Định nghĩa 1.4.12. Nhóm đẳng cựI(M)của đa tạp Riemann(M, g)được gọi làbắc cầunếu với mỗi cặpp, q ∈M tồn tại phép đẳng cựφpq : M →M sao choφpq(p) = q. Khi đó, ta cũng nói(M, g)làmột không gian thuần nhất Riemann.
Ví dụ 1.4.13. TrênSm, ta xét tác động
α:O(m+ 1)×Sm →Sm (p, X)7→pX, trong đópxlà phép nhân ma trận thông thường. Do
hpX, pYi=XTpTpY =XTY =hX, Yi
nên α là đẳng cự. Có thể kiểm tra O(m+ 1) lập thành một nhóm con của I(Sm) và hơn nữaO(m+ 1)là bắc cầu trênSmnênSm là một không gian thuần nhất.
Ví dụ 1.4.14. Xét đa tạp O(m) với mêtríc cảm sinh bởi tích vô hướng Euclide tiêu chuẩn trênRm×m g(X, Y) = trace(XTY). Xét phép dịch chuyển trái Lp :O(m)→O(m) p7→pq.
Như đã chỉ ra ở ví dụ, không gian tiếp xúcTpO(m)củaO(m)tạiplà TpO(m) ={pX|XT +X = 0}.
Đạo hàm của ánh xạ này tạiq∈O(m)là
(dLp)q :TqO(m)→TpqO(m) pX 7→pqX. Khi đó, ta có gpq((dLp)q(qX),(dLp)q(qY)) = trace(pqX)TpqY = trace(XTqTpTpqY) = trace((qX)T(qY)) =gq(qX, qY). Từ đó, phép dịch chuyển trái là một phép đẳng cự.
Định nghĩa 1.4.15. Một mêtríc Riemanng trên nhóm LieGđược gọi làbất biến trái
nếu với mỗi p ∈ G, phép dịch chuyển trái Lp là một phép đẳng cự. Một nhóm Lie
(G, g)với một mêtríc bất biến trái được gọi là mộtnhóm Lie Riemann.
Định lí 1.4.16. Một nhóm Lie Riemann là một không gian thuần nhất Riemann.
Chú ý 1.4.17. Người ta đã chỉ ra mọi đa tạp Riemann lớp Cr với r ≥ 3 luôn có thể nhúng đẳng cự vào một không gian EuclideRn. Tức là, ta luôn có thể coi mỗi đa tạp Riemann là một đa tạp con trongRn.