Chương 2 : Mễ HèNH TỐN HỌC ĐỘNG CƠ TUYẾN TÍNH KẫP
3.2. Thiết kế bộ điều khiển thớch nghi cho động cơ tuyến tớnh kộp trong hệ truyền
3.2.1 Thiết kế bộ điều khiển trờn cơ sở hàm điều khiển Lyapunov
Trước khi đưa ra thuật toỏn thiết kế bộ điều khiển trờn cơ sở hàm điều khiển Lyapunov, một số khỏi niệm sẽ được sử dụng trong phần này, đú là: điểm cõn bằng của hệ thống; ụ̉n định Lyapunov; hàm Lyapunov; hàm điều khiển Lyapunov.
Điểm cõn bằng: điểm cõn bằng của hệ thống là nghiệm của phương trỡnh:
(3.1)
nghĩa là, điểm cõn bằng là điểm mà hệ thống sẽ nằm im tại đú, tức trạng thỏi của nú
khụng bị thay đụ̉i ( ) khi khụng cú sự tỏc động từ bờn ngoài ( ).
Điểm cõn bằng mà trong luận ỏn sẽ ỏp dụng chớnh là cỏc giỏ trị đặt của bộ điều khiển mà ta sẽ thiết kế. Vỡ cỏc khỏi niệm về ụ̉n định Lyapunov được phỏt biểu cho điểm cõn bằng tại gốc toạ độ 0 , nờn từ cỏc điểm cõn bằng của hệ , để
chuyển về điểm cõn bằng tại gốc toạ độ, ta thực hiện thế biến:
, khi đú việc xột ụ̉n định của hệ
tại điểm cõn bằng sẽ được thay bằng việc xột tớnh ụ̉n định của hệ
tại điểm gốc tọa độ .
Ổn định Lyapunov: một hệ thống với mụ hỡnh khụng kớch thớch:
(3.2)
với một điểm cõn bằng là gốc tọa độ 0, được gọi là :
Ổn định Lyapunov tại điểm cõn bằng 0 nếu sau một tỏc động tức thời đỏnh bật ra khỏi điểm cõn bằng 0 và đưa tới một điểm trạng thỏi x0 nào đú thỡ hệ cú khả năng tự quay về lõn cận 0. Biểu diễn khỏi niệm này dưới dạng toỏn học thỡ: "Hệ được gọi là ụ̉n định Lyapunov tại điểm cõn bằng 0 nếu với bất kỳ bao giờ cũng tồn tại phụ thuộc sao cho nghiệm x(t) của (3.2) với điều kiện đầu x(0)=x0
thỏa món: ".
Ổn định tiệm cận Lyapunov tại điểm cõn bằng 0 nếu sau một tỏc động tức thời đỏnh bật ra khỏi điểm cõn bằng 0 và đưa tới một điểm trạng thỏi x0 nào đú thỡ hệ cú khả năng tự quay về 0. Cũng biểu diễn khỏi niệm trờn dưới dạng toỏn học thỡ: "Hệ được gọi là ụ̉n định tiệm cận tại điểm cõn bằng 0 nếu với bất kỳ bao giờ cũng tồn tại phụ thuộc sao cho nghiệm x(t) của (3.2) với điều kiện đầu x(0)=x0 thỏa món: ".
Hỡnh 3.1 minh họa khỏi niệm ụ̉n định và ụ̉n định tiệm cận tại gốc 0 của hệ phi tuyến. Ở hệ ụ̉n định, nếu cho trước một lõn cận của 0, tức là tập Ω cỏc điểm x trong khụng gian trạng thỏi thỏa món với là một số thực dương tựy ý
0 x0
x t( )
nhưng cho trước, thỡ phải tồn tại một lõn cận cũng của 0 sao cho mọi đường quỹ đạo trạng thỏi tại thời điểm t=0 đi qua một điểm x0 thuộc lõn cận thỡ kể từ thời điểm đú sẽ nằm hoàn toàn trong lõn cận . Vỡ x0=x(0) nờn để cú được , lõn cận phải nằm trong lõn cận . Mở rộng hơn, nếu quỏ trỡnh tự do x(t) khụng những về được lõn cận gốc 0 mà tiến tiệm cận về 0, thỡ đú người ta núi hệ là ụ̉n định tiệm cận tại 0.
Từ cỏc định nghĩa ở trờn, để chỉ ra một dạng ụ̉n định nào đú, ta phải xỏc định được x(t) là lời giải của (3.2). Song hiện chưa cú một phương phỏp tụ̉ng quỏt nào để cho ta tỡm được nghiệm x(t) hệ phương trỡnh vi phõn phi tuyến (3.2). A.M.Lyapunov, nhà toỏn học và kỹ sư người Nga, đó đưa ra một phương phỏp kiểm tra được tớnh ụ̉n định (ụ̉n định tiệm cận) của hệ (3.2) mà khụng cần phải tỡm nghiệm
x(t) của nú. Phương phỏp này sử dụng một hàm vụ hướng V(x) xỏc định dương,
nghĩa là V(0)=0 ; . Nếu chỉ ra được V(x) là một hàm giảm liờn tục, thỡ hệ thống tự nú phải chuyển tới trạng thỏi (điểm) cõn bằng.
