7. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài
1.3.3. Tổng quan về mô hình tự hồi quy tích hợp trung bình trượt
c. Hàm tự tương quan riêng phần (PACF)
Hàm tự tương quan riêng phần, kí hiệu là PACF xác định hệ số tự tương quan riêng phần ở độ trễ k (kí hiệu là fkk) đo lường tương quan giữa Yt và Yt-k nhưng không tính đến tác động của các biến trung gian: Yt-1, Yt-2, …, Yt-k+1
Hệ số tự tương quan riêng phần fkk được ước lượng từ hàm hồi quy được cho bởi phương trình (1.18):
Yt = m + f1kYt-1 + f2k Yt-2 + … + fkkYt-k + et (1.18) Cũng như hàm tự tương quan, hàm tự tương quan riêng phần được sử dụng để nhận dạng mô hình ARIMA.
1.3.3. Tổng quan về mô hình tự hồi quy tích hợp trung bình trượt (ARIMA) (ARIMA)
Một phương pháp rất phổ biến trong dự báo chuỗi thời gian là lập mô hình tự hồi quy tích hợp trung bình trượt. Mô hình tự hồi quy tích hợp trung bình trượt (Autoregressive Intergrated Moving Average – ARIMA) là mô hình dự báo chuỗi thời gian đơn biến được Box, G.E.P., và G.M Jenkins giới thiệu vào năm 1976 dựa trên ý tưởng cho rằng, chuỗi thời gian có thể được giải thích bằng cách kết hợp các hành vi hiện tại và trong quá khứ với các yếu tố ngẫu nhiên (gọi là nhiễu) ở hiện tại và quá khứ.
Quá trình xây dựng mô hình ARIMA phải thỏa mãn các giả thiết sau:
- Chuỗi dữ liệu thời gian là chuỗi dừng.
Mục tiêu của Box-Jenkins là xác định và ước lượng một mô hình định lượng có thể giải thích là đã tạo ra dữ liệu mẫu. Nếu sau đó, mô hình ước lượng này được sử dụng để dự báo, ta phải giả định rằng các đặc điểm của mô hình này không đổi theo thời gian và đặc biệt là trong các khoảng thời gian tương lai. Tức là, sự vận động trong tương lai của các biến dự báo sẽ giữ nguyên xu hướng vận động trong quá khứ và hiện tại. Vì vậy, chỉ có chuỗi thời gian dừng mới đưa ra những kết quả dự báo tin cậy.
- Chuỗi thời gian có tính nghịch đảo.
Phương pháp luận của Box-Jenkins đòi hỏi mô hình sẽ được sử dụng để mô tả và dự báo một chuỗi thời gian bên cạnh tính dừng còn phải có tính nghịch đảo. Mô hình ARIMA biểu diễn Yt như một hàm của các quan sát Yt-k trong quá khứ. Mô hình là không nghịch đảo, nếu các trọng số đặt vào các quan sát Yt-k trong mô hình sẽ không bị giảm khi ta quan sát xa hơn về quá khứ. Tuy nhiên, trên thực tế, sự phụ thuộc của giá trị quan sát hiện tại của quá trình vào các giá trị quan sát quá khứ giảm dần theo khoảng cách thời gian. Điều này được thể hiện trong mô hình chuỗi thời gian có tính nghịch đảo.[15]
- Phần dư của mô hình là nhiễu trắng.
Phần dư là một thước đo tìm hiểu giá trị dự báo gần với giá trị thực bao nhiêu. Trong thực tế, phần dư là chênh lệch giữa giá trị thực tế và giá trị dự báo tương ứng. Nếu một mô hình dự báo được đánh giá tốt thì phần dư phải tương đối nhỏ, nếu chúng ta đã xây dựng một mô hình một cách đúng đắn thì những dao động của phần dư sẽ không tuân theo chiều hướng nào cả vì những dao động này là do hiện tượng bên ngoài mà chúng ta không thể dự đoán được. Điều này có nghĩa rằng, những dao động ngẫu nhiên của et trong mỗi
thời đoạn chỉ thuần túy là dao động ngẫu nhiên quanh giá trị dự báo Yˆt. Vì vậy, tổng các phần dư sẽ tiến về giá trị 0. Chính vì thế, một mô hình tốt sẽ phải có phần dư là nhiễu trắng.
