Biện pháp 2: Giúp học sinh phát triển khả năng rèn luyện một số kĩ năng

7. Cấu trúc của luận văn

2.2.2. Biện pháp 2: Giúp học sinh phát triển khả năng rèn luyện một số kĩ năng

thành phần của NL lập luận toán học

2.2.2.1. Cơ sở lý luận và thực tiễn của biện pháp

Một bài toán khi học sinh có mục tiêu, nhưng học sinh ấy không biết cách để đạt được nó. Một học sinh phải đối mặt với một bài toán khi học sinh ấy gặp phải một câu hỏi mà học sinh không thể trả lời hoặc một tình huống mà học sinh không thể giải quyết bằng cách sử dụng kiến thức có sẵn của mình. Trong trường hợp có vấn đề, người giải không có thuật toán hoặc phương pháp, mà học sinh ấy có thể áp dụng để

dẫn đến một giải pháp. Nói một cách cụ thể hơn, trong một số trường hợp, vấn đề của bài toán không thường xuyên được sử dụng bởi thuật toán hoặc phương pháp đã biết để giải. Vấn đề không thường xuyên thường là những vấn đề rất khó đối với học sinh. Người ta đưa ra những yêu cầu hơn về nhận thức và hơn những nhu cầu cần thiết cho các vấn đề giải pháp thông thường, ngay cả khi kiến thức và kỹ năng cần thiết đã được học cho giải pháp.

Có thể nói, bất kì bước đầu tiên nào của một lập luận cũng được trình bày bởi một quan điểm (một khẳng định, một ý kiến). Hay nói cách khác đó là kết luận, là mục tiêu của lập luận.

2.2.2.2. Mục đích của biện pháp

Rèn thói quen lí giải, lập luận, xây dựng chứng cứ của các hiện tượng, các tính chất, đặc điểm của đối tượng toán học

2.2.2.3. Nội dung của biện pháp

Chúng tôi tập trung vào các ví dụ để rèn luyện NL LL được nêu trong chương 1:

Rèn luyện NL LL khi HS đọc các chứng minh, lời giải, …

Ví dụ 3: Trong mặt phẳng () cho tứ giác ABCD(AC BD) có các cặp cạnh đối không song song và điểm S().

a. Xác định giao tuyến của (SAC)và (SBD)

b. Xác địnhgiao tuyến của (SAB) và (SCD)

Vẽ hình là một vấn đề của học sinh của học sinh nhất là những học sinh có mức độ tư duy thấp, khi đọc một bài giải thì học sinh phải kiểm tra được hình đó ứng với giả thiết.

Lời giải:

a. Xác định giao tuyến của (SAC) và (SBD)

Ta có: S là điểm chung của (SAC) và (SBD) Trong (), gọi O = AC  BD

O  AC mà AC  (SAC)  O  (SAC)

 O  BD mà BD  (SBD)  O  (SBD)  O là điểm chung của (SAC) và (SBD)

Vậy: SO là giao tuyến của (SAC) và (SBD) b. Xác định giao tuyến của (SAB) và (SCD)

Ta có: S là điểm chung của (SAC) và (SBD)

Hình 2.10 O J D S B I A C

Trong (), AB không song song với CD. Gọi I = AB  CD

I  AB mà AB  (SAB)  I  (SAB)

I  CD mà CD (SCD)  I  (SCD) I là điểm chung của (SAB) và (SCD)

Vậy: SI là giao tuyến của (SAB) và (SCD)

Khi đọc lời giải của bài toán chúng tôi yêu cầu học sinh trả lời câu hỏi: học sinh thu hoạch được những gì? để trả lời câu hỏi này, chúng tôi cho học sinh thảo luận (cặp, nhóm, chung cả lớp).

Học sinh cần nắm được:

+ Biết quan sát hình, kiểm tra tính hợp lí của hình.

+ Biết quy trình giải một bài toán hình học cho dạng này, sử dụng các kí hiệu toán học.

+ Kiến thức: nhớ được các tính chất (tiên đề) từ đó thấy được tính chính xác của bằng chứng khi xác định.

 Rèn luyện NL lập luận khi HS tranh luận, trao đổi nhóm, trao đổi trong hoạt động lớp.

Thông qua ví dụ cụ thể, chúng tôi rèn luyện NL lập luận khi HS tranh luận, trao đổi nhóm, trao đổi trong hoạt động lớp.

Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại C,

( )

SA ABC

a) Chứng minh rằng: BC(SAC)

b) Gọi E là hình chiếu vuông góc của A trên SC. Chứng minh rằng:

( )

AE  SBC

Trong nhiệm vụ của câu a này chúng tôi chia nhóm thảo luận gồm 4 học sinh và thực hiện nhiệm vụ: Chứng minh rằng: BC(SAC)

+ Trước tiên các nhóm học sinh làm việc với nhiệm vụ: vẽ hình.

+ GV gọi đại diện nhóm 1 lên vẽ hình (có thể trình chiếu) các nhóm còn lại đưa ra những lập luận của mình về hình vẽ

Nhóm 1: Do SAABC tại A nên nhóm này vẽ SA theo phương thẳng đứng.

(Hình 11)

Nhóm 2:ABC vuông tại C nên nhóm vẽ tam giác vuông, lấy một điểm S nối với các đỉnh của tam giác. (Hình 2.12)

Nhóm 3: Do SAABC tại A và ABC

vuông tại C. Nhóm này vẽ SA theo phương thẳng đứng. (Hình 2.13)

Nhận xét: Nhóm 2 vẽ hình khó quan sát, và sự giải thích này cho thấy nhóm không nắm được hình biểu diễn của hình trong không gian, nhóm 1, 3 vẽ hình đã biểu diễn được hình trong không gian, nhưng trong hình của nhóm 1 vẽ tam giác vuông ABC khó quan sát hơn hình của nhóm 3. Trong nhiệm vụ này cả lớp thống nhất lấy hình của nhóm 3 để chứng minh. Qua đây rèn luyện đặc điểm thứ 1 của LL ngoại suy.

* Nhiệm vụ tiếp theo chứng minh BC(SAC). GV: gọi 1 nhóm trình bày nhiệm vụ của mình: Ta có: BC AC (1)do ABCvuông tại C

 2

SABC do SAABC và BCABC

Từ (1) và (2) suy ra: BC (SAB)

Các nhóm còn lại nhất trí với nhiệm vụ của nhóm đã đưa ra.

GV chú ý các nhóm: 2 đường thẳng nằm trong mặt phẳng cắt nhau.

Trong câu b này GV cho học sinh hoạt động của cả lớp mục đích để phát huy tích cực lập luận suy diễn trong từng học sinh.

* Nhiệm vụ của câu b là chứng minh AE(SBC).

Sau khi giao nhiệm vụ xong, trong khoảng thời gian nhất định GV mời môt học sinh trình bày về nhiệm vụ của mình.

Học sinh 1 này chỉ đưa ra được rằng AESC và không đưa ra được vấn đề gì khác.

Hình 2.12

GV tiếp tục mời học sinh 2 trình bày nhiệm vụ của mình: học sinh này cũng nêu lên được AESC nhưng học sinh nói thêm rằng AE(SBC) thì cần phải AE vuông góc với một đường thẳng cắt SC nữa có thể là SB hoặc BC hoặc là một đường thẳng khác.

Qua trình bày của 2 học sinh cho thấy vấn đề liên kết kiến thức đã học chưa tốt, học sinh nắm được hết các kiến thức đã học.

GV mời học sinh 3: học sinh này đưa ra: AE SC AE EB       AESBC.

Học sinh 4 cho rằng nếu AEEB thì EC

vìBC(SAC)nên BCSC.

Sau sự biện minh về sự vô lí của học sinh 4 về kết quả đưa ra của học sinh 3, lúc này mọi học sinh trong lớp nhận ra một điều AEBC bởi vì BCSAC đã được chứng minh ở trên và AESAC.

Qua trình bày các nhiệm vụ của học sinh đưa ra được lời giải của bài toán như sau: Ta có: AESC (3) (gt)

Theo a) BC(SAB)AEBC (4) Từ (3) và (4) suy ra: AE(SBC)

Như vậy, hoạt động của ví dụ 4 củng cố lại được kiến thức đã học, học sinh biết cách giải bài toán chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, cách giải thích, các minh chứng, các liên hệ giữa các kiến thức với nhau để giải quyết vấn đề của bài toán. Qua đó rèn luyện được kĩ năng thành phân của NN LL.

 Rèn luyện NL lập luận khi HS hoạt động giải toán, chứng minh định lí, tính chất...

Ở phần này chúng tôi đưa ra ví dụ về rèn luyện NL lập luận khi HS hoạt động giải toán, chứng minh ….

Ví dụ 5: Khối lăng trụ ABCA B C' ' ' có đáy là tam giác ABC cân tại A có

2 , 2 3

AB AC a BC a . Tam giác A BC' vuông cân tại A' và nằm trong mặt phẳng vuông gócvới đáy ABC. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AA' và BC.