Hỡnh 3.3 Minh họa khỏi niệm ụ̉n định Lyapunov
Điều kiện cho hệ ổn định:
Theo [3], hệ phi tuyến cõn bằng tại gốc tọa độ và khi khụng bị kớch thớch, được mụ tả bởi mụ hỡnh:
(3.3) sẽ ụ̉n định Lyapunov tại 0 với miền ụ̉n định Ω nếu:
Trong Ω tồn tại một hàm xỏc định dương V(x,t)
Đạo hàm của nú tớnh theo mụ hỡnh (3.3) cú giỏ trị khụng dương trong Ω, tức
là: với mọi
sẽ ụ̉n định tiệm cận Lyapunov tại 0 với miền ụ̉n định Ω nếu: Trong Ω tồn tại một hàm xỏc định dương V(x,t).
Đạo hàm của nú tớnh theo mụ hỡnh (3.3) cú giỏ trị õm trong Ω với , tức
là: với mọi và
Hàm Lyapunov:
Một hàm V(x) trơn, xỏc định dương cú được
gọi là hàm Lyapunov của hệ (3.2). Hiển nhiờn rằng cần và đủ để hệ (3.2) ụ̉n định tiệm cận tại 0 là nú cú hàm Lyapunov (LF).
Ổn định tiệm cận toàn cục: với hệ ụ̉n định ụ̉n định tiệm cận, lõn cận gốc Ω
chứa tất cả (hoặc phần lớn) cỏc điểm trạng thỏi đầu x0 mà từ đú hệ tự quay về được gốc, được gọi là miền ụ̉n định. Nếu một hệ phi tuyến ụ̉n định tiệm cận tại gốc 0 với miền ụ̉n định Ω là toàn bộ khụng gian trạng thỏi thỡ nú được gọi là ụ̉n định tiệm cận toàn cục (GAS).
Thuật toỏn thiết kế bộ điều khiển trờn cơ sở hàm điều khiển Lyapunov Bõy giờ chỳng ta thờm vào đầu vào điều khiển và xột hệ thống:
(3.4) Nhiệm vụ của bài toỏn điều khiển được đặt ra trong luận văn này là thiết kế bộ điều khiển phản hồi trạng thỏi để cho trạng thỏi mong muốn của hệ kớn là một điểm cõn bằng ụ̉n định tiệm cận toàn cục (ụ̉n định tuyệt đối). Từ cỏc phõn tớch về ụ̉n định Lyapunov ở trờn, để đạt được mục đớch đặt ra ở trờn, ta cần thực hiờn cỏc bước sau:
Xỏc định hàm để cú:
trong một miền Ω nào đú chứa gốc tọa độ. Miền Ω càng lớn, chất lượng bộ điều khiển càng cao. Nếu miền Ω là toàn bộ khụng gian trạng thỏi, người ta núi, bộ điều khiển đó ụ̉n định được đối tượng một cỏch toàn cục.
Một hàm xỏc định dương, khả vi V(x) thỏa món điều kiện trờn được gọi là hàm điều khiển Lyapunov (CLF). Như vậy bất cứ một hàm xỏc định dương, trơn nào cũng cú thể là hàm CLF của hệ (3.4) nếu như tồn tại ớt nhất một quan hệ
sao cho:
Như vậy, hàm điều khiển Lyapunov là một khỏi niệm mở rộng của hàm Lyapunov. Hàm Lyapunov chỉ được định nghĩa cho hệ khụng bị kớch thớch và ụ̉n định, cũn khỏi niệm hàm điều khiển Lyapunov được định nghĩa cho cả hệ bị kớch thớch và khụng ụ̉n định.
Từ hàm điều khiển Lyapunov, ta dễ dàng xỏc định được bộ điều khiển ụ̉n định đối tượng theo hai bước của thuật toỏn đó nờu. Vấn đề cũn lại là làm thế nào để cú được một hàm điều khiển Lyapunov. Đõy là một bài toỏn nan giải, cản trở sự ứng dụng của phương phỏp thiết kế Lyapunov. Một trong những phơng pháp
tìm hàm điều khiển Lyapunov đợc áp dụng cho một lớp đối tợng dạng cascade (dạng đối tợng có nhiều mơ hình con hợp thành) gọi là phơng pháp cuốn chiếu (backstepping). Hàm điều khiển Lyapunov sẽ đợc xây dựng xuất phát từ các mơ hình con bên trong theo kiểu
cuốn chiếu.