7. Cấu trúc của luận văn
2.3. Biện pháp 3: Rèn luyện kĩ năng suy luận cho HS trong dạy học hình học
trong quá trình phát hiện và sửa chữa sai lầm
2.3.1. Mục đích của biện pháp
Biện pháp 3 giúp các học sinh nắm được các loại suy luận, quy luật suy luận, phán đoán các tiền đề nhờ phân tích cấu trúc logic của khái niệm, định lí, bổ sung kiến thức logic và phương pháp giải các bài toán cơ bản trong quá trình phát hiện và sửa chữa sai lầm.
2.3.2. Nội dung của biện pháp
Phân tích các nguyên nhân dẫn tới sai lầm của HS trung học cơ sở khi giải toán
Nguyên nhân 1: Hiểu không đầy đủ và chính xác các thuộc tính của các khái niệm toán học.
Chúng ta biết rằng: Khái niệm là một trong các sản phẩm của tư duy toán học. Mỗi khái niệm đều có nội hàm và ngoại diên. Tập hợp các dấu hiệu đặc trưng cho bản chất của các đối tượng được phản ánh trong khái niệm chính là nội hàm của khái niệm. Tập hợp các đối tượng có chứa các dấu hiệu trên chính là ngoại diên của khái niệm. Việc không nắm vững nội hàm và ngoại diên của một khái niệm sẽ dẫn HS tới sự hiểu không trọn vẹn, thậm chí sai lệch bản chất khái niệm. Từ đó các sai lầm khi giải toán sẽ xuất hiện. Mặt khác nhiều khái niệm trong toán học là mở rộng hoặc thu hẹp của một khái niệm có trước đó. Việc HS không nắm vững khái niệm này sẽ dẫn tới việc không hiểu và không thể có biểu tượng về khái niệm khác.
Như vậy qua các dẫn chứng cụ thể trên chúng ta có thể thấy từ việc không nắm vững các thuộc tính của khái niệm, HS có thể bị dẫn tới các sai lầm trong lời giải. Từ những nghiên cứu về nguyên nhân này, tác giả Lê Thống Nhất [15, Tr. 67] thể hiện qua sơ đồ sau (sơ đồ 2.2):
Ví dụ 2.10: Cho ABC, ABAC, I là trung điểm của BC. Hỏi: B, C có đối xứng với nhau qua AI không? Vì sao?
Nhiều bài HS cho rằng B, C đối xứng qua AI vì IBIC.
Đây là sai lầm khi HS không nắm vững định nghĩa hai điểm được gọi là đối xứng với nhau qua đường thẳng.
HS không hiểu rõ bản chất muốn B, C đối xứng qua AI phải thoả mãn AI là đường trung trực của BC, tức là AI vuông góc với BC và I là trung điểm của BC.
Trong bài toán trên mới thoả mãn một điều kiện I là trung điểm của BC, còn điều kiện AI vuông góc với BC không thoả mãn vì ABAC.
Nguyên nhân 2: Không nắm vững cấu trúc logic của định lí.
Định lí là một mệnh đề đã được khẳng định đúng. Cấu trúc thông thường của định lí có dạng A B. Trong cấu trúc của định lí A B thì A là giả thiết của định lí và cho chúng ta biết phạm vi sử dụng được định lí. Người ta còn nói A là điều kiện đủ để có B. Nhưng khá nhiều HS lại không nắm vững hoặc coi thường giả thiết A nên dẫn tới sai lầm khi giải toán.
Tóm lại việc không nắm vững cấu trúc logic của định lí sẽ dẫn HS tới nhiều sai lầm trong khi học toán và giải toán. Chúng tôi xin lưu ý bởi sơ đồ sau (sơ đồ 2.3):
Sơ đồ 2.3
Nguyên nhân 3: Thiếu các kiến thức cần thiết về logic:
Suy luận là một hoạt động trí tuệ đặc biệt của phán đoán – một trong các hình thức của tư duy. Hoạt động suy luận khi giải toán dựa trên cơ sở của logic học. HS thiếu các kiến thức cần thiết về logic sẽ mắc sai lầm trong suy luận và từ đó dẫn đến các sai lầm khi giải toán.
Ngay việc sử dụng từ nối “và”, “hoặc” vẫn là điều khó khăn của rất nhiều HS. Lẽ ra cần khẳng định: tam giác cân hoặc vuông thì lại khẳng định tam giác là tam giác vuông cân. Việc không ý thức về phép tuyển, hội gây cho HS khó khăn khi lĩnh hội khái niệm, định lí. Nhiều định lí có giả thiết và kết luận hay cấu trúc tuyển hội. Nhiều tính chất đặc trưng của một khái niệm cũng có các kiểu cấu trúc này.
