Biện pháp 3: Tổ chức dạy học bồi dưỡng NL mô hình hóa toán học

thông qua nội dung vận dụng đạo hàm giải các bài toán thực tiễn

2.2.3.1. Ý nghĩa tác dụng và cơ sở khoa học của biện pháp

Trên cơ sở đã xây dựng được hệ thống bài tập hợp lý và quy trình tổ chức hoạt động mô hình hóa toán học trong dạy học vận dụng đạo hàm để giải bài toán thực tế, muốn bồi dưỡng NL mô hình hóa toán học cho học sinh thì đương nhiên chúng ta phải tổ chức dạy học cho học sinh.

Trong quá trình tổ chức dạy học vận dụng đạo hàm giải bài toán thực tế, để đạt được mục đích của biện pháp sư phạm, chúng tôi thực hiện các hoạt động sau

Kỹ thuật 1 - Gợi động cơ bên trong (động cơ xuất phát từ đối tượng)

Mọi NL, mọi kĩ năng cũng cần gắn với một hoạt động cụ thể về việc hình thành và phát triển NL và kĩ năng thông qua sự tham gia của chủ thể và các hoạt động phù hợp với nó. NL mô hình hóa toán học được hình thành và phát triển trong quá trình hoạt động toán học của học sinh. Bởi vậy, để bồi dưỡng NL này, cách tốt nhất là tổ chức cho học sinh tham gia vào các hoạt động để tạo động cơ.

Để triển khai hoạt động này Giáo viên cần thực hiện như sau a) Làm cho học sinh thấy được tính hữu ích của hoạt động mô hình hóa các bài toán thực tiễn thông qua dạy học toán.

Thứ nhất, để làm cho học sinh thấy rõ được vai trò to lớn của toán học đối với các khoa học khác và thực tiễn đời sống ngoài những ứng dụng trực tiếp vào đời sống thực tiễn, cần nhấn mạnh các ứng dụng có tính chất gián tiếp của toán học (thông qua quá trình toán học hóa).. Chẳng hạn, với mô hình cho bài toán kinh tế, người ta cần xây dựng được một quy tắc sản xuất để mang lại năng suất lao động cao nhất. Trong các buổi ngoại khóa, nên giới thiệu cho học sinh một số thông tin khác về ứng dụng về ứng dụng của toán học vào trong thực tiễn và trong các khoa học khác trong đó nổi trội là vấn đề mô hình hóa. Chẳng hạn, người ta xây dựng mô hình toán học để dự báo cho hoạt động sóng thần ở vùng Đông Nam Á [52, tr106 - 107], căn cứ vào mô hình của hoạt động của núi lửa cùng Iceland để quyết định tạm hoãn các chuyến bay tới Châu Âu trong tháng 4 năm 2010,... Các mô hình cơ học của Newton, các mô hình tăng trưởng kinh tế của trường phái Keynes [15], các mô hình vật lí ngẫu nhiên: mô hình Maxwell - Bolzman (M - B); mô hình

Bore - Eistein (B- E); mô hình Femi - Drac (F - D) [51] ghi công vai trò to lớn của toán. Từ những hoạt động như trên trong dạy học toán, giúp học sinh nhận thức ra được tính hữu ích của hoạt động toán học hóa và đó là điều kiện làm nảy sinh ra nhu cầu hoạt động này ở người học.

Thứ hai, tận dụng các cơ hội có thể để khai thác nguồn gốc thực tiễn của tri thức toán học. Trong quá trình môn toán trường THPT, các giá trị tri thức có nguồn gốc thực tiễn thường là các khái niệm, các định lí toán học. Chẳng hạn, khi dạy học các khái niệm đạo hàm cần chú ý việc hình thành khái niệm này từ các tình huống thực tiễn. Khai thác những vấn đề này, học sinh thấy được vai trò to lớn của toán học trong thực tiễn đời sống.