* Đây là bài toán xác định khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau và xác đinh khoảng cách giữa hai đường thẳng như thế nào? Để trả lời câu hỏi này trước tiên học sinh đi xác định đoạn vuông góc chung của hai đoạn thẳng AA’ và BC:

+ Học sinh vẽ hình. (Hình 2.15)

Dựa trên cơ sở của của ABC cân tại A, '

A BC

 vuông cân tại ta chứng minh được

BC vuông góc với mặt phẳng chứa AA’. Theo định nghĩa đường thẳng vuông góc với mặt phẳng thì BC vuông góc với mọi đường thẳng trong chứa AA’, trong mặt phẳng đó ta chỉ cần kẻ đường thẳng cắt BC và vuông góc với AA’. Cụ thể:

+ Gọi H là trung điểm của cạnh BC

 

A H ABC A H BC BC HA

     

+) ABCcân tại A AH BC BC HA BC HA          theo định lí (SGK Tr 99)   BC A AH  

+) Trong (AA’H), kẻ HPA A P  A A BCHP (do BCA AH  và

 ' 

HP AA H ) HP

 là đường vuông góc chung của AA’ và BC

 ; 

d A A BC HP

 

Như vậy, học sinh đã xác định được đoạn vuông góc chung, cũng chính là khoảng cách giữa hai đường thẳng.

+) A BC vuông cân tại A 3 2 BC A H a    +)HA AB2BH2  4a23a2 a   2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 4 3 3 ; 3 3 2 2 a a HP d A A BC HP A H AH a a a            

Nhận xét: học sinh hiểu được các mối quan hệ đường thẳng vuông góc với đường thẳng, đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, từ đó đưa ra được khoảng cách

Hình 2.15 B' C' B A C A' P H

giữa hai đường thẳng. Học sinh phải nhớ được tính chất của tam giác cân, đường cao kẻ từ đỉnh của góc vuông, được định nghĩa, định lí, tính chất của đường thẳng thẳng vuông góc với đường thẳng, đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Ví dụ 6: Chứng minh định lí ba đương vuông góc: “ Cho đường thẳng a nằm trong mặt phẳng   và b là đường thẳng không thuộc  đồng thời không vuông góc với   . Gọi b’ là hình chiếu vuông góc của b trên   . Khi đó a vuông góc với b khi và chỉ khi a vuông góc với b’. ”

Chứng minh:

Đầu tiên chúng ta đi xác định hình chiếu vuông góc b’ của b trên   . (Hình 2.16)

Trên đường thẳng b lấy hai điểm A, B phân biệt sao cho A, B không thuộc   . Gọi A’ và B’ lần lượt là hình chiếu vuông góc của A, B trên   . Hình chiếu b’ của b trên   là đường

thẳng đi qua A’ và B’. Do AA’ vuông góc với   nên AA'a

+ Nếu ab' thì a(AA B B' ' ) a b

+ Nếu ab thì a(AA B B' ' ) a b'

Nhận xét: Qua chứng minh định lí này học sinh hiểu được: phép chiếu vuông góc lên mặt phẳng, định nghĩa, định lí đường thẳng vuông góc với mặt phẳng và cách lập luận trong chứng minh.

 Rèn luyện NL LL khi HS tìm kiếm phát hiện khái niệm mới.

Việc rèn luyện năng lực LL khi HS tìm kiếm phát hiện khái niệm mới là một vấn đề rất cần thiết trong toán học. Quy trình gồm các bước sau:

Bước 1: Giúp học sinh ôn lại những kiến thức đã học có liên quan đến các kiến thức mới mà học sinh cần nắm được.

Bước 2: Cho học sinh phát hiện ra những vấn đề chưa rõ và xem đó là vấn đề cần được giải quyết.

Bước 3: Từ những vướng mắc cần giải quyết ở trên, cho học sinh độc lập suy nghĩ hoặc thảo luận nhóm để đưa ra các ý tưởng giải quyết vấn đề. Giáo viên nhận xét, bổ sung thêm để hình thành ý tưởng chung.

Bước 4: Cho học sinh suy nghĩ tiếp và dự đoán hay đề xuất giả thuyết về nội dung kiến thức, kĩ năng mới.

Bước 5: Cho học sinh kiểm tra giả thuyết đó đề xuất qua một số ví dụ cụ thể để khẳng định đó là kiến thức, kĩ năng mới.

Bước 6: Sau khi kiểm tra và khẳng định giả thuyết đó là đúng, Giáo viên cho học sinh phân tích tìm ra kết luận chung về kiến thức, kĩ năng mới.