HS còn thiếu hiểu biết về quy tắc suy luận nên dẫn tới nhiều sai lầm khi thực hiện các phép chứng minh.
Phân tích các suy luận trong chứng minh toán học, ta thấy mỗi chứng minh bao gồm một số bước cơ bản, mà mỗi bước được thực hiện theo những quy tắc nhất định gọi là các quy tắc suy luận.
HS dễ bị nhầm khi sử dụng các quy tắc sai như sau: , A B B A , A B A B
Chẳng hạn như suy luận sai lầm: “Trong hình thoi hai đường chéo vuông góc với nhau nên tứ giác có hai đường chéo vuông góc với nhau là hình thoi” hoặc “Hình thang cân có hai cạnh bên bằng nhau nên tứ giác không là hình thang cân thì không có hai cạnh bên bằng nhau”.
HS không hiểu bản chất của suy luận quy nạp.
Ví dụ 2.11: Cho tam giác ABC với H là trực tâm và ba đường cao AA1, BB1, CC1. Tìm hệ thức liên hệ giữa các tỉ số: 1 1 HA AA , 1 1 HB BB , 1 1 HC CC . Lời giải sai lầm:
Ta cóSHBC SHAC SHAB SABC
HBC HAC HAB ABC
S S S S
S S S S
1 1 1 1 1 1 1 B HA HB H B CC C AA Nhận định sai lầm:
Lời giải còn thiếu sót do phụ thuộc vào hình vẽ và chỉ xét trường hợp tâm giác ABC nhọn.
Khi tam giác ABC tù thì trực tâm H nằm ngoài tam giác ABC và kết quả
1 1 1 1 1 1 1 BB HA HB HC AA CC không còn đúng.
Thực ra: Lời giải trên cũng đúng trong trường hợp tam giác ABC vuông. Lời giải đầy đủ:
* Khi tam giác ABC nhọn, trình bày lời giải như trên.
* Khi tam giác ABC vuông, giả sử vuông tại A thì H A B1 C1
1 1 1 1 1 1 1 B HA HB H B CC C AA
* Khi tam giác ABC tù, ta có :
Nếu góc A tù thì SHBC SHAC SHAB SABC HBC HAC HAB ABC
ABC ABC ABC ABC
S S S S S S S S 1 1 1 1 1 1 1 B HA HB H B CC C AA
Tương tự đối với góc B và C là góc tù ta được 1 1 1
1 1 1 1 HB HA HC AA BB CC và 1 1 1 1 1 1 1 CC BB HC HB HA AA Hình 2. 16 Hình 2. 17
Sai lầm do nhận định vội vàng dẫn đến lập luận và trình bày bài giải sai:
Ví dụ 2.12: Cho tam giác ABC cân tại A. Qua A kẻ đường thẳng d song song với BC. Trên đó lấy điểm D khác A. Chứng minh rằng chu vi tam giác DBC lớn hơn chu vi tam giác ABC.
Lời giải sai:
Dựng điểm E đối xứng với C qua đường thẳng d. Vì A, D thuộc d suy ra AC = AE và DC = DE.
Ký hiệu PS là chu vi hình S, ta có:
PABC = AB + BC + CA = AB + BC + AE = BC + BE (1) PBCD = DB + BC + CD = DB + BC + DE. (2)
Xét tam giác DBE, ta có: DB + DE > BE (bất đẳng thức tam giác) (3) Từ (1), (2), (3) ta có: DB + BC + DE > BC + BE.
Vậy PBCD > PABC
Nhận định sai lầm:
Lời giải đã thiếu chứng minh B, A, E thẳng hàng để kết luận AB + AE = BE. Lời giải đúng:
(Bổ sung cho lời giải là chứng minh B, A, E thẳng hàng, các phần khác giữ nguyên) Vì AD là đường trung trực của CE nên EADCAD.
Ta lại có: CAD
= ACB
(sole trong và d // BC); ACB
= ABC
(Tam giác ABC cân tại A.
CAD ACB ABC
0
180
BAC CAD EAD BAC ACB ABC
B, A, E thẳng hàng.
Trong SGK thì các phép chứng minh được trình bày theo phương pháp tổng hợp mà không qua phương pháp phân tích để dẫn tới cách chứng minh trong khi đó
thì GV lại không thể hiện dưới dạng tường minh các kiến thức về quy luật, quy tắc, phương pháp suy luận đã được sử dụng.
