3.1.1 Dựng bộ điều khiển chung:
Sơ đồ dựng 1 bộ điều khiển chung:
Hỡnh 3.1: Sơ đồ dựng 1 bộ điều khiển chung Ưu điểm: Đơn giản.
Nhược điểm: Khi tham số của 2 động cơ đơn thay đụ̉i theo cỏc hướng khỏc nhau thỡ độ chớnh xỏc của hệ thống điều khiển bị giảm.
Để khắc phục nhược điểm này ta sử dụng phương ỏn dựng 2 bộ điều khiển riờng biệt được trỡnh bày ở mục 3.1.2.
Hỡnh 3.2: Sơ đồ cấu trỳc cho động cơ tuyến tớnh kộp dựng 2 bộ điều khiển riờng biệt
3.2. Thiết kế bộ điều khiển thớch nghi cho động cơ tuyến tớnh kộp trong hệtruyền động vị trớ truyền động vị trớ
Hiện nay về phương diện lý thuyết cú nhiều phương phỏp thiết kế phi tuyến, như phương phỏp tuyến tớnh hoỏ chớnh xỏc, phương phỏp tựa phẳng, điều khiển mờ, mạng nơ ron ... Trong luận ỏn này ỏp dụng phương phỏp thiết kế phi tuyến dựa trờn cơ sở hàm Lyapunov và phương phỏp Backstepping
3.2.1 Thiết kế bộ điều khiển trờn cơ sở hàm điều khiển Lyapunov
Trước khi đưa ra thuật toỏn thiết kế bộ điều khiển trờn cơ sở hàm điều khiển Lyapunov, một số khỏi niệm sẽ được sử dụng trong phần này, đú là: điểm cõn bằng của hệ thống; ụ̉n định Lyapunov; hàm Lyapunov; hàm điều khiển Lyapunov.
Điểm cõn bằng: điểm cõn bằng của hệ thống là nghiệm của phương trỡnh:
(3.1)
nghĩa là, điểm cõn bằng là điểm mà hệ thống sẽ nằm im tại đú, tức trạng thỏi của nú
khụng bị thay đụ̉i ( ) khi khụng cú sự tỏc động từ bờn ngoài ( ).
Điểm cõn bằng mà trong luận ỏn sẽ ỏp dụng chớnh là cỏc giỏ trị đặt của bộ điều khiển mà ta sẽ thiết kế. Vỡ cỏc khỏi niệm về ụ̉n định Lyapunov được phỏt biểu cho điểm cõn bằng tại gốc toạ độ 0 , nờn từ cỏc điểm cõn bằng của hệ , để
chuyển về điểm cõn bằng tại gốc toạ độ, ta thực hiện thế biến:
, khi đú việc xột ụ̉n định của hệ
tại điểm cõn bằng sẽ được thay bằng việc xột tớnh ụ̉n định của hệ
tại điểm gốc tọa độ .
Ổn định Lyapunov: một hệ thống với mụ hỡnh khụng kớch thớch:
(3.2)
với một điểm cõn bằng là gốc tọa độ 0, được gọi là :
Ổn định Lyapunov tại điểm cõn bằng 0 nếu sau một tỏc động tức thời đỏnh bật ra khỏi điểm cõn bằng 0 và đưa tới một điểm trạng thỏi x0 nào đú thỡ hệ cú khả năng tự quay về lõn cận 0. Biểu diễn khỏi niệm này dưới dạng toỏn học thỡ: "Hệ được gọi là ụ̉n định Lyapunov tại điểm cõn bằng 0 nếu với bất kỳ bao giờ cũng tồn tại phụ thuộc sao cho nghiệm x(t) của (3.2) với điều kiện đầu x(0)=x0
thỏa món: ".
Ổn định tiệm cận Lyapunov tại điểm cõn bằng 0 nếu sau một tỏc động tức thời đỏnh bật ra khỏi điểm cõn bằng 0 và đưa tới một điểm trạng thỏi x0 nào đú thỡ hệ cú khả năng tự quay về 0. Cũng biểu diễn khỏi niệm trờn dưới dạng toỏn học thỡ: "Hệ được gọi là ụ̉n định tiệm cận tại điểm cõn bằng 0 nếu với bất kỳ bao giờ cũng tồn tại phụ thuộc sao cho nghiệm x(t) của (3.2) với điều kiện đầu x(0)=x0
thỏa món: ".
