2 Một số đa tạp trong đại số tuyến tính
2.2.5 Liên thông Riemann
Liên thông Riemann là một liên thông xác định duy nhất ứng với một mêtríc Riemann. Đối với đa tạpS+(k, n)và mêtríc nhúnggS, liên thông Riemann của nó xác định như sau.
Mệnh đề 2.2.7. ChoXlà một trường vectơ trênS+(k, n). Khi đó, liên thông Riemann
∇trênS+(k, n)được cho bởi
∇ZSX =PSt (DX(S) [ZS]),
Chứng minh. Chứng minh của mệnh đề này có thể được tìm thấy trong [5]
2.2.6 Đường trắc địa
Khái niệm
Cho S0 ∈S+(k, n),S0˙ ∈TS0S+(k, n), đường trắc địa xuất phát từ S0 có hướngS0˙
là cungt →S(t)trênS+(k, n)thỏa mãn các điều kiện
˙
S(t)∈TSS+(k, n), (2.7)
¨
S(t)∈NSS+(k, n), (2.8) với mọittrong khoảng mở(T−, T+)thỏa mãn điều kiện ban đầuS(0) =S0,S˙(0) = ˙S0.
Phương trình
Ta chọn biểu diễnS(t) = Y(t)YT(t)ứng với Y(t)∈ ST(k, n). Từ điều kiện (2.7),
˙
S = ˙Y YT +YY˙T ∈TY YTS+(k, n). Sử dụng điều kiện đối xứng củaH(t), ta suy ra
˙
Y(t) =Y(t)H(t) +PY⊥(t)Z(t)
H =HT ∈Rk×k vàZ ∈Rn×k. Tiếp theo, ràng buộc điều kiện (2.8) cho
¨ S(t) = ¨Y YT +YY¨T + 2 ˙YY˙T. Theo đó, ta phải tính d dt PY⊥Z= dtd Z−Y YTY−1YTZ =PY⊥Z˙ −Y Y˙ TY−1YTZ−Y YTY−1Y˙TZ +Y YTY−1 Y˙TY +YTY˙ YTY−1Y˙TZ =PY⊥Z˙ −PY⊥Z YTY−1YTZ−Y YTY−1ZTPY⊥Z.
Từ đó, ta suy ra
¨
Y = ˙Y H+YH˙ +dtd PY⊥Z =Y H2+PY⊥ZH+YH˙ +PY⊥Z˙
−PY⊥Z YTY−1YTZ−Y YTY−1ZTPY⊥Z.
Khi đó, chiếuS¨lên bốn không gian, ta thu được
¨ S =Y XY YYT +PY⊥X⊥YYT +Y XY⊥+PY⊥X⊥⊥PY⊥ với XY Y = 4H2+ 2 ˙H− YTY−1ZTPY⊥Z−ZTPY⊥Z YTY−1, X⊥Y = 3ZH+ ˙Z−Z YTY−1YTZ, XY⊥=X⊥TY, X⊥⊥= 2ZZT.
Để choS¨thuộc vào không gian pháp, ta chỉ cầnXY Y = 0vàX⊥Y = 0. Cuối cùng ta thu được.
Mệnh đề 2.2.8. Đường trắc địa S(t) = Y(t)Y(t)T với điểm gốc S(0) = Y0Y0T và hướng gốcS˙(0) =Y0H0Y0T +Z0Y0T +Y0Z0T thỏa mãn phương trình vi phân
˙ Y =Y H+PY⊥Z, (2.9) ˙ H =−2H2+12 YTY−1ZTPY⊥Z+12ZTPY⊥Z YTY−1, ˙ Z =−3ZH+Z YTY−1YTZ,
với điều kiệm ban đầuY(0) =Y0, H(0) =H0, Z(0) = ˜Z0 trong đóPY⊥Z˜0=Z0.
Ví dụ 2.2.9. Ta không thể tìm được nghiệm giải tích cho phương trình vi phân xác định đường trắc địa nêu ở Mệnh đề 2.2.8 trong trường hợp tổng quát. Tuy nhiên khi PY⊥(0)Z(0) = 0, đường trắc địa trở thành đường thẳng
với mọitkhiS(t)∈S+(k, n). ThayS0,S˙0vào phương trình củaS(t), ta có
S(t) =Y0Y0T + 2Y0H0Y0T =Y0(I+ 2tH0)Y0T =Y(t)YtT. Từ đó, ta suy ra
Y (t) =Y0(I+ 2tH0)1/2∀tvàI+ 2tH0 >0
Đạo hàm hai vế theot ˙ Y (t) = Y0(I+ 2tH0)−21H0 =Y0(I+ 2tH0)21(I+ 2tH0)−1H0 =Y (t) (I+ 2tH0)−1H0. Do giả thiếtPY⊥(0)Z(0) = 0, kết hợp (2.9), ta có H(t) = (I+ 2tH0)−1 và cuối cùng ˙ H(t) = −(I+ 2tH0)−22H02=−2H2(t) vàZ(t) = 0.
Kết luận và Đề nghị
Luận văn này đã tổng hợp, trình bày lại chi tiết những khái niệm trong lý thuyết đa tạp, hình học Riemann. Sau đó phần chính của luận văn là phần nghiên cứu trình bày các cấu trúc hình học của tập các không gian con của không gian thực nhiều chiều và tập các ma trận đối xứng nửa xác định dương.
Tài liệu tham khảo
Tiếng Việt
[1] Khu Quốc Anh, Nguyễn Doãn Tuấn (2005), Lí thuyết liên thông và hình học Riemann, NXB Đại học Sư Phạm.
[2] Đỗ Ngọc Diệp, Nông Quốc Chinh (2006),Hình học vi phân, NXB Thái Nguyên.
[3] Nguyễn Hữu Quang, Nguyễn Đình Quốc, Nguyễn Văn Bồng (2008),Hình học vi phân, NXB Đại học Quốc Gia.
[4] Đoàn Quỳnh (2006),Hình học vi phân, NXB Đại học Sư Phạm.
Tiếng Anh
[5] P.-A. Absil, R. Mahony, R. Sepulchre (2008), Optimization Algorithms on Ma- trix Manifolds, Princeton University Press.
[6] J. Ferrer, M.I. Garcia, F. Puerta (1994), “Differentiable famalies of subspaces”,
Linear Algebra and Its Applications,199, pp. 299 - 252.
[7] S. Gudmundsson (2017), An Introduction to Riemannian Geometry, Lecture Notes at Lund University, Lund, Scania.
[8] N.T. Son (2012),Interpolation Based Parametric Model Order Reduction, PhD dissertation, University of Bremen.
[9] B. Vandereycken, P.-A. Absil, S. Vandewalle (2009), “Embeded geometry of the set of symmetric positive semidefinite matrices of fixed rank”,IEEE\ SP 15th Workshop on Statistical Signal Processing, 31/08 - 03/09, Cardiff, UK.