toán học trong dạy học vận dụng đạo hàm để giải bài toán thực tế
2.2.2.1. Ý nghĩa tác dụng và cơ sở khoa học của biện pháp
Quá trình mô hình hóa toán học từ bài toán có tính thực tiễn đòi hỏi học sinh phải biết huy động tổng hợp kiến thức để kết nối các giả thiết và yêu cầu của bài toán với kiến thức toán đồng thời sử dụng công cụ toán để giải quyết vấn đề. Muốn cho học sinh thành thạo và nhuần nhuyễn trong việc giải quyết các bài toán có tính thực tiễn thông qua xây dựng mô hình hóa toán học thì cần phải cung cấp và luyện tập cho các em quy trình các bước thực hiện, các em làm nhiều thì sẽ quen, sẽ trở thành kỹ năng. Nếu không có quy trình các bước thực hiện để hướng dẫn cho học sinh thì rất khó để các em hình thành NL mô hình hóa toán học. Bởi vậy, việc xây dựng quy trình tổ chức hoạt động
mô hình hóa toán học để sử dụng trong dạy học vận dụng đạo hàm để giải bài toán thực tế là điều rất cần thiết.
2.2.2.2. Cách thức thực hiện và ví dụ minh họa
Trong dạy học toán, việc thực hiện quy trình mô hình hóa toán học luôn tuân theo một cơ chế linh hoạt, mềm dẻo và có sự điều chỉnh phù hợp với bài toán thực tế để vấn đề trở nên đơn giản hơn, dễ hiểu hơn đối với học sinh ở trường phổ thông. Do đó, chúng tôi áp dụng quy trình 5 bước tổ chức hoạt động mô hình hóa toán học trong dạy học vận dụng đạo hàm để giải bài toán thực tế như sau:
Bước 1. Tìm hiểu bài toán thực tế: phân tích, xác định giả thiết, các tham số, biên số, đơn giản hóa vấn đề, làm sáng tỏ, lọc ra những yếu tố quan trọng sẽ sử dụng trong phạm vi của bài toán thực tế; thiết lập mối liên hệ giữa các yếu tố.
Bước 2. Xây dựng mô hình toán học lựa chọn và sử dụng ngôn ngữ toán học mô tả bài toán thực tế, xây dựng nội dung bài toán toán học và dự đoán tính phức tạp của nó.
Bước 3. Giải bài toán: Liên tưởng, huy động kiến thức, sử dụng các công cụ toán học thích hợp để giải bài toán toán học.
Bước 4. Hiểu lời giải bài toán : Từ kết quả bước 3, hiểu được lời giải của bài toán và ý nghĩa của mô hình toán học trong bối cảnh thực tiễn.
Bước 5. Đánh giá mô hình: Kiểm tra tính hợp lí và tối ưu của mô hình toán học đã xây dựng; đưa ra kết luận,giải thích sự phù hợp với thực tế; hoặc dự đoán, cải tiến mô hình (có độ phức tạp cao hơn) bắt đầu lại quy trình. Kết thúc bước này, giáo viên hướng dẫn học sinh sử dụng ngôn ngữ và công cụ toán học để mô tả các ý tưởng toán học, biểu diễn các vấn đề trong thực tiễn.
Tóm lược quá trình tổ chức hoạt động mô hình hóa toán học trong dạy học giải bài toán thực tế theo sơ đồ sau:
Sau đây là một số ví dụ “kịch bản” về việc thực hiện quy trình tổ chức dạy học bồi dưỡng NL mô hình hóa toán học thông qua nội dung đạo hàm để giải một số bài toán thực tế. Chúng tôi mong đợi ở HS một số câu trả lời và trình bày các chiến lược cho các tình huống được dự kiến.
Ví dụ 1. Xét bài toán: Một đường dây điện được nối từ nhà máy điện trên đất liền đến một cù lao. Khoảng cách ngắn nhất từ cù lao C đến đất liền A (vị trí A và C sát bờ sông) là 0,6km, khoảng cách từ nhà máy điện đến cù lao là 1,0 km. Do không thể mắc dây điện trực tiếp từ nhà máy điện ra cù lao, nên người ta chọn một ví trí S nằm giữa A và nhà máy điện B để mắc đường dây điện đi từ nhà máy điện đến S, rồi từ S đến cù lao như hình 1.1 dưới đây. Giá thành lắp đặt dây điện: trên mặt đất là 3000 USD/km, dưới đáy sông
là 5000 USD/km. Hỏi điểm S phải cách nhà máy điện bao nhiêu ki lô mét để
Bước 1: Tìm hiểu bài toán thực tế
Từ hình 1.1, GV tổ chức cho HS nghiên cứu và thảo luận nhóm về những số liệu cần thiết cần thu thập nhằm đơn giản hóa bài toán; hướng dẫn HS liệt kê các từ khóa, xác định những yếu tố (tham số) có liên quan đến vấn đề trên và đơn vị tính nhằm thiết lập điều kiện ban đầu của bài toán; xác định những tham số quan trọng và loại bỏ những tham số phụ.
