Chuỗi thời gian
Khái niệm
Chuỗi thời gian là một chuỗi các điểm dữ liệu của một biến được đo lường, quan sát, thu thập theo từng mốc thời gian liền nhau với một tần suất thời gian thống nhất như theo năm, theo quý, theo tháng, theo ngày, theo tuần. Một chuỗi thời gian gồm dãy các giá trị quan sát X được ký hiệu: {X1, X2, X3.. .Xt-1, Xt} với X1 là giá trị quan sát tại thời điểm đầu tiên và Xt là giá trị quan sát tại thời điểm cuối cùng. Đặc biệt số liệu chuỗi thời gian phải được sắp xếp theo một trình tự thời gian nhất định, trong đó quan sát xảy ra sau luôn được xếp ngay sau quan sát xảy ra trước nó tức là Xt luôn được xếp ngay sau Xt-1.
Thông thường, dữ liệu tài chính được thu thập dưới dạng chuỗi thời gian với số lượng quan sát lớn, được ghi nhận trong thời gian dài để tiến hành phân
Trong phân tích hồi quy liên quan đến chuỗi dữ liệu thời gian có một khái niệm quan trong là “biến trễ”. Mô hình hồi quy không chỉ bao gồm giá trị hiện tại mà còn có giá trị quá khứ (giá trị trễ). Mô hình hồi quy có chứa biến giải thích (biến
X) là biến trễ, được gọi là mô hình phân phối trễ, còn mô hình chứa biến phụ thuộc ở vế phải phương trình (biến Y) là biến trễ thì được goi là mô hình tự hồi quy. Mô hình có độ trễ càng cao thì càng dễ mất nhiều quan sát, đây là yếu tố cần chú ý khi lựa chọn mô hình.
Các thành phần của một chuỗi thời gian
Tính tự tương quan: chuỗi các quan sát trong số liệu chéo thường được xem như là độc lập với nhau và do đó không tương quan với nhau, tuy nhiên với số liệu chuỗi thời gian, ta thường thấy chúng có tính tự tương quan: corr (Xt, Xt-k) thường khác 0.
Thành phần xu hướng (trend): một chuỗi thời gian được xem là có tính xu hướng khi các quan sát Xt của nó thể hiện sự tăng lên hay giảm xuống theo thời gian trong một khoảng thời gian đủ dài. về mặt đồ thị, tính xu hướng của chuỗi thời gian có thể được biểu diễn dưới dạng một đường thẳng hoặc đường cong trơn. Ví dụ như tốc độ tăng dân số của Việt Nam có xu hướng giảm, tỷ trọng nông nghiệp trong GDP của Việt Nam có xu hướng giảm, mức giá có xu hướng tăng.
Thành phần mùa vụ (seasonal): là sự thay đổi lặp đi lặp lại tính theo mùa trong năm. Thành phần này có tính ngắn hạn với chu kỳ lặp lại thường là một năm xảy ra do khí hậu, ngày lễ, phong tục tập quán. Ví dụ như lượng khách du lịch thường tăng mạnh vào mùa hè, giá hàng hóa, thực phẩm thường cao vào dịp lễ Tết.
Hình 1-2: Xu hướng và thời vụ
Ngu ồn: Problem set 7, Analytic method for Policy Making, Chương trình Giả ng d ạy Kinh tế
Fulbright Việt Nam 2000.
Thành phần chu kỳ (cyclical): là sự tăng lên hay giảm xuống của các quan sát chuỗi dữ liệu trong khoảng thời gian dài (thường là từ 2 - 10 năm). Thành phần chu kỳ thường có dao động dạng sóng xung quanh trục xu hướng. Ví dụ như chu kỳ kinh tế tăng trưởng, suy thoái, hồi phục.
Thành phần ngẫu nhiên (irregular): là những thay đổi bất thường của chuỗi thời gian xảy ra trong thời gian ngắn và không tuân theo quy luật vận động nào. Các nguyên nhân gây ra biến động ngẫu nhiên có thể là thời tiết bất thường, chiến tranh, khủng hoảng năng lượng, biến động chính trị.