Hỡnh 3.1 minh họa khỏi niệm ụ̉n định và ụ̉n định tiệm cận tại gốc 0 của hệ phi tuyến. Ở hệ ụ̉n định, nếu cho trước một lõn cận của 0, tức là tập Ω cỏc điểm x
0 x0
x t( )
nhưng cho trước, thỡ phải tồn tại một lõn cận cũng của 0 sao cho mọi đường quỹ đạo trạng thỏi tại thời điểm t=0 đi qua một điểm x0 thuộc lõn cận thỡ kể từ thời điểm đú sẽ nằm hoàn toàn trong lõn cận . Vỡ x0=x(0) nờn để cú được , lõn cận phải nằm trong lõn cận . Mở rộng hơn, nếu quỏ trỡnh tự do x(t) khụng những về được lõn cận gốc 0 mà tiến tiệm cận về 0, thỡ đú người ta núi hệ là ụ̉n định tiệm cận tại 0.
Từ cỏc định nghĩa ở trờn, để chỉ ra một dạng ụ̉n định nào đú, ta phải xỏc định được x(t) là lời giải của (3.2). Song hiện chưa cú một phương phỏp tụ̉ng quỏt nào để cho ta tỡm được nghiệm x(t) hệ phương trỡnh vi phõn phi tuyến (3.2). A.M.Lyapunov, nhà toỏn học và kỹ sư người Nga, đó đưa ra một phương phỏp kiểm tra được tớnh ụ̉n định (ụ̉n định tiệm cận) của hệ (3.2) mà khụng cần phải tỡm nghiệm
x(t) của nú. Phương phỏp này sử dụng một hàm vụ hướng V(x) xỏc định dương, nghĩa là V(0)=0 ; . Nếu chỉ ra được V(x) là một hàm giảm liờn tục, thỡ hệ thống tự nú phải chuyển tới trạng thỏi (điểm) cõn bằng.
Hỡnh 3.3 Minh họa khỏi niệm ụ̉n định Lyapunov
Điều kiện cho hệ ổn định:
Theo [3], hệ phi tuyến cõn bằng tại gốc tọa độ và khi khụng bị kớch thớch, được mụ tả bởi mụ hỡnh:
(3.3) sẽ ụ̉n định Lyapunov tại 0 với miền ụ̉n định Ω nếu:
Trong Ω tồn tại một hàm xỏc định dương V(x,t)
Đạo hàm của nú tớnh theo mụ hỡnh (3.3) cú giỏ trị khụng dương trong Ω, tức
là: với mọi
sẽ ụ̉n định tiệm cận Lyapunov tại 0 với miền ụ̉n định Ω nếu: Trong Ω tồn tại một hàm xỏc định dương V(x,t).
Đạo hàm của nú tớnh theo mụ hỡnh (3.3) cú giỏ trị õm trong Ω với , tức
là: với mọi và
Hàm Lyapunov:
Một hàm V(x) trơn, xỏc định dương cú được
gọi là hàm Lyapunov của hệ (3.2). Hiển nhiờn rằng cần và đủ để hệ (3.2) ụ̉n định tiệm cận tại 0 là nú cú hàm Lyapunov (LF).
Ổn định tiệm cận toàn cục: với hệ ụ̉n định ụ̉n định tiệm cận, lõn cận gốc Ω
chứa tất cả (hoặc phần lớn) cỏc điểm trạng thỏi đầu x0 mà từ đú hệ tự quay về được gốc, được gọi là miền ụ̉n định. Nếu một hệ phi tuyến ụ̉n định tiệm cận tại gốc 0 với miền ụ̉n định Ω là toàn bộ khụng gian trạng thỏi thỡ nú được gọi là ụ̉n định tiệm cận toàn cục (GAS).
Thuật toỏn thiết kế bộ điều khiển trờn cơ sở hàm điều khiển Lyapunov Bõy giờ chỳng ta thờm vào đầu vào điều khiển và xột hệ thống:
(3.4) Nhiệm vụ của bài toỏn điều khiển được đặt ra trong luận văn này là thiết kế bộ điều khiển phản hồi trạng thỏi để cho trạng thỏi mong muốn của hệ kớn là một điểm cõn bằng ụ̉n định tiệm cận toàn cục (ụ̉n định tuyệt đối). Từ cỏc phõn tớch về ụ̉n định Lyapunov ở trờn, để đạt được mục đớch đặt ra ở trờn, ta cần thực hiờn cỏc bước sau:
Xỏc định hàm để cú:
trong một miền Ω nào đú chứa gốc tọa độ. Miền Ω càng lớn, chất lượng bộ điều khiển càng cao. Nếu miền Ω là toàn bộ khụng gian trạng thỏi, người ta núi, bộ điều khiển đó ụ̉n định được đối tượng một cỏch toàn cục.
