Chương 2 : Mễ HèNH TỐN HỌC ĐỘNG CƠ TUYẾN TÍNH KẫP
3.2. Thiết kế bộ điều khiển thớch nghi cho động cơ tuyến tớnh kộp trong hệ truyền
3.2.2 Phương phỏp thiết kế bộ điều khiển trờn cơ sở Backstepping
Để nêu bật lên đợc ý tởng chính của phơng pháp Backstepping, theo [21] ta xét một ví dụ cụ thể đơn giản sau:
u cos(.) - (.)3 x cos(x) x3 x + + + (3.5a,b)
Mục tiêu điều khiển của ta là đa x(t) 0 khi t với mọi x(0) , (0). Từ phơng trình (3.5a) ta có thể thấy ngay hệ có 1 điểm cân bằng (x,) = (0,-1). Có thể biểu diễn (3.5) ở dạng sơ đồ khối nh sau:
Hình 3.4 Sơ đồ khối cho hệ (3.5)
Nếu coi la tín hiệu điều khiển cho phần trong đóng khung ở trên (chính là 3.5a), trớc hết ta đi tìm hàm điều khiển một phần của hệ.
Với mục đích làm triệt tiêu thành phần phi tuyến cos(x) trong phơng trình (3.5a), ta chọn :
(c1 là một hằng số dơng) (3.6)
thế vào phơng trình, thu đợc :
Chọn hàm điều khiển Lyapunov: xác định âm. Nh vậy với đã chọn, (3.5a) ổn định tiệm cận toàn cục. Tuy nhiên, khơng phải là tín hiệu điều khiển mà chỉ là biến trạng thái. Nói cách khác bộ điều
u cos(.) - (.)3 x x3 x - (x) des
hồi về lại là một biến trạng thái (chứ không phải là đầu vào của hệ (3.5) đã cho). Vấn đề tiếp theo là phải chuyển đợc đầu vào hồi tiếp thành u.
Xem hàm tìm đợc chỉ là giá trị mong muốn của . Ta gọi giá trị đó là: . Để biểu diễn sự khác biệt giữa và giá trị mong muốn của nó, ta định nghĩa một đại lợng z là biến sai lệch:
(3.7) Bây giờ, đợc gọi là điều khiển ảo (virtual control) và giá trị mong muốn của nó là (x) có chức năng ổn định (stabilizing function) biến z, là sai lệch điều khiển (error variable).
Bây giờ thêm bớt vào vế phải của phơng trình cùng một lợng (x) thu đợc:
hay: (3.8)
Biểu diễn việc vừa thực hiện bằng sơ đồ khối nh sau:
- c1 z - (.)3 x -x3 x u
Phần trong khung thể hiện phần phi tuyến đã đợc ổn định nhờ phản hồi trạng thái (x). Ta tiếp tục đa thành phần (x) "lùi" (backstep) qua khâu tích phân đợc:
(3.9) Trong hệ tọa độ mới (x,z), hệ thống đợc mô tả nh sau:
(3.10) Bây giờ ta xây dựng hàm điều khiển Lyapunov Va(x,) cho (3.5). Cách đơn giản nhất là thêm vào V(x) thành phần bậc 2 của biến sai số z nh sau:
(3.11)
Hình 3.6. Backstep qua khâu tích phân Lấy vi phân của Va(x,) kết hợp với (1.13), ta đợc:
(3.12) Để xác định âm, từ đó tìm đợc u thoả mãn ổn định tiệm cận tồn cục hệ kín, ta thay thế thành phần trong ngoặc vuông bởi -c2z với c2 là một hằng số dơng:
u cos(.) - (.)3 x cos(x) x3 x + + + Bộ điều khiển (3.13) (3.13) Với điều kiện u đã đợc chọn nh (3.13), ta có:
Ta thấy Va là hàm xác định dơng và đạo hàm của nó
khi , nênđiểm cân bằng (0,0) của hệ trên hệ tọa độ (x,z) là ổn định tiệm cận tồn cục, do đó điểm cân bằng (0,-1) trên hệ tọa độ (x,) cũng thảo mãn điều đó, và chúng ta đã đạt đợc mục tiêu của việc thiết kế bộ điều khiển.
Hỡnh 3.7 Hệ (3.5) sau khi đưa bộ điều khiển tụ̉ng hợp theo phương phỏp Backstepping
Từ vớ dụ cụ thể ở trờn, ta đi đến phương phỏp backstepping dạng tụ̉ng quỏt như sau: Xột hệ thống:
(3.14)
trong đú là vector cỏc biến trạng thỏi và u là đầu vào điều khiển. Giả thiết hệ thống con trong (3.14) là
cú một luật điều khiển phản hồi để làm nú là GAS. Núi cỏch khỏc hệ con (3.14a) cú hàm CLF V1(x):
(3.15) Với giả thiết trờn, theo [3], ta cú phỏt biểu như sau:
Xột hàm xỏc định dương, trơn:
(3.16) trong đú >0. Khi đú:
(3.17) Như vậy, nếu chọn bộ điều khiển thỏa món:
(3.18) với k là số nguyờn lẻ, ta sẽ cú hàm xỏc định õm:
Do đú hàm (3.16) là CLF của (3.16) và (3.18) là một bộ điều khiển phản hồi trạng thỏi GAS tương ứng.