Nhắc lại rằng khái niệm đạo hàm theo hướng trongRm có thể được viết tổng quát dưới dạng toán tử như sau
∂ :C∞(T Rm)×C∞(T Rm)→C∞(T Rm) (X, Y)7→∂XY. trong đó (∂XY)(x) = lim t→0 Y (x+tX(x))−Y(x) t .
Những tính chất quan trọng nhất của toán tử∂ được cho sau đây: i) ∂X(λY +µZ) = λ∂XY +µ∂XZ,
ii) ∂X(f X) =X(f)Y +f ∂XY, iii) ∂(f X+gY)Z =f ∂XZ +g∂YZ, iv) ∂XY −∂YX = [X, Y],
v) X(hX, Zi) = h∂XY, Zi+hY, ∂XZi.
Sau đây, ta sẽ mở rộng khái niệm này lên đa tạp Riemann tổng quát.
1.5.2 Liên thông Levi- Civita
Định nghĩa 1.5.1. ChoM là một đa tạp trơn. Mộtliên thông ∇ˆ trơntrên một bó véc tơ(E, M, π)trênM là một toán tử
ˆ
∇:C∞(T M)×C∞(E)→C∞(E)
thỏa mãn
ii) ∇ˆ(f v) =X(f)v+f∇ˆXv, iii) ∇ˆf X+gYv =f∇ˆXv+g∇ˆYv
với mọiλ, µ∈R, X, Y ∈C∞(T M), u, v ∈C∞(E)vàf, g∈C∞(M).
Một lát cắt v ∈ C∞(E)của bó véc tơ E được gọi là song song với liên thông ∇ˆ
nếu∇ˆXv = 0với mọi trường véc tơX ∈C∞(T M).
Định nghĩa 1.5.2. ChoM là một đa tạp trơn và∇ˆ là một liên thông trên phân thớ tiếp xúc(T M, M, π). Khi đó, ta định nghĩaxoắncủa nó
T :C∞(T M)×C∞(T M)→C∞(T M)
(X, Y)7→∇ˆXY −∇ˆYX−[X, Y],
trong đó [·,·] là móc Lie trên C∞(T M). Liên thông ∇ˆ được gọi là không xoắn nếu xoắnT của nó triệt tiêu, tức là nếu
ˆ
∇XY −∇ˆYX = [X, Y],∀X, Y ∈C∞(T M).
Định nghĩa 1.5.3. Cho(M, g)là một đa tạp Riemann. Khi đó, một liên thông∇ˆ trên phân thớ tiếp xúc(T M, M,∇ˆ)được gọi là có tính mêtríc, hay tương thích với mêtríc Riemanng, nếu
X(g(Y, Z)) =g( ˆ∇XY, Z) +g(Y,∇ˆXZ)
với mọiX, Y, Z ∈C∞(T M).
Nhận xét 1.5.4. Đối với một liên thông không xoắn và có tính mêtríc ∇, ta có thể kiểm tra được các đẳng thức sau đây
g(∇XY, Z) =X(g(Y, Z))−g(Y,∇XZ), g(∇XY, Z) = g([X, Y], Z) +g(∇YX, Z)
0 =−Z(g(X, Y)) +g(∇ZX, Y) +g(X,∇ZY)
=−Z(g(X, Y)) +g(∇XZ+ [Z, X], Y) +g(X,∇YZ−[Y, Z]). Cộng 3 đẳng thức ở trên, ta thu được công thức Koszal.
2g(∇XY, Z) ={X(g(Y, Z)) +Y(g(Z, X)−Z(g(X, Y)) +g(Z,[X, Y]) +g(Y,[Z, X])−g(X,[Y, Z])}.
Từ công thức này, ta suy ra rằng có nhiều nhất một liên thông không xoắn và có tính mêtríc trên phân thớ tiếp xúcT M của(M, g).
Định nghĩa 1.5.5. Cho(M, g)là một đa tạp Riemann, khi đó toán tử
∇:C∞(T M)×C∞(T M)→C∞(T M)
xác định bởi
g(∇XY, Z) = 1
2{X(g(Y, Z)) +Y(g(Z, X)−Z(g(X, Y)) +g([Z, X], Y) +g([Z, Y], X)−g(Z,[X, Y])}
được gọi là liên thông Levi- CivitatrênM.
Chú ý 1.5.6. Liên thông Levi- Civita là một đối tượng nội tại của(M, g).
Mệnh đề 1.5.7. Liên thông Levi- Civita là một liên thông trên phân thớ tiếp xúc(T M)
củaM.
Định lí 1.5.8. Liên thông Levi- Civita là một liên thông duy nhất mà không xoắn và có tính chất mêtríc trên phân thớ tiếp xúc(T M, M, π)của đa tạp Riemann(M, g).