Chúng ta có thể khẳng định rằng, HS còn mắc nhiều sai lầm trong khi giải toán, nếu những sai lầm của HS được hệ thống lại thì sẽ giúp GV dễ phát hiện trong lời giải của HS; những sai lầm đó xuất phát từ nhiều nguyên nhân về kiến thức, để từ đó GV có biện pháp phân tích, sửa chữa sai lầm cho HS khi giải toán, nâng cao chất lượng giảng dạy học bộ môn Toán ở trường THCS.
Để rèn luyện kĩ năng suy luận cho HS trong quá trình phát hiện và sửa chữa sai lầm, chúng tôi đưa ra các biện pháp chủ yếu sau:
Thứ nhất: Rèn luyện kĩ năng phân tích cấu trúc logic của các khái niệm định nghĩa hình học. Các khái niệm hình học thường có các cấu trúc sau:
+ AB1
Ví dụ 2.13: Nếu tứ giác ABCD là hình vuông thì tứ giác ABCD có 4 góc vuông + AB2
Ví dụ 2.14: Nếu tứ giác ABCD là hình vuông thì tứ giác ABCD có 4 cạnh bằng nhau. + AB1B2
Ví dụ 2.15: Nếu tứ giác ABCD là hình vuông thì tứ giác ABCD có 4 góc vuông và có 4 cạnh bằng nhau.
+ B1B2 A
Ví dụ 2.16: Nếu tứ giác ABCD có 4 góc vuông và 4 cạnh bằng nhau thì ABCD là hình vuông.
+ B1 A
Ví dụ 2.17: Nếu tứ giác ABCD không có 4 góc vuông thì ABCD không là hình vuông. + B2A
Ví dụ 2.18: Nếu tứ giác ABCD không có 4 cạnh bằng nhau thì ABCD không là hình vuông.
Thứ hai: Rèn kĩ năng phân tích cấu trúc logic của các định lí hình học. Các định lí hình học thường có cấu trúc logic:
AB trong đó: A: Giả thiết B: Kết luận
Nhưng chúng tôi xin lưu ý thêm: A cho biết dùng định lí khi nào và B cho biết sẽ kết luận, suy ra được gì khi có A.
Ví dụ 2.19: Định lí: “Trong hình thang cân, hai cạnh bên bằng nhau”. A: ABCD là hình thang cân (đáy AB, CD)
B: AD = BC
Ví dụ 2.20: Định lí: “Nếu một tam giác có đường trung tuyến ứng với một cạnh bằng nửa cạnh ấy thì tam giác đó là tam giác vuông”.
A: ABC có đường trung tuyến AI bằng nửa cạnh BC B: ABC vuông tại A
Dạy định lí toán học có thể được thực hiện theo hai con đường: Con đường suy diễn và con đường có khâu suy đoán.
Nhằm hạn chế và đề phòng sai lầm của HS khi giải toán chúng tôi thấy cần thiết phải phân tích rõ giả thiết của định lí. HS nhiều khi không quan tâm tới giả thiết định lí mà chỉ quan tâm tới kết luận của định lí nên dẫn tới sai lầm.
GV cần nhấn mạnh giả thiết của định lí có cấu trúc hội hay tuyển.
Ví dụ 2.21: Định lí: “Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh của tam giác và song song với cạnh thứ hai thì đi qua trung điểm cạnh thứ ba”
Cấu trúc của giả thiết có cấu trúc hội: “Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh” “đường thẳng song song với cạnh thứ hai”. Trước khi dùng định lí phải kiểm tra hoặc đặt điều kiện để bài toán thoả mãn đồng thời hai điều kiện của giả thiết.
GV cần tạo ra những ví dụ mà các điều kiện của giả thiết chưa thoả mãn hoàn toàn để HS thấy rằng mọi điều kiện của giả thiết là không thể thiếu được.
Ví dụ khi dạy định lí: “Nếu hai cạnh của tam giác này tỉ lệ với hai cạnh của tam giác kia và hai góc tạo bởi các cặp cạnh đó bằng nhau, thì hai tam giác đồng dạng”.
Nhiều HS chỉ để ý tới việc hai cặp cạnh tỉ lệ và một góc bằng nhau mà không để ý tới điều kiện hai góc tạo bởi các cặp cạnh đó nên dẫn đến sai lầm như sau:
Ví dụ 2.22: Cho ABC và A B C' ' ' như hình vẽ.
Sai lầm thường gặp: xét ABC và A B C' ' ' có: 1
' ' ' ' 2
AB AC
A B A C ; AB'ABC∽A B C' ' ' (c.g.c)
Đây là sai lầm khi không sử dụng đến điều kiện góc đó được tạo bởi các cặp góc tương ứng. Nên ABC không đồng dạng A B C' ' '.
Khi dạy định lí có cấu trúc AB thì A là điều kiện đủ để có B chứ chưa chắc là điều kiện cần.