Thực chất, ARIMA là tổng hợp của các mô hình: mô hình tự hồi quy (AR), mô hình tích hợp (I) và mô hình trung bình trượt (MA).
a. Mô hình tự hồi quy (AR)
Quá trình chuỗi tự hồi quy bậc p là quá trình trong đó quan sát hiện tại Yt được tạo ra bởi tổng có trọng số của các quan sát quá khứ của p thời đoạn trước đó và nhiễu ngẫu nhiên trong thời đoạn hiện tại. Quá trình này được kí hiệu là AR(p) có phương trình (1.19):
Yt = m + f1Yt-1 + f2 Yt-2 + … + fpYt-p + et (1.19) trong đóet là nhiễu trắng.
Dưới dạng toán tử trễ, AR(p) được viết lại thành phương trình (1.20): (1 – f1L – f2L2 - … - fpLp)Yt = m + et (1.20) Để Yt là chuỗi dừng thì nghiệm của phương trình sau phải nằm ngoài vòng tròn đơn vị:
1 – f1L – f2L2 - … - fpLp = 0 (1.21)
Û (1-l1L)(1-l2L)…(1-lpL) = 0 (1.22) Þ li < 1
Điều kiện cần để Yt dừng yếu là åfi <1
Mô hình tự hồi quy không có điều kiện về tính nghịch đảo. Bất kì quá trình tự hồi quy ở bậc nào cũng đều có thể nghịch đảo thành một quá trình trung bình trượt tương đương có bậc vô hạn.[15],[22]
* Đặc trưng của AR(p):
số nhân có công bội nhỏ hơn 1 (chuỗi giảm) có dạng[12]:
k
r = rk
- Hàm tự tương quan riêng phần đối với quá trình AR(p) được xác định: khi k ≤ p
khi k > p
Từ các tính chất trên của AR(p), ta thấy nếu chuỗi tuân theo quá trình AR(p) dừng yếu thì hàm tự tương quan riêng phần giảm đột ngột về giá trị 0 tại điểm t=p, trong khi hàm tự tương quan giảm dần dần.
b. Mô hình trung bình trượt (MA)
Quá trình trung bình trượt bậc q là quá trình trong đó quan sát Yt được tạo ra bởi tổng có trọng số của các nhiễu ngẫu nhiên của q thời đoạn trước và nhiễu ngẫu nhiên trong thời đoạn hiện tại. Quá trình này được kí hiệu là MA(q) có phương trình (1.23):
Yt = m + q1et-1 + q2 et-2 + … + qq et-q + et (1.23) trong đóet là nhiễu trắng.
MA(q) có thể viết lại dưới dạng toán tử trễ ở phương trình (1.24) sau: Yt = m + (1 + q1L + q2L2 + … + qqLq)et (1.24) Để Yt có thể nghịch đảo thành AR(¥) thì nghiệm của phương trình (1.25) phải nằm ngoài vòng tròn đơn vị:
1 + q1L + q2L2 + … + qqLq = 0 (1.25) Điều kiện cần để chuỗi Yt có tính nghịch đảo là åqi <1.
Nếu MA(q) thỏa mãn tính nghịch đảo thì nó có thể biểu diễn thành AR(¥).[22]
Mô hình trung bình trượt không có điều kiện về tính dừng. Bất kì chuỗi trung bình trượt bậc nào cũng là chuỗi dừng yếu. [9], [15]
* Đặc trưng của MA(q):
î í ì = ¹ 0 0 kk f
- Hàm tự tương quan riêng phần đối với quá trình MA(q) được mô tả bởi một chuỗi cấp số giảm dần theo hướng chậm pha trong quá khứ.[12]
- Hàm tự tương quan của quá trình MA(q) được xác định:
ï ï ï î ïï ï í ì > £ = å å = - = + q k q k q i i k q i k i i k , 0 , 0 2 0 q q q r (1.26)
Như vậy, ta thấy nếu chuỗi tuân theo quá trình MA(q) thì hàm tự tương quan riêng phần giảm dần dần đến giá trị 0, trong khi hàm tự tương quan giảm đột ngột tại t=q.
c. Mô hình Tự hồi quy tích hợp trung bình trượt (ARIMA)
Một số quá trình ngẫu nhiên dừng không thể được mô hình hóa như mô hình tự hồi quy thuần túy hoặc trung bình trượt thuần túy vì chúng có tính chất của cả hai loại quá trình này. Sự mở rộng của các loại mô hình này là quá trình tự hồi quy trung bình trượt.
Mô hình tự hồi quy bậc p trung bình trượt bậc q [kí hiệu là ARMA (p, q)] là mô hình tổng hợp từ AR(p) và MA(q) có phương trình (1.27) sau:
Yt =m + f1Yt-1+ f2 Yt-2 +…+fpYt-p +q1et-1+ q2 et-2 +…+qq et-q +et (1.27) trong đóet là nhiễu trắng.