Các từ khóa cần xác định: nhà máy điện, cù lao, khoảng cách, vị trí, chi phí mỗi km, trên đất liền, đặt ngầm, ít nhất.
Các tham số xuất hiện trong bài toán (được các nhóm đưa ra): nhà máy điện, một cù lao, đường dây điện, khoảng cách ngắn nhất, chi phí mỗi km dây điện trên đất liền, chi phí mỗi km dây điện đặt ngầm, chọn một vị trí. Sau khi nghiên cứu kĩ lưỡng và thảo luận theo nhóm, GV hướng dẫn HS lựa chọn các tham số cơ bản: khoảng cách ngắn nhất, chi phí mỗi km dây điện trên đất liền, chi phí mỗi km dây điện đặt ngầm, chọn một vị trí; loại bỏ một số tham số phụ nhà máy điện, một cù lao, đường dây điện (đơn vị tính theo km).
Bước 2: Xây dựng mô hình toán học sau khi xác định được các tham số cơ bản, giáo viên tiếp tục định hướng cho học sinh thiết lập các điều kiện ban đầu và xây dựng hàm số.
Điều kiện ban đầu được xác định như sau: Khoảng các từ nhà máy điện trên đất liền đến cù lao (1.0 km); khoảng các ngắn nhất từ cù lao đến đất liên (0.6 km);
Chi phí mỗi km dây diện trên đất liền (3000USD), chi phí mỗi km dây điện đặt ngầm dưới đáy sông (5000USD).
Giáo viên tổ chức cho học sinh thảo luận xác định biến số và điều kiên của biến số; lựa chọn mô hình biểu diễn để từ đó xác định chi phí mắc đường dây điện là ít nhất.
Các công thức tính được xác định: khoảng cách từ A đến nhà máy điện
là 2 2
1, 0 0, 6 0,8 .
AB km Giả sử BS x 0.8AS 0,8x. Khi đó tổng chi
phí lắp đường dây điện là: 2
3000 5000 0,36 (0,8 ) .
T x x
Bước 3: Giải bài toán (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Học sinh sử dụng các số liệu, công thức tính đã thảo luận ở trên để tính chi phí mắc đường dây điện là ít nhất. Trong quá trình thảo luận tính chi phí ít nhất, các em đã phát hiện ra cần phải vận dụng kiến thức đạo hàm của hàm số. Xét hàm số: 2 ( ) 3000 5000 0,36 (0,8 ) , (0;0,8). f x x x x 2 (0,8 ) '( ) 3000 5000 0,36 (0,8 ) x f x x 2 '( ) 0 3 0,36 (0,8 ) 5(0,8 ) f x x x 2 9.0,36 7 (0,8 ) ( x (0;0,8)) 16 20 x x Do
Bước 4: Hiểu lời giải bài toán Từ kết quả 7
20
x của bước 3, giáo viên hướng dẫn học sinh quay trở lại vấn đề đã đặt ra để hiểu yêu cầu của bài toán. Học sinh thỏa luận về giá trị của x để hàm số f x( )đạt giá trị nhỏ nhất, từ đó sẽ xác định được vị trí để chi phí mắc đường dây điện là ít nhất. Sau khi thảo luận, câu trả lời đưa ra là vị trí để chi phí mắc đường dây điện ít nhất là tại điểm S sao cho 7
20
BS km. Bước 5: Đánh giá, nhận xét
Từ những kiến thức toán học (hàm số, đạo hàm,…) được sử dụng trong quá trình giải quyết vấn đề, GV định hướng HS thảo luận tìm hiểu thực tế để kiểm nghiệm lời giải của bài toán và GV kết luận kết quả bài toán. Tiếp đó HS thảo luận về những ưu điểm, hạn chế của mô hình và cải tiến mô hình
bằng cách bổ sung thêm các tham số khác, chẳng hạn: điểm C cách bờ sông
0, 2km (C nằm sâu trong cù lao) khi đó AC phần ngầm dưới sông và phần trên đất liền.
Đại diện nhóm trình bày ý kiến thảo luận nhằm giúp GV đánh giá sản phẩm và NL giải quyết vấn đề của mỗi nhóm và giới thiệu thêm cho HS việc mở rộng bài toán này.
