7. Cấu trúc của luận văn
2.2.3. Biện pháp 3: Phát triển NL lập luận toán học khi dạy hoc các tình huống
DH điển hình: Dạy học khái niệm, dạy học định lý, dạy học giải toán
Trong quá trình dạy học môn toán ở trường THPT việc dạy học những khái niệm và định nghĩa, những định lí và chứng minh, việc giải bài tập toán… được lặp đi lặp lại rất nhiều lần, ta gọi đó là các tình huống điển hình trong dạy học môn Toán.
2.2.3.1. Cơ sở lý luận và thực tiễn của biện pháp
+ Xét về mặt khách quan, tình huống dạy học là tổ hợp những mối quan hệ xã hội cụ thể được hình thành trong quá trình dạy học, khi mà học sinh đã trở thành chủ
Hình 2.27 O D A B C S H
thể hoạt động với đối tượng nhận thức trong môi trường dạy học nhằm một mục đích dạy học cụ thể.
+ Xét về mặt chủ quan, tình huống dạy học chính là trạng thái bên trong được sinh ra do sự tương tác giữa chủ thể với đối tượng nhận thức.
+ Theo quan điểm lý luận dạy học, tình huống dạy học là đơn vị cấu trúc của bài học trên lớp, bao gồm tổ hợp các điều kiện cần thiết.
2.2.3.2. Mục đích của biện pháp
Dạy học tình huống góp phần nâng cao tính chủ động, sáng tạo của người học. Khác với việc tiếp thu lí thuyết một cách thụ động, khi được giao các bài tập tình huống, người học phải chủ động tìm kiếm thông tin, phải chủ động tư duy, thảo luận - tranh luận trong nhóm hay với giáo viên, tìm hiểu thêm về lí thuyết, tài liệu tham khảo để đi đến giải pháp. Dạy học tình huống góp phần gây hứng thú học tập qua quá trình tư duy, tranh luận tích cực với các bạn trong nhóm. Đây chính là lúc quá trình dạy và học tập trung vào học phương pháp học, phương pháp tiếp cận, phân tích và tìm giải pháp chứ không chỉ giới hạn ở việc học các nội dung cụ thể. Dạy học tình huống giúp cho giảng viên tiếp thu được những kinh nghiệm và giải pháp mới từ phía học viên để làm phong phú bài giảng và vốn sống của bản thân.
2.2.3.3. Nội dung của biện pháp
* Dạy học khái niệm:
- Việc dạy học khái niệm toán học phải làm cho học sinh đạt được các yêu cầu sau:
+ Nắm được đặc điểm, đặc trưng của một khái niệm
+Biết nhận dạng khái niệm, tức là biết phát hiện xem một đối tượng cho trước có thuộc một khái niệm nào đó hay không, đồng thời thể hiện khái niệm, nghĩa là biết tạo ra (vẽ hình, nêu bằng lời…) một đối tượng là một minh họa cho một khái niệm cho trước.
+ Biết phát biểu rõ ràng, chính xác định nghĩa khái niệm
+ Biết vận dụng khái niệm trong những tình huống cụ thể trong hoạt động giải toán + Nắm được mối quan hệ của khái niệm với các khái niệm khác trong hệ thống các khái niệm.
Các yêu cầu trên có quan hệ chặt chẽ với nhau, nhưng không phải lúc nào cũng đặt mức độ như nhau đôi với từng khái niệm.
Trong hình học lớp 11 các khái niệm được hình thành tương đối chính xác như khái niệm “Hai mặt phẳng song song”, “đường thẳng vuông góc với mặt phẳng” …
các khái niệm này chỉ có thể giải thích, mô tả, minh họa bằng hình vẽ và ví dụ cụ thể, học sinh sử dụng khái niệm đó chỉ bằng trực giác mà thôi.
Chẳng hạn khái niệm “hai đường thẳng chéo nhau” không thể yêu cầu học sinh năm được những đặc điểm đặc trưng như của của khái niệm “ Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng”. Ở hình học lớp 11 chưa thể đưa ra định nghĩa chính xác về “hai đường thẳng chéo nhau” mà chỉ dựa vào các trường hợp hai đường thẳng cắt nhau, song song, trùng nhau. Vì thế không nên đặt cho học sinh câu hỏi “ hai đường thẳng chéo nhau” là gì?.
