2 Một số đa tạp trong đại số tuyến tính
2.1.2 Cấu trúc vi phân của G(k, n)
Với mỗi điểm Y ∈ G(k, n), ta có thể định nghĩa ra một phần tử của π−1(Y)bằng một lát cắt như sau. ChoU ∈ ST(k, n). Tập
SU :={V ∈ ST(k, n) :UT(V −U) = 0}, được gọi làmột lát cắt afin. Ta định nghĩa
INU :={V ∈ ST(k, n) : det(UTV)6= 0}, và
INU :=π(INU)⊂ G(k, n).
Bổ đề 2.1.4. NếuV ∈INU, lớp tương đươngVGL(k)cắtSU tại một điểm duy nhất
V(UTV)−1UTU.
Chứng minh. Trước tiên ta thấy(U V)−1UTV là một ma trận vuông khả nghịch cỡk×k nên ma trậnV(UTV)−1UTU có dạngV G, trong đóG∈ GL(k)nênV(UTV)−1UTU ∈
VGL(k). Mặt khác rõ ràng UT V UTV−1UTU−U = UTV UTV−1UTU −UTU = 0
nênV UTV−1UTU ∈SU. Từ đóV UTV−1UTU ∈ SU ∈ VGL(k)∩SU. Tiếp theo, ta cần chứng minh đây là giao duy nhất. Thật vậy, giả sử có
{V G1, V G2} ⊂VGL(k)∩SU. Theo định nghĩa, ta phải có
UT (V G1−U) = 0vàUT(V G2−U) = 0. Trừ hai đẳng thức trên, vế theo vế, ta thu được
DoV ∈INU nênU V khả nghịch. Do vậy G1−G2 = 0 hay V G1≡V G1 Từ Bổ đề 2.1.4, ta có thể định nghĩa ánh xạ sau. Định nghĩa 2.1.5. Ánh xạ σU :INU →SU π(V)7→V(UTV)−1UTU, được gọi làánh xạ lát cắt. Mệnh đề 2.1.6. σU là một song ánh giữaINU vàSU Chứng minh. Với bất kỳφ ∈SU, ta chỉ cần chọn V =φ UTU−1UTV.
Điều nay luôn thực hiện được vìU ∈ ST(k, n)nêndet UTU6= 0. Điều đó suy raσU là một toàn ánh. Để chứng minh tính đơn ánh, giả sử cóπ(V1), π(V2)∈INU mà
σU (π(V1)) =σU (π(V2)). Theo đó, ta phải có
V1 UTV−1UTV =V2 UTV−1UTV.
Cho J = (j1, ..., jk)∈Nk với1≤j1 < ... < jk ≤n. Ký hiệuInk là tập tất cả các đa chỉ số J nói trên. VớiA ∈ Rk×n, ký hiệu AJ là ma trận con cỡ k×k chứa các hàng j1, ..., jk củaAvàACJ là ma trận bù củaAJ trongA. Tiếp tục ký hiệuEJ := [ej1...ejk], J ∈Ink là các ma trận chứa các vectơ đơn vị tương ứng trong Rn.
Bổ đề 2.1.7.
SEJ :={V ∈ ST(k, n) :VJ =I}. INEJ :={V ∈ ST(k, n) : det(VJ)6= 0}.
Chứng minh. Thật vậyV ∈ SEJ nếu và chỉ nếu
EJ T EJ= 0
hay
EJ TV =EJ TEJ =Ik. Ta ký hiệuJ là phần bù của chỉ số J trongInk và viết
Ik =EJ TV =EJ TVJ +EJ TVJ. Số hạng thứ hai bằng không nên ta suy raVJ =I.
Khẳng định thứ hai được suy ra từ định và cách tách tập chỉ số như trên.
Mệnh đề 2.1.8. Họ{INEJ, J ∈Ink}là một phủ mở củaST(k, n). Họ{INEJ, J ∈Ink}
là một phủ mở củaG(k, n).
Chứng minh. Khẳng định thứ nhất là đúng vì mỗi tập INEJ là một tập mở và mỗi phần tử của ST(k, n) luôn chứa một ma trận con cỡ k×k có định thức khác không. Khẳng định thứ hai được suy ra từ việcπlà một ánh xạ mở.
Định lí 2.1.9. Họ{(INEJ, σEJ), J ∈ Ink}xác định một cấu trúc vi phân có số chiều
Chứng minh. Từ Bổ đề 2.1.7 ta suy ra các phần tử trong SEJ được xác định và phân biệt với nhau dựa trên (n −k)k phần tử của ma trận được chọn một cách tự nhiên. Theo đó, ta có thể đồng nhất mỗiSEJ vớiR(n−k)×k.
Ngoài ra, do kết quả của Mệnh đề 2.1.6 nênσEJ vàσE−1J đều tồn tại. Hơn thế nữa chúng là các ánh xạ liên tục.
Cuối cùng ta giả sử EJ1, EJ2 màINEJ1 ∩ INEJ2 6=∅. Khi đó ánh xạ
σEJ1 ◦σE−1J2 :σEJ2(SEJ1 ∩ SEJ2)→σEJ1 (SEJ1 ∩ SEJ2)⊂ R(n−k)×k là khả vi vì nó đúng bằng tích của hai ánh xạ AJ1 AJ1 −1 trong đó AJ1 = X và AJ1 =Ik.
Số chiều của cấu trúc khả vi này bằng số chiều củaSEJ và là(n−k)k.
Định nghĩa 2.1.10. Tập G(k, n)cùng với cấu trúc vi phân được nêu ở Định lý 2.1.9 được gọi làđa tạp Grassmanncủa các không gian conk chiều trongRn.