GV cũng cần nêu ra các ví dụ để thuyết phục, chứ không dừng lại ở việc nhắc nhở. Các ví dụ mà đặc biệt là các phản ví dụ bao giờ cũng tạo ấn tượng sâu đối với HS.
Chẳng hạn, khi dạy định lí: “Trong hình thang cân, hai cạnh bên bằng nhau”. GV cần chỉ ra hình thang có hai cạnh bên bằng nhau nhưng không phải là hình thang cân ví dụ như hình sau:
Hình thang ABCD có (AB // CD) có hai cạnh bên bằng nhau (AD=BC) nhưng không phải là hình thang cân (vì DC )
Khi dạy định lí cần chỉ ra cho HS các hướng ứng dụng của định lí để tạo ra sự nhanh nhạy cho HS, để khi đứng trước một bài toán, HS biết nghĩ tới việc sẽ vận dụng định lí nào.
Hình 2.17
Ví dụ khi dạy xong các định lí về tam giác đồng dạng, GV đưa ra các dạng bài hay sử dụng tam giác đồng dạng như: Chứng minh hai góc bằng nhau, chứng minh các hệ thức hình học, chứng minh tích các đoạn thẳng không đổi, liên hệ với thực tế đo gián tiếp chiều cao của vật, xác định khoảng cách giữa hai địa điểm trong đó có một địa điểm không tới được,..
Qua bài toán này GV cung cấp cho HS cách vận dụng linh hoạt định lí khi giải bài tập.
Điều đặc biệt cần lưu ý là khi dạy định lí toán học cho HS: GV cần cho HS thấy rõ phương pháp này giúp cho HS dễ đi tới chứng minh đúng trong giải toán sau này. Dạy định lí chính nhằm mục đích truyền thụ những tri thức phương pháp liên quan tới phép chứng minh.
Thứ ba: Cung cấp các kiến thức về suy luận để HS tránh sai lầm khi giải toán. -Hướng dẫn HS phát hiện các căn cứ của mỗi khẳng định có cấu trúc “Nếu…thì…”
Chẳng hạn: Câu “ Nếu I là trung điểm của đoạn thẳng CD thì I nằm giữa hai điểm C, D” là khẳng định đúng. Vì nếu một điểm là trung điểm đoạn thẳng thì điểm đó nằm giữa hai đầu đoạn thẳng.
- Hướng dẫn HS suy luận theo mẫu quy tắc kết luận ,
P Q P Q
(Nếu có P thì có Q, có P. Vậy có Q)
Ví dụ 2.23: Cho M là trung điểm của đoạn thẳng AB, MA = 3cm. lập luận như thế nào để tính được độ dài đoạn thẳng MB?
Lời giải: Nếu một điểm là trung điểm của đoạn thẳng thì điểm đó cách đều hai đầu đoạn thẳng (Theo định nghĩa trung điểm của đoạn thẳng). Điểm M là trung điểm của đoạn thẳng AB, MA = 3cm (Theo giả thiết). Vậy MA = MB = 3cm.
Trong thực tế giảng dạy, ta trình bày suy luận rút gọn như sau: “Theo giả thiết, M là trung điểm của đoạn thẳng AB nên: MA = MB. Ta lại có MA=3cm. Suy ra MB=3cm; coi như đã biết tiền đề “Nếu một điểm là trung điểm của đoạn thẳng thì cách đều hai đầu đoạn thẳng”.
-Hướng dẫn HS tìm các phản ví dụ để bác bỏ một mệnh đề theo lược đồ: Muốn bác bỏ PQ chỉ cần tìm ra một trường hợp PQ đúng.
Chẳng hạn: Câu “Nếu I thẳng hàng với hai điểm C, D thì I là trung điểm của đoạn thẳng CD” là khẳng định sai. Vì, xét trường hợp I thuộc đường thẳng CD nhưng I không thuộc đoạn thẳng CD. Khi đó I thẳng hàng với hai điểm C, D nhưng I không phải là trung điểm của đoạn thẳng CD.
Hoặc “Nếu IC = ID thì I là trung điểm của CD” cũng là khẳng định sai vì nếu I không thuộc đoạn CD thì I không thể là trung điểm của CD (Hình 2.22).
Thông qua hình thức câu hỏi, bài tập mà tập cho HS phương pháp bác bỏ một mệnh đề. HS hiểu rằng, trong toán học, để chứng minh một mệnh đề đúng, cần chứng minh mệnh đề đó đúng với tất cả các khả năng có thể xảy ra với các đối tượng được xét trong mệnh đề; còn để chứng minh một mệnh đề sai chỉ cần chỉ ra