Hình 1-3Chu kỳ và ngẫu nhiên - Tăng trưởng kinh tế của Hoa Kỳ 1961-1999
Nguồn: World Development Indicator CD - Rom 2000, World Bank
Tính dừng của chuỗi thời gian
Khái niệm
Dữ liệu của chuỗi thời gian có thể xem là được tạo ra nhờ một quá trình ngẫu nhiên và tập hợp dữ liệu cụ thể có thể coi là một kết quả cá biệt hay một mẫu của quá trình ngẫu nhiên đó. Nếu xem quá trình ngẫu nhiên là một tổng thể và sử dụng dữ liệu mẫu để suy ra các ước lượng về một tập hợp, thì đối với chuỗi thời gian, chúng ta cũng có thể dùng kết quả để suy ra các ước lượng về quá trình ngẫu nhiên.
Một cách tổng quát, theo Gujarati (2003), một chuỗi thời gian được coi là dừng nếu kì vọng và phương sai không đổi theo thời gian và giá trị hiệp phương sai giữa hai thời đoạn chỉ phụ thuộc vào khoảng cách và độ trễ về thời gian giữa hai thời đoạn này chứ không phụ thuộc vào thời điểm thực tế mà hiệp phương sai được tính.
Kì vọng không đổi: E (Xt) = = const
Phương sai không đổi: Var (Xt) = E (Xt - )2 = σ2 = const Hiệp phương sai không phụ thuộc vào thời điểm tính toán: Cov Q t, Xt-k) = E [(Xt - ■■ í) (Xt-k - >•)] = ρk = const với mọi t
Neu một trong ba điều kiện trên không được thỏa mãn thì chuỗi thời gian đó được xem là chuỗi không dừng.
Hậu quả của chuỗi không dừng
Nếu một chuỗi thời gian không dừng áp dụng vào mô hình hồi quy cổ điển thì giả định về yếu tố ngẫu nhiên có kì vọng bằng không, phương sai không đổi và không tồn tại tự tương quan sẽ bị vi phạm. Khi đó, kiểm định t, F sẽ không còn hiệu quả và ước lượng hay dự báo cho chuỗi thời gian đó sẽ không còn chính xác hay nói cách khác phương pháp OLS không áp dụng cho các chuỗi không dừng.
Điển hình là hiện tượng hồi quy giả mạo. Nếu mô hình tồn tại ít nhất một biến độc lập có cùng xu thế với biến phụ thuộc, khi ước lượng mô hình ta có thể thu được các hệ số có ý nghĩa thống kê và hệ số xác định R2 rất cao. Nhưng điều này có thể chỉ là giả mạo, R2 cao có thể là do hai biến này có cùng xu thế chứ không phải do chúng tương quan chặt chẽ với nhau.
Trong thực tế, phần lớn các chuỗi thời gian đều là chuỗi không dừng, kết hợp với những hậu quả trình bày trên cho thấy tầm quan trọng của việc xác định chuỗi thời gian có tính dừng hay không.
Biến đổi chuỗi không dừng thành chuỗi dừng
Để biến đổi một chuỗi thời gian không dừng thành chuỗi thời gian dừng, ta lấy sai phân bậc d của nó với d = {1,2,.. .n}. Nếu sau phân bậc 1 của chuỗi Xt chưa dừng thì tiếp tục lấy sai phân các bậc tiếp theo cho đến khi thỏa mãn điều kiện dừng. Nghiên cứu đã chứng minh luôn tồn tại một giá trị d xác định để sai phân
bậc d của Xt là chuỗi dừng. Khi đó Xt được gọi là liên kết bậc d, kí hiệu I(d). Cách lấy sai phân bậc d như sau:
- Sai phân bậc 1: D (Xt) = Xt - Xt-1
- Sai phân bậc 2: D (D(Xt)) = (Xt - Xt-1) - (Xt-1 - Xt-2)
- ...
