2 Một số đa tạp trong đại số tuyến tính
2.2.1 Định nghĩa và đặc trưng
Trong mục này chúng ta sẽ xét tập các ma trận thực cỡ n×n đối xứng nửa xác định dương có hạng cố địnhk,k ≤n. Ta sẽ ký hiệu tập này bởiS+(k, n). Trước tiên, ta có phát biểu sau đây về cấu trúc của các phần tử củaS+(k, n).
Mệnh đề 2.2.1. Ký hiệuRnsym×n là tập các ma trận đối xứng cỡn×n
S+(k, n) := {S ∈Rsymn×n, S≥0,rank(S) = k}
:={Y YT, Y ∈ ST(k, n)}
Chứng minh. Bao hàm thức chiều{Y YT, Y ∈ ST(k, n)} ⊂S+(k, n)là rõ ràng vì với mọi ma trận cỡn×kđủ hạng, thìY YT là một ma trận đối xứng nửa xác định dương và có hạng k. Để chứng minh điều ngược lại, ta sử dụng phân tích giá trị riêng của S ∈S+(k, n). Do tính đối xứng, ta luôn có phân tích
S =U DUT,
trong đóU ∈O(n)vàDlà ma trận chéo. Do tính nửa xác định dương và hạngk, nên D chỉ có k phần tử đầu tiên trên đường chéo là số dương, còn lại là 0. Do vậy, ta có thể viết lại
S =UtDtUtT,
trong đóUt làk cột đầu củaU,Dt là ma trận con chínhk×k với đường chéo dương. ĐặtY =Ut√
Dtthì ta có biểu diễn cần chứng minh 2.2.1.
Sau đây ta sẽ xem xét cấu trúc hình học của S+(k, n)bằng cách nhúng vào trong
Rn×n
Mệnh đề 2.2.2. TậpS+(k, n)là một đa tạp con trơn nhúng trongRn×nvà có số chiều
Chứng minh. Ký hiệu ma trận E = Ik×k Ok×(n−k) O(n−k)×k O(n−k)×(n−k)
Xét tác động tịnh tiến của nhóm Lie
ψ :GL(n)×Rn×n →Rn×n
(M, N)7→M N MT.
Khi đó, có thể thấy ngayS+(k, n)chính là quỹ đạo củaE quaψ. Doψ là một tác động nửa đại số nên mỗi quỹ đạo của nó là một đa tạp con nhúng trơn của Rn×n ' Rn2. Chứng minh về số chiều của S+(k, n) được thực hiện gián tiếp qua không gian tiếp xúc của nó ở Mệnh đề 2.2.3