- Các con đường hình thành khái niệm:
+ Thứ nhất, con đường quy nạp được áp dụng trong phần lớn các khái niệm. Theo con đường này, xuất phát từ một số trường hợp cụ thể, trưu tượng hóa và khái quá hóa, ta dẫ dắt học sinh tìm ra dấu hiệu đặc trưng của khái niệm thể hiện qua các trường hợp cụ thể đó, từ đó đi đến định nghĩa khái niệm, như định nghĩa “ Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng”: từ đường thẳng vuông góc với nhiều đường nằm trong một mặt phẳng.
+ Thứ hai, con đường suy diễn trong việc hình thành khái niệm mới xuất phát từ định nghĩa của khái niệm cũ mà học sinh đã biết, ví dụ định nghĩa “Hai mặt phẳng vuông góc” được xây dựng dựa vào góc giữa hai mặt phẳng, “ góc giữa hai mặt phẳng” lại dựa vào góc giữa hai đường thẳng và đường thẳng vuông góc với mặt phẳng.
- Dạy học định nghĩa khái niệm: Việc hình thành khái niệm thường kết thúc bằng định nghĩa khái niệm. Trong toán học và trong giảng dạy toán học có những cách khác nhau để định nghĩa khái niệm.
Ví dụ 16:
*Hình lăng trụ đứng: + Hình lăng trụ
+ Cạnh bên vuông góc với đáy. * Hình chóp đều:
+ Hình chóp
+ Có đáy là đa giác đều
+ Hình chiếu vuông góc của đỉnh trùng với tâm của đáy.
Định nghĩa như vậy là tường minh, khái niệm được định nghĩa và khái niệm dùng để định nghĩa là tách bạch với nhau. Điều đó cho phép ta thay thế cái được định nghĩa bằng cái dùng để định nghĩa hay ngược lại. Sự thay thế như vậy rất hay được
dùng để chứng minh hay giải toán. Nhưng không phải tất cả các khái niệm đều được định nghĩa theo câu trúc trên. Ngược lại quá trình logic định nghĩa các khái niệm, thì các khái niệm đầu tiên không được định nghĩa qua các khái niệm khác của hệ thống lí thuyết đã cho, bởi vì trong hệ thống này trước đó không có khái niệm nào. Nhưng điều đó không có nghĩa là những khái niệm đó không được định nghĩa, mà các khái niệm này được định nghĩa một cách không tường minh, gián tiếp bằng mô tả để làm nổi bật nội dung của chúng hay bằng những tiên đề như: mặt phẳng, một số tính chất thừa nhận (SGK HH 11 tr.46).
Như vậy, trong dạy học ở hình học lớp 11 có những khái niệm không được định nghĩa bởi hai lí do: một là các khái niệm xuất phát trong khoa học, hai là lí do sư phạm mặc dù chúng có thể được đinh nghĩa trong khoa học toán học. Đối với những khái niệm như vậy thì cần mô tả, giải thích thông qua những ví dụ cụ thể giúp HS hình dung được hình ảnh, ý nghĩa của khái niệm ấy. Ví dụ như khái niệm mặt phẳng SGK HH 11,…
- Những hoạt động củng cố định nghĩa: Trong dạy học khái niệm, chúng ta cần giúp học sinh củng cố kiến thức bằng cách cho học sinh tập luyện những hoạt động: nhận dạng khái niệm, thể hiện khái niệm, hoạt động ngôn ngữ và một số hoạt động khác.
+ Nhận dạng và thể hiện khái niệm: Một trong những biểu hiện của chủ nghĩa hình thức trong học tập môn Toán là một số học sinh thuộc cách phát biểu của định nghĩa nhưng lại không nhận biết được một đối tượng cụ thể có thỏa mãn định nghĩa ấy hay không, không tự mình tạo ra được những đối tượng thỏa mãn định nghĩa. Vì vậy cần phải cho học sinh tiến hành những hoạt động “Nhận dạng” và “thể hiện" để khắc phục chủ nghĩa hình thức, để củng cố khái niệm.
Ví dụ 17: Cho hình chóp SABCD có đáy là hình vuông, SA(ABCD). Tìm khoảng cách giữa SB và CD. Qua ví dụ này cho học sinh quan sát dự đoán, sau đó trực tiếp kiểm tra lại.