- Sai phân bậc d: D (Dd-1 (Xt))
Nhiễu trắng (white noise error term)
Giả sử ta có phương trình Xt = Xt -1 + Ut
Nhiễu trắng là một thuật chữ khoa học chỉ yếu tố ngẫu nhiên Ut. Nếu Ut đáp ứng đầy đủ các giả thuyết của mô hình hồi quy tuyến tính cổ điển (OLS), tức thỏa mãn đồng thời cả 3 yếu tố kỳ vọng bằng không, phương sai không đổi và hiệp phương sai giữa chúng bằng không thì ut được gọi là nhiễu trắng hay chuỗi sai số ut có tính dừng.
Khi hồi quy với chuỗi thời gian có tính dừng hay sai số ut là nhiễu trắng thì cho ta các thống kê có độ tin cậy cao, miễn là mẫu quan sát đủ lớn. Nếu ut còn tồn tại tự tương quan nghĩa là còn có những thông tin ẩn trong ut mà ta có thể khai thác để cải thiện mô hình hồi quy.
Một số khái niệm liên quan đến mô hình vectơ hiệu chỉnh sai số VECM
Bậc tích hợp
Trước khi đi vào ước lượng mô hình vectơ hiệu chỉnh sai số, cần phải xác định bậc tích hợp của các biến được xem xét đưa vào mô hình. Chỉ có những biến có cùng bậc tích hợp mới có thể có đồng tích hợp và khi có sự tồn tại của đồng tích hợp mới hàm ý rằng có cơ sở vững chắc cho việc vận dụng mô hình hiệu chỉnh sai số. Chuỗi Xt không dừng, sai phân bậc d-1 của Xt không dừng, nhưng sai phân bậc d dừng, khi đó Xt được gọi là tích hợp bậc d, ký hiệu I (d). Nếu d = 0, chuỗi ban đầu là chuỗi dừng.
Đồng tích hợp
Đồng tích hợp là khái niệm cơ bản của kinh tế lượng hiện đại và mô hình hóa tài chính, phân tích chuỗi. Theo Engle & Granger (1987), khi xét mô hình có nhiều
biến số theo thời gian, sẽ có nhiều trường hợp, mặc dù các biến số đều không dừng, nhưng khi hồi quy hay tổ hợp tuyến tính các biến này thì vẫn có nhiễu trắng. Trong trường hợp này mô hình vẫn có thể ước lượng được mà không bị hiện tượng hồi quy giả mạo. Nói cách khác, nếu sự kết hợp tuyến tính của các chuỗi thời gian không dừng tạo thành chuỗi dừng thì các chuỗi thời gian không dừng đó có tính đồng liên kết và các kiểm định t, F vẫn có ý nghĩa thống kê.
Có nhiều phương pháp thường dùng để kiểm định mối quan hệ đồng tích hợp như kiểm định Engle - Granger, kiểm định CRDW. Nhưng phổ biến nhất vẫn là phương pháp của Johansen & Juselius gồm kiểm định Trace và kiểm định Max - Eigen.
Mô hình Vectơ hiệu chỉnh sai số VECM
Khi hồi quy mô hình với các biến là chuỗi thời gian thì yêu cầu đặt ra là các chuỗi này phải dừng. Trong trường hợp chuỗi chưa dừng thì ta phải lấy sai phân của chúng cho đến khi có được chuỗi dừng. Tuy nhiên, khi mà ta hồi quy các giá trị sau khi đã lấy sai phân có thể sẽ bỏ sót những thông tin dài hạn trong mối quan hệ giữa các biến. Chính vì thế khi hồi quy những mô hình đã lấy sai phân phải có thêm phần dư E.