b) Thiết kế các tình huống có dụng ý sư phạm hấp dẫn cả về hình thức thể hiện bên ngoài và về nội dung toán học bên trong, tạo nên hứng thú đam mê cho học sinh trong hoạt động mô hình hóa các bài toán thực tiễn. Theo tác giả Bùi Huy Ngọc “Động cơ chính là sức hấp dẫn, lôi cuốn của đối tượng mà cá nhân nhận thấy cần chiếm lĩnh để thỏa mãn nhu cầu hay ham muốn của mình” và ông cũng cho rằng: “Khác với động cơ trong kĩ thuật hay năng lượng sinh học đơn thuần, động cơ tâm lí luôn là vecto được xuất phát từ đối tượng và hướng về phía cá nhân” [42, tr. 370]. Do đó, trong dạy học các tri thức toán học liên quan đến thực tiễn, cần có phương án làm cho đối tượng nhận thức trở nên hấp dẫn. Chúng tôi không phủ nhận ý kiến sau đây của giáo dục Max - Planck: “Quan niệm cho rằng học sinh chỉ có thể thích toán nếu việc giảng dạy toán chỉ tập trung vào các bài toán thực tiễn là hoàn toàn sai” [17]. Đúng vậy, toán học còn có rất nhiều điều thú vị hơn nữa, trong phạm vi lí thuyết của nó. Tuy nhiên, nếu giáo viên chú ý lựa chọn những bài toán hàm chứa trong đó nhưng mô hình toán học hấp dẫn thì sựu hứng thú của học sinh sẽ được tăng gấp bội. Theo quan điểm của các tác giả Đào Tam - Lê Hiển Dương, đối tượng của hoạt động được sinh thành trong quá trình hoạt động và

thông qua hoạt động của chủ thể. Bởi vậy, trong quá việc dạy học ở đây không chỉ là tìm câu trả lời cho một vấn đề cụ thể mà còn phải hướng dẫn học sinh hoạt động “bóc trần” đối tượng đó, hấp dẫn họ trong việc khai thác các chủ đề vận dụng toán học. Để thực hiện được vấn đề này, cần xây dựng những tình huống thực tiễn có vấn đề, theo nghĩa cả về “bên trong” lẫn “bên ngoài”, đã và trong bài giảng, cho học sinh tập luyện hoạt động mô hình hóa. Tình huống có vấn đề có thể được hiểu theo hai nghĩa: “bên ngoài” là tình huống tạo sự hứng thú đối với người học do tính hữu ích của nó; mặt khác với nghĩa “bên trong” thì tình huống chính là một vấn đề cần giải quyết ngay trong toán học. Các ví dụ minh họa cho vấn đề này được chúng tôi lồng ghép trong các hoạt động tiếp theo. Ở đây, xin được chỉ dẫn ra một vài tình huống dạng như vậy.

Công ty Head Hồng Phát (Hải Phòng) chuyên kinh doanh xe gắn máy và tay ga các loại.

Hiện tại, xe Honda SH được nhập với giá 55 triệu đồng và bán với giá 70 triệu đồng. Theo đó, số xe bán được khoảng 1500 chiếc.

Với mong muốn tăng lượng bán sản phẩm này, công ty sẽ giảm giá bán với dự tính: Cứ giảm 1 triệu đồng cho mỗi chiếc xe thì sẽ bán tăng thêm được 500 chiếc.

Vậy nếu muốn có lợi nhuận cao nhất thì cần phải xác định giá bán mới là bao nhiêu?

Tình huống trên có thể đưa vào trong giờ luyện tập, sau khi học sinh nắm được các kiến thức cơ bản của đạo hàm. Đây là một tình huống được đánh giá là có vấn đề theo nghĩa cả “bên trong” lẫn “bên ngoài”. Thực vậy, nó là một tình huống có thực, gắn với cuộc sống của con người. Nếu như giáo viên khéo léo chuyển giao cho người học thì các em sẽ có cảm giác như mình là “người trong cuộc”, giải quyết được tình huống này sẽ mang đến điều có ích. Do đó,

nó là một tình huống có vấn đề theo nghĩa “bên ngoài”. Sau khi hướng dẫn học sinh chuyển vấn đề cần giải quyết dạng toán học, cụ thể là:

Phân tích: Dựa vào tình huống, có thể mô tả tóm tắt mô hình toán học như sau: Ban đầu Giá mua vào 1 chiếc xe Giá bán ra 1 chiếc xe Lợi nhuận bán 1 chiếc xe Số lượng Tổng lợi nhuận 55 triệu đồng 70 triệu đồng 15 triệu đồng 1500 chiếc 22.500.000.000đ

Rõ ràng là nếu giảm giá bán xe cũng sẽ giảm tiền lãi, mặt khác lại ảnh hưởng tăng nhu cầu mua xe. Xét về mặt toán học, nếu x là giá bán cần tìm thì x  [55;70].

Từ đó cần tính toán đến số lượng xe bán được cùng với số tiền lãi thu về. Tức là: lợi nhuận = tổng doanh thu – tổng chi phí, và đó là một hàm phụ thuộc theo biến x. Ta có thể dùng đạo hàm để khảo sát hàm số đó và tìm ra GTLN.