Chúng tôi đưa ra một số ví dụ như sau để làm rõ vấn đề này.

Ví dụ 7: Cho hình chóp SABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a, có cạnh 2

SAa và SAABCD.

a/ Gọi M và N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên các đường thẳng SB và SD. Tính góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (AMN).

b/ Tính góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD).

a/ Theo định nghĩa góc giữa đường thẳng và mặt phẳng có hai trường hợp: trường hợp một là đường thẳng vuông góc với mặt phẳng thì góc giữa chúng bằng 900, trường hợp hai là đường thẳng không vuông góc với mặt phẳng thì góc giữa chúng là đường thẳng và hình chiếu của nó trên mặt phẳng. Trong a/ này với giả thiết cho M và N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên các đường thẳng SB và SD thì khả năng SCAMN, việc SCAMN hay không ta đi tìm các chứng cứ để chứng minh: (Hình 18) + AMSC: vì SAABCD nên  1 SABC , BCAB  2 Từ (1) và (2), suy ra BCSAB mà   AM  SAB nên AM SC +ANSC: vì SAABCD nên  3 SACD ,CDAD  4

Từ (3) và (4), suy ra CDSAD mà ANSAD nên ANSC.

Như vậy, SC vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau trong (AMN) nênSCAMN. Do đó góc giữa SC và (AMN) bằng 900.

b/ Trong ý này SAABCDnên SC không thể vuông góc với (ABCD) được,

do đó ta đi tìm hình chiếu của SC trên (ABCD):

Hình 2.17 A B C D S M N

+ VìSAABCD nên A là hình chiếu của S trên (ABCD), C là hình chiếu của chính C trên (ABCD), do đó AC là hình chiếu của SC trên (ABCD). Khi đó, góc giữa SC và (ABCD) là góc SCAvà vì AS ACa 2 nên 0

45

SCA .

Vấn đề đặt ra: Bài toán nào tính góc giữa đường thăng và mặt phẳng chúng ta đều làm như vậy không?

Qua ví dụ trên, chúng ta có thể dự đoán đưa ra khái niệm chung:

+ Tìm góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng   cắt nhau, ta đi tìm hình chiếu vuông góc a’ của đường thẳng a trên mặt phẳng   , thì góc giữa đường thẳng a và

  là góc giữa đường thẳng a và hình chiếu a’ trên   .

+ Tìm hình chiếu của đường thẳng d lên () ta lấy 2 điểm trên d và tìm hình chiếu của chúng.

Trên cơ sở của khái niệm này học sinh làm ví dụ sau để kiểm chứng và kết luận:

Ví dụ 8: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Cạnh SA vuông góc với mặt phẳng đáy (ABDC), SA = a 6.

1/ Tính góc giữa cạnh SC và mp(ABCD) 2/ Tính góc giữa cạnh SC và mp(SAB) 3/ Tính góc giữa cạnh SB và mp(SAC) 4/ Tính góc giữa cạnh SC và mp(SBD)

 Rèn luyện năng lực LL khi trang bị cho HS các phương pháp lập luận (quy nạp, phân tích đi lên, khái quát hóa, phản chứng,...)

Trong toán học chúng ta có rất nhiều phương pháp lập luận sau đây chúng tôi đưa ra một số phương pháp lập luận nhằm rèn luyện kĩ năng, phương pháp:

* Phương pháp quy nạp:

Trong hình học, có rất nhiều các thể loại, các dạng toán khác nhau. Phương pháp này giúp học sinh học hình học, từ một số trường hợp cụ thể của bài toán đi đến đưa ra kết luận tổng quát, từ những cái đã biết để kết luận những cá chưa biết. Sau đây là một số ví dụ làm rõ vấn đề này:

Ví dụ 9: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Xác định góc giữa (BA’C) và (DA’C).

Giải: + Kẻ BH  A C' , (HA'C)(1) + Mặt khác, ta có: BDAC (gt), ' ( ) ' AA  ABCD AA BD ( ') ' BD ACA BD A C     (2) Từ (1) và (2) suy ra: ' ( ) ' A C  BDH A C DH. Do đó, góc giữa (BA’C) và (DA’C) là góc giữa hai đường thẳng DH và BH.

Trong ví dụ này vấn đề đặt ra là xác định góc giữa hai mặt phẳng.

Ví dụ 10: Cho hình chóp S.ABC, SA(ABC). Xác định góc giữa (ABC) và (SBC).

Trong ABC kẻ AEBC. Khi đó

  BC AE BC SA gt      BCSAE SE BC AE BC 