Ví dụ đối với mô hình hai biến X1, X2, ta có:
∆X1tt= β1 + β2 ∆X2 + β3 Et-1 + εt
Số hạng β3 Et-1 chính là phần mất cân bằng. Mô hình ước lượng sự phụ thuộc của mức thay đổi X1 vào mức thay đổi của X2 và mức mất cân bằng ở thời kỳ trước. Mô hình trên được gọi là mô hình hiệu chỉnh sai số ECM (Error Correction Model).
Mô hình vectơ hiệu chỉnh sai số VECM (Vectơ Error Correction Model) là một dạng của mô hình VAR tổng quát, được sử dụng trong trường hợp chuỗi dữ liệu là không dừng và chứa đựng mối quan hệ đồng tích hợp.
Mô hình VECM tổng quát có dạng:
∆Xt= Π Xt-1 + Cl AXt-1 + C2Xt-2 +. + Cρ-1+A1Xt-ρ+1 + εt
Trong đó:
- Π = - (I - Al - A2 - A- ... Aρ)
- Cj = - ∑ '∙∙∙^∙∙ζ' ; I = 1,2,. ρ-1
Lưu ý rằng để chạy được mô hình VECM, dữ liệu phải dừng và giữa các biến có tồn tại mối quan hệ đồng tích hợp (mối tương quan dài hạn) với nhau. Điều này đồng nghĩa với việc thực hiện đồng thời kiểm định tính dừng và kiểm định đồng tích hợp trước khi thực hiện mô hình VECM.
Phương pháp ước lượng mô hình vectơ hiệu chỉnh sai số VECM
Kiểm định tính dừng của chuỗi thời gian — kiểm định nghiệm đơn vị
Tính dừng của chuỗi thời gian có thể được nhận biết dựa trên đồ thị của chuỗi thời gian, đồ thị hàm tự tương quan mẫu hay kiểm định Dickey-Fuller (kiểm định nghiệm đơn vị). Nếu đồ thị Y = f(t) của chuỗi thời gian cho thấy trung bình và phương sai của quá trình Yt không đổi theo thời gian, thì chuỗi thời gian đó có thể có tính dừng.
Kiểm định nghiệm đơn vị (Unit root test) là phương pháp xác định tính dừng một cách chuyên nghiệp và được sử dụng phổ biến hơn lược đồ tự tương quan và tự tương quan riêng phần do Dickey - Fuller giới thiệu năm 1979.
Xét mô hình Yt = ,í Yt-1 + Ut (với ut là nhiễu trắng).
Ta kiểm định giả thuyết: H0: ; ■ = 1 (chuỗi không dừng) H1: ;■ ≠ 1 (chuỗi dừng)
Theo Dickey & Fuller, nếu chuỗi thời gian chưa xác định được tính dừng thì trị thống kê t ước lượng của hê số Yt-1 không tuân theo phân phối Student mà
, , τ,
tuân theo phân phối xác suất (tau statistic) hay kiểm định Dickey - Fuller
' τ ' '
(kiểm định DF). Tính toán trị thống kê và đối chiếu với bảng Dickey - Fuller được
Mackinnon mở rộng thông qua mô phỏng Monte Carlo. Nếu | • | > | •■• (theo DF hoặc
Mackinnon DF) thì bác bỏ giả thuyết Ho và kết luận chuỗi thời gian đó có tính dừng.
Xác định độ trễ tối ưu
Trước khi thực hiện việc kiểm định số quan hệ đồng tích hợp, chúng ta phải xác định được độ trễ tối ưu dựa vào các tiêu chuẩn Lag, LogL, LR, FPE, AIC, SC và HQ. Độ trễ càng nhỏ càng tốt vì số quan sát là có hạn nên nếu tăng độ dài của trễ sẽ làm cho bậc tự do bị giảm, do vậy ảnh hưởng đến chất lượng của ước lượng.