Hướng dẫn giải:

Gọi x là giá bán mới của mỗi chiếc Honda SH mà công ty cần xác định để thu được lợi nhuận sau khi giảm giá là cao nhất. 55 x 70

Số tiền đã giảm là (70 - x) và số lượng xe bán được tăng thêm 500 (70 - x)

Khi đó số xe có thể bán được là 1500 500(70  x) 36500 500 x

Tổng doanh thu là 36500 500 x x và tổng chi phí là 36500 500 x.55 Rõ ràng là lợi nhuận được tính như sau:

    2

36500 500x x 36500 500x .55 500x 64000x 2007500

Đặt   2 500 6400 2007500 f x   x  x . Khi đó ta cần tìm   55max70 ? x f x    Ta có: '  ' 1000 64000, ( ) 0 64 f x   x f x   x

Khảo sát bằng cách lập bảng biến thiên, ta có:    

55max70 64 40500

x f x f

   

triệu đồng hay 40.500.000.000 đồng.

Như vậy, giá bán mới cần đưa ra là 64.000.000 đồng.

c) Có kế hoạch làm “lây lan” đam mê, hứng thú tích cực của học sinh từ những lĩnh vực khác vào việc học toán và hoạt động toán học hóa tình huống thực tiễn.

Công việc này đòi hỏi nhiều công sức của giáo viên, không thể thực hiện được một sớm một chiều, mà phải kiên trì theo đuổi trong cả quá trình dạy học. Có thể khẳng định rằng, bất kỳ một học sinh nào cũng có sự đam mê, có thể là đam mê tích cực hay là đam mê mang tính tiêu cực. Đối với những đam mê mang tính tiêu cực, đòi hỏi cần phải có cả một hệ thống giáo dục gia đình, nhà trường và xã hội can thiệp; tất cả các niềm đam mê tích cực khác của người học cần được tôn trọng. Thầy giáo cần nghiên cứu kỹ lĩnh vực đam mê của học sinh để tìm ra mối quan hệ giữa nó và các tri thức toán học; trên cơ sở đó, khai thác trong dạy học nhằm làm cho người học yêu thích toán học hơn và dẫn đến có nhu cầu vận dụng toán vào đời sống thực tiễn. Chúng tôi cho rằng, nếu giáo viên kiên trì thực hiện phương án này thì công lao sẽ được đền đáp thích đáng. Có thể dẫn ra một vài tình huống có thể xảy ra trong thực tiễn dạy học:

- Có những học sinh yêu thích các môn học Vật lý, Hóa học hay các môn học khác nhưng chưa hẳn đã “mặn mà” với môn Toán. Giáo viên không nên gạt bỏ niềm đam mê của các em mà ngược lại nên nghiên cứu cung cấp cho người học các mô hình toán học làm thỏa mãn nhu cầu hiểu biết để gây “cảm tình” đối với toán học.

Chẳng hạn, đối với những học sinh ở lớp tự nhiên đa phần các em sẽ yêu thích môn Vật Lí ta có thể đưa vào một tình huống:

Ví dụ. Xét một cơ cấu chuyển động như sau: vật A chuyển động trên Ox với

vận tốc 50 m/h, vật B chuyển động trên Oy với vận tốc 60 m/h, cả hai đều

hướng tới vị trí gốc O. Hỏi khi A cách O là 0,3m còn B cách O là 0,4m thì A và B phải chuyển động với vận tốc là bao nhiêu để gặp nhau ở O.

Phân tích:

Với kiến thức Vật lý đã học, ta biết nếu y f t( ) thì đạo hàm '

( )

f t sẽ cho chúng ta biết tốc độ biến thiên (tăng, giảm) của y tại thời điểm t (theo t). Do đó để giải quyết bài toán thì ta chỉ cần vận dụng kiến thức đạo hàm đã học

Hướng dẫn giải:

Tại thời điểm t bất kỳ, gọi x là khoảng cách từ vật A tới điểm O, y là khoảng cách từ vật Bđến điểm O, z

là khoảng cách giữa hai vật A và B. (Hình 32). Vì

x,y z, thay đổi theo thời gian t, nên x y z, là các hàm

số theo biến t. xx t( ) ,y y t( ) ,zz t( ). Khi đó x'(t) là tốc độ chuyển động của A tại thời điểm t, y'(t) là tốc độ chuyển động của B tại thời điểm t và

'

( )

z t là tốc độ thay đổi khoảng cách giữa hai vật A, B tại thời điểm t. Bài toán cho biết ' ,

( ) 50 / , ( ) 60 /

x t   m h y t   m h (đạo hàm mang dấu âm

vì x y, giảm). Yêu cầu đặt ra là tìm '

( )

z t khi x0,3m và y0, 4m.

