2 Một số đa tạp trong đại số tuyến tính
2.2.4 Không gian pháp và phép chiếu
Không gian pháp của S+(k, n) tại S là tất cả các vectơ trực giao với TSS+(k, n)
theo mêtríc Riemann định nghĩa ở trên. Lưu ý rằng phát biểu này chỉ có nghĩa khi ta xét một đa tạp được nhúng trong một đa tạp lớn hơn. Theo đó ta có thể viết
NSS+(k, n) ={Z ∈Rn×n : trace ZTT= 0,∀T ∈TSS+(k, n)}. (2.5) Sử dụng dạng??ct1)của không gian tiếp xúc, ta suy ra
trace ZTT= trace ZT∆S+ZTS∆= trace ∆S ZT +Z. Từ điều kiện (2.5), ta phải có
trace ∆S ZT +Z= 0,∀∆∈Rn×n. Do đó
NSS+(k, n) = {Z ∈Rn×nS ZT +Z= 0}. NếuS =Y YT, ta có biểu diễn chi tiết hơn.
Mệnh đề 2.2.5. Không gian pháp tạiS =Y YT được xác định bởi
NY YTS+(k, n) = [Y Y⊥] Ω −LT L M YT Y⊥T (2.6)
với Ω = −ΩT ∈ Rk×k, M ∈ R(n−k)×(n−k) vàL ∈ R(n−k)×k. Số chiều của không gian pháp làn2−nk+ k(−2k−1) (đối chiều củaTSS+(k, n)).
Chứng minh. Dễ thấyΩcó k(k−1)
2 chiều,M có (n−k)2chiều vàLcó(n−k)kchiều. Như vậyNY YTS+(k, n)theo cách xây dựng trên là một không gian vectơ có
(n−k)2+k(k−1)
2 + ((n−k)k) =n2−kn+ k(k−1) 2
chiều. Thêm vào đó, bằng tính toán trực tiếp, có thể kiểm tra rằng mọi phần tử của NY YTSt(k, n)trực giao vớiTSS+(k, n)theo mêtrícgs.
Mệnh đề sau đây cho ta biểu diễn của các phép chiếu trực giao từTSRn×n 'Rn×n
lần lượt lên các không gian tiếp xúc và không gian pháp củaS+(k, n)như là phép chiếu lên các không gian vectơ con.
Mệnh đề 2.2.6. Phép chiếu trực giao lênTSS+(k, n)vàNSS+(k, n)lần lượt được cho bởi PY Yt T(Z) = 1 2 PY Z+Z T PY +PY⊥ Z+ZTPY +PY Z+ZTPY⊥, PY Yn T (Z) =Z−PY Yt T(Z) = 1 2 P ⊥ Z Z +ZTPY⊥+Z−ZT, vớiPYZ =Y(YTY)−1YTZ vàPY⊥Z =Z−PYZ.
Chứng minh. Khẳng định thứ hai được suy ra từ khẳng định thứ nhất và vài tính toán đơn giản. Khẳng định thứ nhất được suy ra từ:
i) PY Yt T PY Yt T(Z)=PY Yt T(Z), ii) PY Yt T(Z)thuộc vàoTSS+(k, n).
Các đẳng thức này được chỉ ra bằng tính toán trực tiếp.