Kiểm định đồng tích hợp
Cơ sở vững chắc của mô hình vectơ hiệu chỉnh sai số VECM dựa trên khái niệm rằng có tồn tại một mối quan hệ cân bằng trong dài hạn giữa các biến có liên quan. Việc kiểm tra đồng tích hợp là để trả lời cho câu hỏi tồn tại hay không mối quan hệ đó. Trước khi sử dụng kiểm định đồng tích hợp, điều cần thiết lập ở mỗi chuỗi dữ liệu là tích hợp cùng một bậc giống nhau. Sau khi bậc tích hợp của mỗi biến trong nghiên cứu được xác định trong phần kiểm định tính dừng. Bước tiếp theo tiến hành kiểm định đồng tích hợp nhằm xác định một quan hệ dài hạn giữa các biến khảo sát (long-run relationship).
Do các biến sử dụng trong ước lượng ở dạng logarit tự nhiên đều không dừng, nên phải kiểm định khả năng xảy ra các vectơ đồng tích hợp giữa các dãy số thời gian bằng phương pháp của Johansen và Juselius (1990). Đây là kỹ thuật kiểm định đồng tích hợp được sử dụng phổ biến nhất trong việc áp dụng nguyên tắc hợp lý cực đại nhằm xác định sự tồn tại các vectơ đồng tích hợp giữa các dãy số thời gian không dừng. Phương pháp này sẽ cho biết được số
lượng các vectơ đồng tích hợp và cho phép các nhà nghiên cứu có thể kiểm định nhiều giả thuyết khác nhau liên quan tới các phần tử của vectơ. Neu kiểm định cho biết có ít nhất một vectơ đồng tích hợp thì khi đó giữa các biến có mối quan hệ dài hạn.
Thưc hiện kiểm định Trace - Kiểm định tỷ lệ hàm hợp lý (Maximum Eigenvalue), xét giả thuyết: H0: không có quan hệ đồng tích hợp (Non - cointegration). So sánh giá trị thống kê vết (Trace Statistic) hoặc giá trị riêng cực đại (MaxEigen Statistic) với giá trị tới hạn (Critical Value) ở mức ý nghĩa α% (1%, 5% hay 10%)
- Neu giá trị Trace Statistic hoặc Max-Eigen Statistic < Critical Value thì chấp nhận giả thuyết HO (không có đồng tích hợp).
- Nếu giá trị Trace Statistic hoặc Max-Eigen Statistic > Critical Value thì bác bỏ giả thuyết HO (tồn tại đồng tích hợp).
Phương pháp ước lượng mô hình vectơ hiệu chỉnh sai số VECM
Sau khi kiểm định tính dừng và đồng tích hợp, nếu phát hiện có tồn tại ít nhất một vectơ đồng tích hợp giữa các biến khảo sát, có nghĩa là tồn tại một quan hệ cân bằng trong dài hạn giữa các biến có liên quan thì mô hình vectơ hiệu chỉnh sai số VECM được ước lượng như sau:
∆Yt = Yt - Yt-1= ∏Yt-1 + Cl ∆Yt-1 + C2 ∆Yt-2 +.+Cp-1∆Yt-p + Ut + ECTt-
Trong đó:
+ ∏ = - (1-Al - A2 -...-Ap)
+ C = - ∑Aj (j = i+1 → p), i-1,2,..., p-1;
+ ∏Yt-ι là phần hiệu chỉnh sai số của mô hình; p là bậc tự tương quan (hoặc số trễ).
+ ECTt-1 là phần dư thu được từ phương trình hồi quy đồng tích hợp (được gọi là biến điều chỉnh sai số) và lấy độ trễ là t - 1
ma trận hệ số dài hạn thể hiện tối đa (n-1) quan hệ đồng liên kết trong một mô hình n biến nội sinh. β, đảm bảo rằng Yt sẽ hội tụ về cân bằng bền vững trong dài hạn.
Kiểm định tính phù hợp của mô hình
Kiểm định tính chuẩn của sai số ngẫu nhiên: xem xét đồ thị phần dư và kiểm