ARMA(p, q) có thể viết lại dưới dạng toán tử trễ ở phương trình (1.28): (1 – f1L – f2L2 - … - fpLp)Yt = m + (1 + q1L + q2L2 + … + qqLq)et (1.28)
Điều kiện cần và đủ để ARMA(p,q) dừng là các nghiệm của phương trình sau nằm ngoài vòng tròn đơn vị:
1 – f1L – f2L2 - … - fpLp = 0 (1.21) Điều kiện cần và đủ để ARMA(p,q) có thể nghịch đảo thành AR(¥) là các nghiệm của phương trình sau nằm ngoài vòng tròn đơn vị:
1 + q1L + q2L2 + … + qqLq = 0 (1.25) Mô hình ARMA chỉ áp dụng để nghiên cứu các chuỗi thời gian dừng. Tuy nhiên trong thực tế, phần lớn các chuỗi thời gian là chuỗi không dừng, ta có thể lấy sai phân d lần (1-L)d để biến đổi chuỗi Yt thành chuỗi dừng. Khi đó, chuỗi Yt được xem là chuỗi tích hợp bậc d, kí hiệu là I(d).
Áp dụng chuỗi ARMA(p, q) cho chuỗi tích hợp bậc d, ta được chuỗi tự hồi quy tích hợp trung bình trượt, và mô hình là ARIMA(p, d, q), có dạng như phương trình (1.29) sau:
p
f (L)(1 – L)dYt = qq(L)et (1.29) trong đóet là nhiễu trắng và d là bậc sai phân của Yt .
Trường hợp chuỗi Yt có yếu tố mùa với chu kì mùa là s thời đoạn, phương pháp đơn giản nhất để loại bỏ yếu tố mùa trong chuỗi là lấy sai phân thứ s của chuỗi Yt (hay còn được gọi là sai phân mùa (1-LS)).
Áp dụng chuỗi ARIMA(p, d, q) cho chuỗi sai phân mùa bậc D, tự hồi quy mùa bậc P, trung bình trượt mùa bậc Q, ta được mô hình ARIMA(p, d, q)(P, D, Q)s có dạng như phương trình (1.30):
p
f (L) FP(Ls)(1 – L)d (1- Ls)D Yt = qq(L) QQ(Ls) et +m (1.30) trong đóet là nhiễu trắng.
Hàm tự tương quan và hàm tự tương quan riêng phần của mô hình ARIMA phức tạp hơn so với mô hình AR và MA.
KẾT LUẬN CHƯƠNG 1
Lạm phát là sự gia tăng liên tục của mức giá chung hay sự giảm giá liên tục sức mua của đồng tiền. Lạm phát được đo lường thông qua các chỉ số giá. Trong đó, chỉ số giá tiêu dùng được sử dụng phổ biến ở phần lớn quốc gia trên thế giới. Tác động của lạm phát đến kinh tế - xã hội có thể là tích cực hoặc tiêu cực theo những cách thức khác nhau, mức độ ảnh hưởng khác nhau tùy thuộc vào cấu trúc của nền kinh tế, khả năng thích ứng với sự thay đổi liên tục của lạm phát và khả năng dự báo lạm phát.
Để dự báo lạm phát, người ta có thể sử dụng mô hình chuỗi thời gian hoặc mô hình nhân quả hoặc mô hình Neural Network. Mô hình chuỗi thời gian được sử dụng phổ biến và tỏ ra hiệu quả hơn trong dự báo ngắn hạn chuỗi thời gian là mô hình ARIMA. ARIMA là mô hình dự báo chuỗi thời gian đơn biến được Box, G.E.P., và G.M Jenkins giới thiệu vào năm 1976 dựa trên ý tưởng cho rằng, chuỗi thời gian có thể được giải thích bằng cách kết hợp các hành vi hiện tại và trong quá khứ với các yếu tố ngẫu nhiên ở hiện tại và quá khứ. Thực chất, ARIMA là tổng hợp của các mô hình: mô hình tự hồi quy (AR), mô hình tích hợp (I) và mô hình trung bình trượt (MA).
Quá trình xây dựng mô hình đòi hỏi chuỗi thời gian phải dừng. Chuỗi thời gian dừng có trung bình và phương sai của quá trình không thay đổi theo thời gian và hiệp phương sai giữa hai thời đoạn chỉ phụ thuộc vào khoảng cách độ trễ về thời gian giữa các thời đoạn này chứ không phụ thuộc vào thời điểm thực tế mà hiệp phương sai được tính.
CHƯƠNG 2
THIẾT KẾ NGHIÊN CỨU DỰ BÁO LẠM PHÁT VIỆT NAM BẰNG MÔ HÌNH ARIMA