+ Hoạt động ngôn ngữ: Để giúp học sinh củng cố khái niệm và phát triển ngôn ngữ, cần chú ý hướng dẫn và khuyến khích học sinh diễn đạt các định nghĩa theo một cách khác, bằng lời lẽ của bản thân mình. Phương diện ngôn ngữ trong dạy học khái niệm góp phần tích cực phát triển ngôn ngữ toán học cho học sinh, bao gồm vốn từ và
các kí hiệu toán học, tạo cơ sở phát triển năng lực nhận thức, cũng như năng lực lập luận vào việc học tập các môn học khác.
+ Một số hoạt động củng cố khác: Một số hoạt động cần rèn luyện cho học sinh trong dạy học khái niệm khi có điều kiện là hệ thống hóa, tức là nhận ra những mối quan hệ giữa các khái niệm. Sau khi truyền thụ một khái niệm, cần tạo cơ hội cho học sinh vận dụng khái niệm đó vào những bài toán, những hoạt động khác nhau đặc biệt là bài toán chứng minh trong môn toán. Điều đó có tác dụng củng cố, nắm vững khái niệm, góp phần phát triển năng lực lập luận.
* Dạy học các định lí toán học:
- Việc dạy học định lí toán học cần đạt được những yêu cầu sau:
+ Nắm được nội dung các định lí và những mối liên hệ giữa chúng, từ đó có khả năng vận dụng các định lí vào hoạt động giải toán.
+ Làm cho học sinh thấy được sự cần thiết phải chứng minh chặt chẽ, suy luận chính xác.
+ Phát triển năng lực chứng minh toán học.
- Các con đường dạy học định lí: dạy học đinh lí được thể hiện theo hai con đường, đó là: con đường suy diễn và con đường có khâu suy đoán. Việc chọn còn đường nào không phải tùy ý mà tùy theo nội dung định lí và tùy vào điều kiện cụ thể của học sinh. Trong dạy học hình học, việc phát hiện định lí có thể được tiến hành thông qua vẽ hình hoặc thông qua hoạt động thực hành dựng mô hình dưới sự hướng dẫn của giáo viên. Ví dụ như dạy học định lí 2 (SGK HH 11 Tr.109) “Nếu hai mặt phẳng cắt nhau và cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến của chúng vuông góc với mặt phẳng thứ ba đó”.
- Dạy chứng minh định lí: trong dạy học định lí, một khâu quan trong là phát triển ở học sinh năng lực chứng minh toán học và cũng là phát triển năng lực lập luận
Ví dụ 18: Định lí 1 (SGK HH 11 Tr.61) “ Nếu đường thẳng d không nằm trong mặt phẳng và d song song với d’ nằm trong thì d song song với ”
Chứng minh:
Gọi là mặt phẳng xác định bởi hai đường thẳng d và d’.
Ta có d' (giao tuyến của hai
Nếu d M thì M thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng và là d’ (Ở đây M d M và M theo tính chất thừa nhận thì Md') hayd d' M . Điều này mâu thuẫn với giả thiết d // d’. Vậy d // .
Trong quá trình dạy học chứng minh định lí, ta cần truyền thụ cho học sinh những tri thức phương pháp về cách chứng minh (tính chất tìm đoán) theo con đường tập luyện những hoạt động ăn khớp với những tri thức này. Cách này kết tinh ở học sinh như là một bộ phận kinh nghiệm mà học sinh tích lũy được trong quá trình học chứng minh định lí, cũng như giải các bài toán chứng minh. Đương nhiên, sự kết tinh này không nên diễn ra một cách tự phát mà cần được thực hiện một cách có chủ đích, có ý thức của giáo viên. Như, giáo viên luôn luôn nhắc lặp đi lặp lại một cách có dụng ý những chỉ dẫn hoặc câu hỏi:
+ Giả thiết nói gì ? Giả thiết còn có thể biến đổi như thế nào?
+ Hãy vẽ một hình theo những dữ kiện của bài toán, những khả năng có thể xẩy ra. + Giả thiết suy ra được điều gì? Những định lí nào có giả thiết giống hoặc gần giống với giả thiết này?
+ Kết luận nói gì ? Điều đó còn có thể phát biểu như thế nào?
+ Những định lí nào có kết luận giống hoặc gần giống với kết luận của bài toán? …
- Dạy học cung cố định lí: Trong dạy học định lí, chúng ta cần giúp học sinh củng cố kiến thức bằng cách cho học sinh rèn luyện những hoạt động sau:
Nhận dạng và thể hiện là những hoat động quan trong để củng cố định lí. “Nhận dạng” là xem xét một tình huống cho trước có ăn khớp với một nhân định nào đó hay không. “Thể hiện” là tạo ra một tình huống phù hợp với định lí cho trước.
