Đạo hàm là chương quan trọng đối với lớp 11. Việc học tốt chương này để làm nền tảng cho các kiến thức liên quan đến lớp 12, ôn thi Đại học cũng như việc học Toán tại các trường chuyên nghiệp sau này. Do vậy, giáo viên cần lưu ý một số vấn đề khi dạy lý thuyết và bài tập về đạo hàm - ứng dụng của đạo hàm như sau:
- Nắm chắc định nghĩa đạo hàm của hàm số tại một điểm và trên một khoảng tập con của tập số thực..
- Nắm được phương pháp tính đạo hàm bằng định nghĩa, công thức của một số hàm số thường gặp.
- Nắm được ứng dụng của đạo hàm để tính giới hạn, khảo sát, vẽ đồ thị hàm số.
- Biết cách tính được đạo hàm cấp lớn hơn 1 đối với một vài hàm số ở
dạng cơ bản.
- Giáo viên cần đưa ra các ví dụ minh họa, trong một số ví dụ, GV cần chỉ rõ các bước thực hiện. Giáo viên nêu những chú ý cần thiết hoặc những sai lầm thường gặp khi giải toán và trong mỗi ví dụ đó có thể đưa ra nhiều cách giải theo nhiều hướng khác nhau để HS hiểu sâu kiến thức. Đặc biệt các bài toán có nội dung thực tiễn cần lồng ghép vào nhiều hơn trong nội dung giảng dạy.
- Cho HS làm các bài tập phân theo từng dạng phải đảm bảo tính linh hoạt cho từng đối tượng HS, bám sát nội dung đã học và không loại trừ các kiến thức nâng cao.
- Cho HS thực hiện luyện tập các bài toán tổng hợp nhằm rèn luyện cho học sinh kĩ năng biến đổi thành thạo, thực hiện linh hoạt các thao tác trong giải toán ứng dụng đạo hàm nói riêng và giải toán nói chung.
Cụ thể hơn, việc dạy học ứng dụng đạo hàm ở lớp 12 nhằm đạt được các mục đích và yêu cầu sau:
Về kiến thức:
- Hiểu tính đơn điệu của hàm số dựa trên dấu của đạo hàm. - Biết GTLN, GTNT và cực trị của hàm số và cách tìm.
- Biết cách khảo sát một vài hàm số thường gặp (bậc 3, bậc 4, phân thức
hữu tỉ).
- Vận dụng đạo hàm để giải, biện luận một số dạng PT, BPT, HPT, chứng minh bất đẳng thức.
- Thông qua nội dung đã học, HS sử dụng kiến thức đã tiếp thu được để vận dụng vào giải các bài toán có ở các môn học khác, cũng như các bài toán có tính thực tế.
Về phương pháp:
GV phối hợp sử dụng những PPDH tùy theo nội dung bài dạy, đối tượng HS và điều kiện thực tế: Phương pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề, phương pháp dạy học tự học, dạy học khám phá, dạy học hợp tác hay đàm thoại phát hiện.
Có thể thấy tình hình dạy và học nội dung đạo hàm ở trường phổ thông trước yêu cầu gắn với ứng dụng thực tiễn như sau:
- Việc dạy học Toán chủ yếu với mục đích nhằm đảm bảo đủ số tiết đã ăn sâu vào suy nghĩ của GV, việc tổ chức những hoạt động thực hiện theo hướng phát triển NL vận dụng toán học vào thực tiễn buộc GV phải thay đổi lối mòn trong nội dung, phương pháp dạy học nên GV ngại thực hiện.
- Việc đánh giá kết quả học tập môn toán hiện nay chủ yếu quan tâm mặt kiến thức thuần túy, ít quan tâm đến việc đánh giá khả năng vận dụng kiến thức vào các tình huống thực tiễn mặc dù vẫn có một số bài toán có nội dung thực tiễn trong SGK và sách bài tập, dẫn đến tình trạng GV và HS đối phó với nội dung và cách kiểm tra đánh giá.
+ Vẫn có một số GV hạn chế về vốn tri thức toán học, kinh nghiệm dạy Toán; trong khi môn Toán là một môn học khó và trừu tượng, khiến cho không phải bất cứ bài dạy lý thuyết nào cũng lấy được ví dụ sinh động gắn với thực tiễn, ...
+ Giáo viên chưa chú trọng thiết kế những câu hỏi bài tập phù hợp với từng loại đối tượng học sinh để giúp cho các em hiểu rõ hơn các kiến thức được học về đạo hàm và ứng dụng. Cách dạy và nội dung còn thiếu linh hoạt, chỉ dựa vào nội dung đã được trình bày trong SGK ... dẫn đến HS kém hứng thú, tích cực HT.