Một hàm xỏc định dương, khả vi V(x) thỏa món điều kiện trờn được gọi là hàm điều khiển Lyapunov (CLF). Như vậy bất cứ một hàm xỏc định dương, trơn nào cũng cú thể là hàm CLF của hệ (3.4) nếu như tồn tại ớt nhất một quan hệ
sao cho:
Như vậy, hàm điều khiển Lyapunov là một khỏi niệm mở rộng của hàm Lyapunov. Hàm Lyapunov chỉ được định nghĩa cho hệ khụng bị kớch thớch và ụ̉n định, cũn khỏi niệm hàm điều khiển Lyapunov được định nghĩa cho cả hệ bị kớch thớch và khụng ụ̉n định.
Từ hàm điều khiển Lyapunov, ta dễ dàng xỏc định được bộ điều khiển ụ̉n định đối tượng theo hai bước của thuật toỏn đó nờu. Vấn đề cũn lại là làm thế nào để cú được một hàm điều khiển Lyapunov. Đõy là một bài toỏn nan giải, cản trở sự ứng dụng của phương phỏp thiết kế Lyapunov. Một trong những phơng pháp tìm hàm điều khiển Lyapunov đợc áp dụng cho một lớp đối tợng dạng cascade (dạng đối tợng có nhiều mô hình con hợp thành) gọi là phơng pháp cuốn chiếu (backstepping). Hàm điều khiển Lyapunov sẽ đợc xây dựng xuất phát từ các mô hình con bên trong theo kiểu cuốn chiếu.
3.2.2 Phương phỏp thiết kế bộ điều khiển trờn cơ sở Backstepping
Để nêu bật lên đợc ý tởng chính của phơng pháp Backstepping, theo [21] ta xét một ví dụ cụ thể đơn giản sau:
u cos(.) - (.)3 x cos(x) x3 x + + + (3.5a,b)
Mục tiêu điều khiển của ta là đa x(t) 0 khi t với mọi x(0) , (0). Từ phơng trình (3.5a) ta có thể thấy ngay hệ có 1 điểm cân bằng (x,) = (0,-1). Có thể biểu diễn (3.5) ở dạng sơ đồ khối nh sau:
Hình 3.4 Sơ đồ khối cho hệ (3.5)
Nếu coi la tín hiệu điều khiển cho phần trong đóng khung ở trên (chính là 3.5a), trớc hết ta đi tìm hàm điều khiển một phần của hệ.
Với mục đích làm triệt tiêu thành phần phi tuyến cos(x) trong phơng trình (3.5a), ta chọn :
(c1 là một hằng số dơng) (3.6)
thế vào phơng trình, thu đợc :
Chọn hàm điều khiển Lyapunov: xác định âm. Nh vậy với đã chọn, (3.5a) ổn định tiệm cận toàn cục. Tuy nhiên, không phải là tín hiệu điều khiển mà chỉ là biến trạng thái. Nói cách khác bộ điều khiển (3.6) là không sử dụng đợc cho hệ (3.5) vì tín hiệu phản
u cos(.) - (.)3 x x3 x - (x) des
hồi về lại là một biến trạng thái (chứ không phải là đầu vào của hệ (3.5) đã cho). Vấn đề tiếp theo là phải chuyển đợc đầu vào hồi tiếp thành u.
Xem hàm tìm đợc chỉ là giá trị mong muốn của . Ta gọi giá trị đó là: . Để biểu diễn sự khác biệt giữa và giá trị mong muốn của nó, ta định nghĩa một đại lợng z là biến sai lệch:
(3.7) Bây giờ, đợc gọi là điều khiển ảo (virtual control) và giá trị mong muốn của nó là (x) có chức năng ổn định (stabilizing function) biến z, là sai lệch điều khiển (error variable).