Ví dụ về nhận dạng: Cho hình chóp SABCD đáy là hình vuông tâm O có
SAC ABCD, SBD ABCD. Hỏi SOABCD hay không?
Ví dụ về thể hiện: Cho hình chóp SABC có SAB ABC và SAC ABC. Xác định SAABC.
Hoạt động ngôn ngữ cần chú trọng phân tích cấu trúc logic cũng như phân tích nội dung định lí, khuyến khích học sinh thay đổi hình thức phát biểu định lí nhằm phát triển năng lực lập luận độc lập của mình.
* Dạy học giải toán:
- Dạy toán là dạy hoạt động toán học. Đối với học sinh. có thể xem việc giải toán là hình thức chủ yếu của hoạt động toán học. Các bài toán ở trường THPT là một phương tiện rất có hiệu quả và không thể thay thế được trong việc giúp học sinh nắm vững tri thức, phát triển năng lực tư duy, năng lực lập luận. Hoạt động giải bài tập toán học là điều kiện để thực hiện tốt các mục đích dạy học Toán ở trường THPT. Vì vậy, tổ chức có hiệu quả việc dạy giải bài toán học có vai trò quyết định đối với chất lượng dạy học Toán.
Trong thực tiễn dạy học, bài tập toán được sử dụng với những dụng ý khác nhau. Mỗi bài toán có thể dùng để tạo tiền đề xuất phát, để gợi động cơ, dể làm việc với nội dung mới, để củng cố, để kiểm tra…. Tất nhiên, việc dạy giải một bài toán cụ thể thường không chỉ nhằm vào một dụng ý đơn nhất nào đó mà thường bào hàm những ý đồ nhiều mặt như đã nêu.
Một bài toán cụ thể được đặt ra ở những thời điểm nào đó của quá trình dạy học đều chứa đựng một cách tường minh hay ẩn tàng những chức năng khác nhau. Những chức năng này đều hướng tới việc thực hiện các mục đích dạy học. Trong môn toán, các bài tập mang các chức năng sau:
+ Chức năng dạy học: bài tập nhằm hình thành củng cố cho học sinh những tri thức, kĩ năng, kĩ xảo ở các giai đoạn khác nhau của quá trình dạy học.
+ Chức năng giáo dục: Bài tập nhằm hình thành cho học sinh thế giới quan duy vật biên chứng, hứng thú học tập, niềm tin và phẩm chất đạo đức của người lao động mới.
+ Chức năng phát triển: bài tập nhằm phát triển năng lực tư duy của học sinh, đặc biệt là rèn luyện những tri thức trí tuệ, hình thành những phẩm chất của tư duy khoa học.
+ Chức năng kiểm tra: bài tập nhằm đánh giá mức độ, kết quả dạy và học, đánh giá khả năng độc lập toán học và trình độ phát triển của học sinh.
Trên thực tế, các chức năng không bộ lộ một cách riêng lẻ cà tách rời nhau. Khi nói đến chức năng này hay chức năng khác của một bài toán cụ thể tức là hàm ý nói việc thực hiện chức nưng ấy được tiến hành một cách tường minh hay công khai. Hiệu quả của việc dạy học toán ở trường phổ thông phàn lớn phụ thuộc vào việc khai thác và thực hiện một cách đây đủ các chức năng có thể có của một bài toán mà người người viết sách giáo khoa đã có dụng ý chuẩn bị. Người giáo viên chỉ có thể khám phá và thực hiện được những ý đồ đó bằng năng lực sư phạm và trình độ nghệ thuật dạy học của mình.
Ví dụ 19: Bài 9 (SGK HH11 Tr.114): “ Cho hình chóp tam giác đều SABC có SH là đường cao. Chứng minh SABC và SBAC. Việc giải bài toán này sẽ củng cố được các khái niệm, định lí, tính chất của đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, đường thẳng vuông góc với đường thẳng. Nếu thay đổi giả thiết hình chóp tứ giác SABCD thì hình vẽ thay đổi, kết luận không biết còn đúng nữa hay không nhưng cơ bản các bước chứng minh không có gì thay đổi. Học sinh phải kiểm nghiệm trên hình vẽ và dự đoán.
- Các yêu cầu đối với lời giải: Để khai thác tốt các chức năng của bài tập toán