- Giáo viên còn hạn chế về khả năng lý giải một cách tường minh về vấn đề vận dụng toán học vào thực tiễn khi dạy học, thiếu các tài liệu tham khảo, khai thác và mở rộng kiến thức về vận dụng toán học vào thực tiễn nên không xây dựng được nội dung phong phú, hấp dẫn về vận dụng toán học, không kích thích được học sinh tích cực tham gia vận dụng toán học vào thực tiễn.
Về phía học sinh:
+ Khả năng tiếp cận kiến thức của HS chưa đồng đều, nhất là khi tiếp xúc với dạng bài toán có nội dung và hình thức thực tiễn, cần đến việc chuyển đổi ngôn ngữ thì các em còn lúng túng trong việc thiết lập mô hình
toán học tương ứng với nội dung thực tiễn của bài toán. Đặc biệt, HS chưa biết toán học hóa các tình huống thực tiễn. Trong khi đó các bài tập trên lớp và trong SGK chưa thực sự phù hợp với đối tượng học sinh.
+ Không những vậy, HS còn vấp phải những khó khăn, sai lầm thuộc về kỹ năng cơ bản trong học Toán như tính toán, biến đổi, sử dụng ký hiệu, sai sót về quy tắc, công thức, ...
+ Kiến thức toán - trong đó có hàm số và đạo hàm của không ít học sinh còn chưa chắc chắn, thậm chí không hiểu bản chất, nên dễ chán nản, không hứng thú học và không biết vận dụng, rõ nhất là các em còn thụ động, thiếu linh hoạt và sáng tạo trong tư duy toán học, đặc biệt là với những bài toán dưới dạng không quen thuộc, đòi hỏi khả năng xâu chuỗi được công cụ đạo hàm với nhiều loại kiến thức khác (trong và ngoài môn Toán).
Từ những đánh giá nêu trên cho thấy người giáo viên cần đưa ra những biện pháp phát triển NL thích hợp để giải toán ứng dụng đạo hàm cho học sinh trung học phổ thông như sau:
- Đảm bảo kiến thức nền cho học sinh đủ để các em học và hiểu được hàm số và đạo hàm cùng với những ứng dụng trong và ngoài môn Toán.
- Xây dựng và tổ chức những tình huống tạo điều kiện để HS được tiếp xúc với việc ứng dụng hàm số và đạo hàm.
- Chủ động dạy tri thức phương pháp liên quan đến việc ứng dụng hàm số và đạo hàm vào giải toán - nhất là những bài toán có nội dung thực tiễn, đòi hỏi các em phải thực hiện quá trình mô hình hóa toán học.
- Chú trọng tổ chức HS tập luyện các thao tác tư duy cơ bản (so sánh, khái quát hóa và đặc biệt hóa, phân tích, tổng hợp, ...) đồng thời phát hiện, sửa chữa những sai lầm gặp phải trong học lý thuyết về hàm số và đạo hàm; cũng như khi các em vận dụng công cụ này GQVĐ thực tiễn.
- Lựa chọn, xây dựng và hệ thống hóa những bài tập về ứng dụng hàm số và đạo hàm và khai thác trong quá trình dạy chủ đề đạo hàm và ứng dụng.
KẾT LUẬN CHƯƠNG 1
Trong chương 1, chúng tôi đã tổng hợp một số vấn đề lý luận về mô hình hóa toán học, NL mô hình hóa toán học và sơ bộ tình hình về việc phát triển NL này trong môn Toán ở trường phổ thông.
Chương 1 cũng đã nêu rõ nội dung, mục đích và yêu cầu của việc dạy học đạo hàm trong chương trình phổ thông ở Việt Nam. Từ cơ sở lý luận và thực tiễn, chúng tôi đã xác lập yêu cầu cần đạt trong dạy học vận dụng đạo hàm cho học sinh THPT, trong đó yếu tố nổi bật là rèn luyện cho học sinh khả năng liên tưởng, kết nối các tình huống thực tiễn với toán học và công cụ để giải quyết là kiến thức về đạo hàm hay nói một cách tổng quát là bồi dưỡng NL mô hình hóa toán học cho học sinh thông qua dạy học vận dụng đạo hàm để giải các bài toán thực tế.
Những kết quả nghiên cứu lý luận và thực tiễn ở chương 1 làm căn cứ để chúng tôi xây dựng các biện pháp sư phạm ở chương 2.
