ giác không có góc nhọn
Bước 3: Khái quát hoá
Từ những phân tích ở trên ta có thể dự đoán rằng: Một đa giác lồi có nhiều nhất 3 góc nhọn.
Bước 4: Kiểm chứng để xem xét dự đoán ở bước 3 là đúng hay sai bằng suy luận toán học
Nếu một góc của đa giác (lồi) là nhọn thì góc ngoài tương ứng là tù. Nếu đa giác có quá ba góc ngoài tù thì tổng các góc ngoài của đa giác lớn hơn 360°, mâu thuẫn với định lí đã chứng minh (tổng số đo các góc ngoài của một đa giác (lồi) là 360°).
Vậy đa giác có nhiều nhất là ba góc nhọn.
Ví dụ 2.2: (Bài 126 SBT Toán 8, tập 1 – Tr. 73) Cho tam giác ABC, điểm M di chuyển trên cạnh BC. Gọi I là trung điểm của AM. Điểm I di chuyển trên đường nào?
Bước 1: Cho HS quan sát hai bài toán sau cũng là hai trường hợp riêng của một bài toán khái quát.
Trường hợp riêng thứ nhất: Đối với tam giác thường, ta xét các vị trí đặc biệt của điểm M
Khi M trùng B thì I trùng P (P là trung điểm của AB) Khi M trùng C thì I trùng Q (Q là trung điểm của AC)
Trường hợp riêng thứ 2: Ta xét các tam giác đặc biệt, đó là
Khi tam giác ABC vuông thì PQ (P là trung điểm của AB, Q là trung điểm của AC) song song với BC.
Hình 2. 1
Bước 2: Phân tích các trường hợp riêng
Qua những trường hợp riêng ta có thể thấy rằng: Khi M là điểm đặc biệt thì I trùng với P,Q. Khi xét các tam giác đặc biệt thì PQ song song với BC.
Bước 3: Khái quát hoá
Từ những phân tích ở trên ta có thể dự đoán rằng: điểm M di chuyển trên cạnh BC. Gọi I là trung điểm của AM. Điểm I di chuyển trên đoạn PQ (P là trung điểm của AB, Q là trung điểm của AC)
Bước 4: Kiểm chứng để xem xét dự đoán ở bước 3 là đúng hay sai bằng suy luận toán học
Qua I kẻ đường thẳng song song với BC, cắt AB và AC theo thứ tự P và Q. Tam giác AMB có AI = IM. IP // BM nên P là trung điểm của AB. Chứng minh tương tự, Q là trung điểm của AC.
Các điểm P và Q cố định. Vậy điểm I di chuyển trên đoạn thẳng PQ (P, Q theo thứ tự là trung điểm của AB, AC).
Ví dụ 2.3: Để HS có thể phát biểu định lí Ta-lét đảo thông qua việc khái quát các trường hợp riêng như sau:
Bước 1: Cho HS quan sát hai bài toán sau cũng là hai trường hợp riêng của một bài toán khái quát.
Trường hợp riêng thứ nhất: Cho tam giác ABC có AB = 6cm; AC = 9cm. Lấy trên cạnh AB điểm B’, trên cạnh AC điểm C’ sao cho AB’ = 2cm; AC’ = 3cm.
Hình 2. 3
Trường hợp riêng thứ 2: Cho tam giác ABC có AB = 6cm; AC = 9cm. Lấy trên cạnh AB điểm B’, trên cạnh AC điểm C’ sao cho AB’ = 2cm; AC’ = 4cm.
Sau đó tính các tỉ số AB'
AB , AC'
AC và vẽ đường thẳng a đi qua B’ đồng thời song song với BC.
Bước 2: Phân tích các trường hợp riêng Trường hợp 1: AB' AC'
AB AC và bằng trực quan cho thấy đường thẳng a trùng với đường thẳng B’C’. Ngoài ra,tiến hành đo đạc B’C’ đồng thời tính tỉ số B C' '
BC ta có nhận xét sau: AB' AC'
AB AC thì AB' AC' B C' '
AB AC BC và B’C’ song song với BC.
Trường hợp 2: AB' AC'
AB AC và bằng trực quan cho thấy đường thẳng a cắt đường thẳng B’C’. Ngoài ra,tiến hành đo đạc B’C’ đồng thời tính tỉ số B C' '
BC ta có nhận xét sau: AB' AC'
AB AC thì AB' B C' '
AB BC , AC' B C' '
AC BC và B’C’ không song song với BC.
Hình 2.5
Bước 3: Khái quát hoá
Từ những phân tích ở trên ta có thể dự đoán rằng: Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và định ra trên hai cạnh này những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ thi đường thẳng đó song song với cạnh còn lại của tam giác.
Bước 4: Kiểm chứng để xem xét dự đoán ở bước 3 là đúng hay sai bằng suy luận toán học
Đây chính là nội dung định lí Ta-lét đảo.
Ví dụ 2.4. Để HS có thể phát biểu định lí về trường hợp đồng dạng thứ hai của tam giác thông qua các trường hợp riêng như sau:
Bước 1: Cho HS quan sát hai bài toán sau cũng là hai trường hợp riêng của một bài toán khái quát.
Trường hợp riêng thứ nhất: Cho tam giác ABC và DEF có AB=4 cm, AC= 3 cm, DE= 8cm, DF= 6cm và 0
60
A , 0 60
D . Đo các độ dài đoạn thẳng BC và EF. Sau đó dự đoán sự đồng dạng của hai tam giác ABC và DEF.
Trường hợp riêng thứ 2: Cho tam giác ABC và DEF có AB=5 cm, AC= 7 cm, DE= 2,5cm, DF= 3,5cm và 0
30
A , 0 30
E . Đo các độ dài đoạn thẳng BC và EF. Sau đó dự đoán sự đồng dạng của hai tam giác ABC và DEF.
Hình 2.7
Bước 2: Phân tích các trường hợp riêng
Trường hợp 1: Sau khi đo độ dài đoạn thẳng BC và EF và tính các tỉ số AB
DE ;
AC DF ; BC
DF ta có: AB AC BC
DE DF DF . Suy ra: ABC∽DEF .
Trường hợp 2: Sau khi đo độ dài đoạn thẳng BC và EF và tính các tỉ số AB
DE ;
AC DF ; BC
DF ta có: AB AC BC
DE DF DF . Suy ra tam giác ABC không đồng dạng với tam giác DEF.
Bước 3: Khái quát hoá
Từ những phân tích ở trên ta có thể dự đoán rằng: Nếu hai cạnh của tam giác này tỉ lệ với hai cạnh của tam giác kia và hai góc tạo bởi các cạnh đó bằng nhau, thi hai tam giác đồng dạng.
Bước 4: Kiểm chứng để xem xét dự đoán ở bước 3 là đúng hay sai bằng suy luận toán học
Đây chính là nội dung định lí trường hợp đồng dạng thứ hai.