Bây giờ thêm bớt vào vế phải của phơng trình cùng một lợng (x) thu đợc:
hay: (3.8)
Biểu diễn việc vừa thực hiện bằng sơ đồ khối nh sau:
- c1 z - (.)3 x -x3 x u
Phần trong khung thể hiện phần phi tuyến đã đợc ổn định nhờ phản hồi trạng thái (x). Ta tiếp tục đa thành phần (x) "lùi" (backstep) qua khâu tích phân đợc:
(3.9) Trong hệ tọa độ mới (x,z), hệ thống đợc mô tả nh sau:
(3.10) Bây giờ ta xây dựng hàm điều khiển Lyapunov Va(x,) cho (3.5). Cách đơn giản nhất là thêm vào V(x) thành phần bậc 2 của biến sai số z nh sau:
(3.11)
Hình 3.6. Backstep qua khâu tích phân Lấy vi phân của Va(x,) kết hợp với (1.13), ta đợc:
(3.12) Để xác định âm, từ đó tìm đợc u thoả mãn ổn định tiệm cận toàn cục hệ kín, ta thay thế thành phần trong ngoặc vuông bởi -c2z với c2 là một hằng số dơng:
u cos(.) - (.)3 x cos(x) x3 x + + + Bộ điều khiển (3.13) (3.13) Với điều kiện u đã đợc chọn nh (3.13), ta có:
Ta thấy Va là hàm xác định dơng và đạo hàm của nó
khi , nênđiểm cân bằng (0,0) của hệ trên hệ tọa độ (x,z) là ổn định tiệm cận toàn cục, do đó điểm cân bằng (0,-1) trên hệ tọa độ (x,) cũng thảo mãn điều đó, và chúng ta đã đạt đợc mục tiêu của việc thiết kế bộ điều khiển.
Hỡnh 3.7 Hệ (3.5) sau khi đưa bộ điều khiển tụ̉ng hợp theo phương phỏp Backstepping
Từ vớ dụ cụ thể ở trờn, ta đi đến phương phỏp backstepping dạng tụ̉ng quỏt như sau: Xột hệ thống:
(3.14)
trong đú là vector cỏc biến trạng thỏi và u là đầu vào điều khiển. Giả thiết hệ thống con trong (3.14) là
cú một luật điều khiển phản hồi để làm nú là GAS. Núi cỏch khỏc hệ con (3.14a) cú hàm CLF V1(x):
(3.15) Với giả thiết trờn, theo [3], ta cú phỏt biểu như sau:
Xột hàm xỏc định dương, trơn:
(3.16) trong đú >0. Khi đú:
(3.17) Như vậy, nếu chọn bộ điều khiển thỏa món:
(3.18) với k là số nguyờn lẻ, ta sẽ cú hàm xỏc định õm:
Do đú hàm (3.16) là CLF của (3.16) và (3.18) là một bộ điều khiển phản hồi trạng thỏi GAS tương ứng.
3.2.3. Thiết kế bộ điều khiển vị trớ thớch nghi phi tuyến backstepping cho độngcơ tuyến tớnh kộp cơ tuyến tớnh kộp
3.2.3.1 Thiết kế bộ điều khiển vị trớ thớch nghi phi tuyến backstepping
Với phương ỏn thiết kế dựng hai hệ thống điều khiển vị trớ riờng cho từng động cơ, ta đi thiết kế hệ thống điều khiển vị trớ riờng cho từng động cơ. Sơ đồ khối hệ thống điều khiển vị trớ cho từng động cơ được mụ tả ở hỡnh 3.8.
Hỡnh 3.8 Cấu trỳc hệ thống điều khiển cho từng động cơ tuyến tớnh đơn Tiếp theo ta đi thiết kế hệ thống điều khiển vị trớ cho động cơ tuyến tớnh đơn với cỏc bước như sau:
Từ kết quả ở chương 2 ta cú hệ phương trỡnh toỏn học mụ tả cho động cơ tuyến tớnh đơn như sau:
(3.19a,b,c,d)
Định nghĩa sai lệch giữa vị trớ thực và vị trớ đặt của phần động động cơ là;
(3.20) Ta cú đạo hàm sai lệch vị trớ:
(3.21) Chọn hàm điều khiển Lyapunov:
(3.21) Đạo hàm V1 và kết hợp với (3.21), ta được:
(3.22) Từ (3.22), để , ta chọn giỏ trị mong muốn của biến điều khiển như sau:
(3.23) Trong đú, k1 là hằng số dương.
Tuy nhiờn, chưa phải là biến điều khiển thực, chỉ là biến điều khiển ảo, nờn ta tiếp tục chuyển sang bước 2.