Theo định lý Pitago, ta có phương trình biểu thị mối liên hệ giữa x y z, , là

2 2 2 z x y  ' ' ' 2 . ( )z z t 2 . ( ) 2 . ( )x x t  y y t ' 1 ' ' ( ) . ( ) . ( ) z t x x t y y t z      

Khi x0,3 và y0, 4 thay vào phương trình 2 2 2

z x y , ta được 0,5 z . y z y x O x B A Hình 32

Thay x0,3 , y0, 4 , z0,5 , ' , ( ) 50 , ( ) 60 x t   y t   vào ' ( ) z t ta có ' 1   ( ) 0,3.( 50) 0, 4.( 60) 78 0,5 z t       ( ' ( )

z t mang dấu âm vì zgiảm). GV nhấn mạnh: Trong các bài toán vật lý, công cụ đạo hàm có nhiều ứng dụng nhưng rõ ràng và thường gặp nhất là ở những bài toán về chuyển động

(mà về toán học chính là mối tương quan hàm số giữa quãng đường, vận tốc

và thời gian).

Một số lưu ý khi thực hiện hoạt động gợi động cơ.

- Động cơ của hoạt động mô hình hóa các bài toán thực tiễn của học sinh sẽ không xuất hiện nếu như không có động cơ học tập môn toán. Bởi vậy, cần phải luôn bồi dưỡng động cơ học tập môn toán nói chung và hoạt động vận dụng toán học và đời sống thực tiễn nói riêng trong quá trình dạy học.

- Việc gợi động cơ mở đầu xuất phát từ thực tiễn trong dạy học tri thức toán học trên lớp (nếu có thể có tác dụng rất tốt đến việc lĩnh hội tri thức cần truyền thụ. Tuy nhiên, nó ảnh hưởng đến thời gian lên lớp. Bởi vậy, cần phải cân nhắc một cách kĩ lưỡng khi quyết định thực hiện điều này.

- Cách gợi động cơ cho hoạt động toán học hóa tình huống thực tiễn, có hiệu quả nhất đối với học sinh là cách xây dựng những tình huống phù hợp với bài dạy, vừa hấp dẫn các hình thức diễn đạt bên ngoài và nội dung toán học bên trong. Chúng tôi cho rằng, nội dung toán học hấp dẫn bên trong cần phải có liên quan đến việc xây dựng các công cụ toán học giải quyết các vấn đề của thực tiễn.

Kỹ thuật 2 - Rèn luyện cho học sinh kỹ năng xây dựng mô hình toán học cho các bài toán ứng dụng thực tiễn của đạo hàm.

Khả năng xây dựng mô hình toán của học sinh là một thành tố quan trọng của NL toán học hóa tình huống thực tiễn, là cơ sở hình thành phương

pháp mô hình hóa ở người học. Do đó để triển khai hoạt động này giáo viên cần thực hiện như sau

a) Rèn luyện cho học sinh kỹ năng phát hiện ra quy luật trong tình huống.

Để có thể xây dựng mô hình toán học cho tình huống thực tiễn, vấn đề quan trọng nhất là phải nắm được quy luật của tình huống. Tình huống thực tiễn đưa vào trong dạy học là những tình huống đã được sàng lọc, có thể học sinh đã được trải nghiệm hay người học chưa nắm bắt được quy luật của nó.

- Giáo viên yêu cầu người học phát biểu lại các quy luật diễn ra trong tình huống (tốt nhất là những quy luật đó được mô tả bởi công thức, biểu thức), đồng thời cho biết ngữ nghĩa và cú pháp của các biểu thức, công thức đưa ra. Sự tác động sư phạm của giáo viên vào các hoạt động nói trên của học sinh ở mức độ nào là tùy thuộc vào trình độ của người học.

- Nếu như chỉ rèn luyện cho học sinh xây dựng mô hình toán học thông qua những tình huống điển hình, thì tri thức học sinh kiến tạo được vẫn khó khăn trong việc vận dụng vào thực tiễn. Cần phải cho học sinh biết rằng những bài toán trong chương trình đã được chính xác hóa bởi các nhà sư phạm, thực tiễn cuộc sống phức tạp hơn nhiều. Trong dạy học Toán, giáo viên phải tận dụng cơ hội một cách hợp lý để đưa vào những tình huống sát với