Ví dụ 2. Xét bài toán: Ông A dùng cái ao có diện tích 50 m2 để nuôi
cá. Vụ cá vừa qua ông đã thả nuôi cá với mật độ 20con/m2 và thu được 1,5 tấn cá thành phẩm. Theo kinh nghiệm thực tế, mỗi mét vuông diện tích ao giảm mật độ bớt 8 con cá thì sản lượng sẽ tăng thêm được 0,5 kg/con. Hỏi vụ cá tới ông An phải mua bao nhiêu con cá giống thả vào ao để cuối vụ đạt được tổng năng suất cá cao nhất? (với giả thiết không gặp thất thoát).
Tương tự ví dụ 1, với bài toán này GV hướng dẫn HS thực hiện mô hình hóa theo quy trình 5 bước đã nêu ở trên. Chú ý rằng:
- Xác định được các tham số, biến số và các điều kiện để xây dựng hàm số biểu diễn sản lượng cá thu được trong năm tới. Để làm được điều này, HS phải thu thập các số liệu thực tế về sự thay đổi mật độ cá nuôi được thả trong ao ảnh hưởng đến năng suất cá thu được cuối vụ để xác định hàm số biểu diễn.
-Thảo luận về ý tưởng toán học cho việc tính số cá giống năm tới phải mua để thả vào ao. Với sự hướng dẫn của giáo viên HS vận dụng đạo hàm xác định năng suất cá thu được cuối vụ từ đó tính sản lượng cá thu cao nhất được trong năm tới. Dưới đây là kết quả sau thảo luận của một nhóm học sinh thực nghiệm do đại diện nhóm trình chiếu.
Giảm 8 con/m2 thì tăng năng suất mỗi con được 0,5 kg. Do vậy, khi giảm x con thì tăng năng suất 0,5 1 /
8 16
x
a kg con
Sản lượng cá thu được trong năm tới sẽ là:
1 ( ) (1000 )(1,5 )
16
f x x x kg
Kết quả là tổng sản lượng cá cuối vụ được mô tả bởi hàm số, trong đó
xlà số cá giống thả vào ao giảm.
Xét hàm số: 125 3 1 2 1 2 ( ) 1500 61 1500 2 2 16 16 f x x x x x x Để tìm GTLN của hàm số 1 2 ( ) 61 1500 16 f x x x ta tính '( ) 0 488 f x x Vậy f x( )đạt GTLN khi x488.
Do đó, số cá thả cần phải giảm bớt 488 con. Vậy số cá cần thả phải là: 1000-488=512 con.
GV nhận xét bài làm của nhóm HS và khẳng định kết quả bài toán. Từ kết quả này HS có thể tư vấn cho ông A số cá giống năm tới phải mua để thả vào ao. Đồng thời, GV giới thiệu thêm cho HS việc vận dụng đạo hàm vào giải một số bài toán trong vật lý, hóa học, sinh học,… Cuối cùng GV thiết kế thêm các bài toán thực tế mà có thể vận dụng kiến thức đạo hàm giải quyết chúng để HS thực hành.
Hoạt động mô hình hóa trong dạy học Toán ở các trường phổ thông hoàn toàn có thể được vận dụng dựa theo quy trình 5 bước như đã đề xuất ở trên.
Chú ý: HS có thể gặp một số khó khăn do yếu về kiến thức liên quan đến hàm số và đạo hàm, mặt khác cũng có thể lúng túng về ngôn ngữ và kinh nghiệm thực tế khi xác định các yếu tố trong tình huống, phát hiện và thiết lập (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
được mô hình bài toán (nhất là tìm được công thức hàm số), khi chuyển đổi kết quả sang câu trả lời, ...
Vì vậy, giáo viên cần hiểu được những khó khăn của học sinh để có những định hướng phù hợp. Chẳng hạn, giới thiệu từng bước quy trình mô hình hóa một cách chi tiết, khoa học; với mỗi bài toán, có thể hướng dẫn để học sinh thực hiện toàn bộ hay chỉ một số bước của quy trình. Qua nghiên cứu chủ đề này chúng tôi nhận thấy, thảo luận nhóm là phương pháp khá hiệu quả giúp HS thiết lập mô hình chuyển những vấn đề toán học trong sách giáo khoa thành những vấn đề trong cuộc sống cũng như vận dụng những kiến thức Toán được học giải quyết những bài toán do thực tiễn đặt ra.
Kiến thức đạo hàm được phản chiếu một cách sâu sắc qua thực tiễn cuộc sống. Chính điều này, thông qua quá trình mô hình hóa toán học học sinh hiểu sâu hơn mối liên hệ chặt chẽ giữa kiến thức đạo hàm với thực tiễn cuộc sống. Hơn thế, giúp cho học sinh phát triển khả năng nhận thức tri thức toán học ở mức độ cao hơn, rèn luyện kĩ năng hợp tác và nâng cao các kĩ năng giải quyết các vấn đề thực tiễn.