Định nghĩa 1.6.4. Cho (M, g)là một đa tạp Riemann vàγ :I → M là một cung lớp C1. Một trường véctơX dọc theoγ được gọi làsong songnếu
∇γ˙X= 0.
Một cungγ :I →M lớpC2 được gọi làmột cung trắc địanếu trường tiếp xúcγ˙ của nó là song song dọc theoγ, tức là
∇γ˙γ˙ = 0.
Định lí 1.6.5. Cho(M, g)là một đa tạp Riemann vàI = (a, b)⊂R. Choγ : [a, b]→M
là một cung liên tục lớpC1trênI vàv ∈Tγ(t0)M. Khi đó tồn tại duy nhất một trường vectơ song songY dọc theoγ sao choY(t0) = v.
Ta có định lý về sự tồn tại và duy nhất của cung trắc địa.
Định lí 1.6.6. Cho(M, g)là một đa tạp Riemann. Nếup ∈M vàv ∈ TpM thì tồn tại duy nhất một khoảng mởI = (−ε, ε)và một cung trắc địaγ :I →M sao choγ(0) =p
vàγ˙(0) =v.
Chú ý 1.6.7. Do liên thông Levi- Civita có tính chất nội tại, tính chất này cũng đúng cho rằng buộc
Điều đó có nghĩa là ảnh của một cung trắc địa qua một phép đẳng cự địa phương cũng là một cung trắc địa.
Ví dụ 1.6.8. Cho Em = (Rm,h·,·iRm), tức là đa tạp Rm với tích vô hướng thông thường. Do các ký hiệu Christoffel đều bằng 0nên γ là cung trắc địa khi và chỉ khi
¨
γ = 0. Vớip∈Rm, v ∈TpRm, ta định nghĩa γ(p, v) :R→Rm
t7→p+tv.
Rõ ràngγ(p,v)(0) =pvà γ˙(p,v)(0) = v vàγ¨(p,v) = 0. Như vậyγ chính là cung chắc địa cần tìm. Cụ thể hơn cung trắc địa trongRm với tích vô hướng thông thường là đường thẳng.
Ví dụ 1.6.9. ChoΣlà một mặt chính quy trong không gian thông thường mà ta có thể coi nó là một đa tạp con trongR3. Giả sửγ :I →Σlà một cung lớpC2. Theo định lý ta có
∇γ˙γ˙ = (∂γ˙γ˙)T = ¨γT.
Điều đó nghĩa làγ là cung trắc địa khi và chỉ khi phần tiếp xúc γ¨T của đạo hàm cấp haiγ¨triệt tiêu.
Định nghĩa 1.6.10. Một cung trắc địaγ :J →(M, g)trong đa tạp Riemann được gọi làcực đạinếu nó không thể được mở rộng thành một cung trắc địa khác xác định trên một đoạnI ! J. Đa tạp(M, g)được gọi là đầy đủnếu với mỗi(p, v) ∈T M luôn tồn tại một cung trắc địaγ :R→M xác định trên toàn bộRsao choγ(0) =pvàγ˙(0) =v.
Khẳng định sau đây cho ta điều kiện xác định cung trắc địa của một đa tạp con.
Mệnh đề 1.6.11. Cho (N, h)là một đa tạp Riemann với liên thông Levi- Civita ∇và
M là một đa tạp con với mêtríc cảm sinhg. Khi đó, một cungγ :I →M là một cung trắc địa trongM khi và chỉ khi
Ví dụ 1.6.12. Ta sẽ xác định cung trắc địa trên bề mặt cầu. Ký hiệuSm là mặt cầu đơn vị trongEm+1với mêtríc cảm sinh. Tại điểmp∈Sm, không gian chuẩn tắcNpSmcủa SmtrongEm+1chính là đường thẳng đi qua gốc tọa độ vàp. Giả sửγ :I →Smlà một cung lớpC2. Khi đó,
˜
∇γ˙γ˙ = (∇γ˙γ˙)T =∂γ˙γ˙ = ¨γT = ¨γ−γ¨⊥ = ¨γ− hγ, γ¨ iγ. Từ đó,γ là cung trắc địa khi và chỉ khi
¨
γ =hγ, γ¨ iγ.
Với(p, X)∈T Sm, ta định nghĩa cungγ(p, X) :R→Sm bởi
γ :t7→
p, nếuX = 0
cos (|X|t)p+ sin(|X|t)|XX|, nếuX 6= 0. Dễ thấyγ thỏa mãnγ(0) =p,γ˙(0) =X và
¨
γ =hγ, γ¨ iγ.
Từ đó suy raγđược xây dựng chính là cung trắc địa và mặt cầuSm là đầy đủ. Về mặt hình học, nó lập thành đường xích đạo đi quapcó hướngX.