Bước 2:
Ta định nghĩa sai lệch giữa giỏ trị vận tốc thực và vận tốc mong muốn của động cơ như sau: (3.24) Từ (3.24), ta cú: (3.25) Từ (3.21 ) và (3.25), ta được: (3.26) Từ (3.23) và (3.26), ta cú: ( 3.27) Từ (3.24), đạo hàm e2, ta cú: (3.28) Từ (3.19c), (3.25), (3.23), 93.28), ta cú:
(3.29)
Chọn hàm điều khiển Lyapunov:
(3.30) Lấy đạo hàm V2, ta được:
(3.31) Từ (3.27), (3.29) và (3.31), ta cú:
(3.32) Để , chọn giỏ trị mong muốn của biến điều khiển irq như sau:
(3.33)
Do đú, ta cú:
(3.34) Vỡ cỏc tham số Bv, Ft chưa xỏc định chớnh xỏc, cú thể thay đụ̉i trong quỏ trỡnh làm việc, do sự thay đụ̉i của hệ số ma sỏt Bv và đa nhiễu lực gõy bởi hiệu ứng đầu cuối, đập mạch lực do răng rónh, nhiễu lực do cỏc súng hài bậc cao, nhiễu lực do tương tỏc giữ hai động cơ đơn khi làm việc chung tải, nờn ta sử dụng cỏc ước lượng của nú là , khi đú (3.34) trở thành:
(3.35) Định nghĩa sai lệch giữa giỏ trị thực của biến điều khiển irq và giỏ trị mong muốn ước lượng của nú là:
(3.36) Đạo hàm sai lệch của là:
(3.37) Từ (3.36), ta cú:
(3.38) Gọi sai lệch giữa giỏ trị thực của cỏc tham số Bv, TL và cỏc giỏ trị ước lượng của nú
(3.39) Từ (3.29),(3.38), ta cú: (3.40) Từ (3.35), ta cú: (3.41) Từ (3.19b) , (3.35), (3.37), ta cú: (3.42) Từ (3.42), (3.38), (3.35), ta cú:
(3.43) Chọn hàm điều khiển Lyapunov:
(3.44) Trong đú: - là cỏc hằng số dương.
Đạo hàm , ta được:
(3.45)
3.46)
Tiếp tục biến đụ̉i (4.47) ta được:
Tiếp tục biến đụ̉i (3.48) ta được:
(3.49)
(3.50) Từ (3.50), để õm, ta chọn cỏc luật điều khiển thớch nghi (3.51), (3.52) và biến điều khiển thực Urq (3.53) như dưới đõy:
(3.51) (3.52)
Hỡnh 3.9. Sơ đồ cấu trỳc bộ điều khiển vị trớ thớch nghi phi tuyến Backstepping
3.2.3.2. Thiết kế bộ điều chỉnh thành phần ird
Chọn ird là biến điều khiển, giỏ trị mong muốn của nú ird* , đõy là thành phần tạo từ thụng kớch thớch cho động cơ. Vỡ đõy là động cơ tuyến tớnh kớch thớch nam chõm vĩnh cửu, nờn ta cho thành phần này bằng khụng. Gọi sai lệch giữa ird và giỏ trị đặt ird* là :
e4 = ird – ird* (3.54)
Chọn hàm điều khiển Lyapunov là: . Lấy đạo hàm theo thời gian, ta cú:
. (3.55) Ta lại cú: . (3.56) Từ (3.19a), ta cú : (3.57) Do đú:
(3.58)
Chọn biến điều khiển là , để , thỡ giỏ trị của biến điều khiển là :
(3.59)
Với k2 là hằng số dương. Từ (3.59), ta được:
(3.60) Từ (3.60), ta cú sơ đồ cấu trỳc bộ điều khiển thành phần dũng phi tuyến Backstepping ird như hỡnh 3.10.
Hỡnh 3.10. Sơ đồ cấu trỳc bộ điều khiển thành phần dũng phi tuyến Backstepping ird
+ - - _ Lrd k2 + + + - + Lrd
Hỡnh 3.11 a Sơ đồ cấu trỳc hệ thống điều khiển vị trớ động cơ tuyến tớnh đơn trờn cơ sở bộ điều khiển vị trớ thớch nghi phi tuyến backstepping.
3.3 Thiết kế hệ thống điều khiển vị trớ trờn cơ sở bộ điều khiển PID
Một hệ thống điều khiển vị trớ với PMLM dựa trờn bộ điều khiển PID phải cú ớt nhất hai mạch vũng điều khiển, đú là mạch vũng điều khiển dũng điện (lực đẩy) và mạch vũng điều khiển vị trớ. Thụng thường mạch vũng điều khiển vị trớ cú ba