CHƯƠNG 2. MỘT SỐ BIỆN PHÁP BỒI DƯỠNG MÔ HÌNH HÓA TOÁN HỌC CỦA HỌC SINH TRONG DẠY HỌC ỨNG DỤNG CỦA
ĐẠO HÀM
ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN THỰC TIỄN 2.1. ĐỊNH HƯỚNG
Định hướng 1: Các biện pháp sư phạm tập trung vào tổ chức các hoạt động học tập của học sinh trong lĩnh hội các tri thức, kĩ năng toán học và vận dụng các kiến, kĩ năng vào giải quyết các tình huống thực tiễn.
Định hướng 2: Các biện pháp phải thể hiện rõ tư tưởng phát triển NL mô hình hóa toán học.
Định hướng 3: Các biện pháp sư phạm dựa trên nền tảng vốn văn hóa toàn diện của người học. Gắn tới nội dung học các môn học khác trong chương trình trung học phổ thông như Vật lí, Hóa học, Sinh học; do đó cần phải quán triệt tinh thần tích hợp liên môn trong dạy học. Giáo viên dạy toán phải biết khả năng mỗi học sinh của mình trong các môn học mà họ được thiết kế các tình huống và trong dạy học các vấn đề liên quan một cách phù hợp. Ngoài ra, cần phối hợp với các giáo viên bộ môn khác, tạo điều kiện cho người học quan sát những tình huống điển hình, tạo điều kiện cho học sinh kết nối các yếu tố thực tiễn với các ý tưởng của toán học.
Định hướng 4: Các biện pháp sư phạm phải khả thi và góp phần nâng cao chất lượng học toán trong chủ đề đạo hàm ở THPT.
2.2. MỘT SỐ BIỆN PHÁP SƯ PHẠM BỒI DƯỠNG NL MÔ H́NH HÓA TOÁN HỌC CHO HỌC SINH THPT TRONG DẠY HỌC ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM
2.2.1. Biện pháp 1: Xây dựng hệ thống bài tập ứng dụng thực tiễn của đạo hàm một cách hợp lý nhằm bồi dưỡng NL mô hình hóa toán học cho đạo hàm một cách hợp lý nhằm bồi dưỡng NL mô hình hóa toán học cho học sinh THPT.
2.2.1.1. Ý nghĩa tác dụng và cơ sở khoa học của biện pháp
Để bồi dưỡng NL mô hình hóa toán học của học sinh THPT thông qua dạy học đạo hàm thì điều thiết yếu là cần phải có một hệ thống bài tập khai thác ứng dụng thực tiễn của đạo hàm hợp lý, đủ về số lượng, đa lĩnh vực và có tính đại diện tiêu biểu, đặc sắc. Trong thực tế thì ở sách giáo khoa lớp 11 và 12 có quá ít những bài tập về ứng dụng thực tiễn của đạo hàm, chính vì vậy, việc phải xây dựng một hệ thống bài tập khai thác ứng dụng thực tiễn của đạo hàm nhằm thực hiện ý đồ Sư phạm là việc rất cần thiết.
2.2.1.2. Cách thức thực hiện và ví dụ minh họa
Tổ chức họp sinh hoạt chuyên môn đối với Giáo viên Tổ Bộ môn Toán, đề xuất chia Giáo viên Toán thành hai nhóm (nhóm 1 và nhóm 2) mỗi nhóm cử một giáo viên có uy tín làm nhóm trưởng, phân công công việc cho từng nhóm. Cụ thể, nhóm 1 sưu tầm và biên soạn các bài toán thực tế liên quan đến ứng dụng của đạo hàm trong lĩnh vực Vật lý và Kỹ thuật, nhóm 2 sưu tầm và biên soạn các bài toán thực tế liên quan đến ứng dụng của đạo hàm trong lĩnh vực đời sống và Kinh tế. Số lượng bài toán cho mỗi nhóm tối thiểu là 10 bài và hoàn thành công việc được giao trong khoảng thời gian 1 tháng. Ngay sau khi hết hạn thời gian sẽ tổ chức họp sinh hoạt chuyên môn, trong buổi sinh hoạt chuyên môn này, nhóm trưởng mỗi nhóm sẽ trình chiếu và thuyết trình các bài toán của nhóm mình (cả nội dung bài toán và cách thức giải quyết bài toán). Sau đó toàn bộ Giáo viên của Tổ Bộ môn sẽ thảo luận, đóng góp ý kiến và thống nhất xem chọn lựa những bài toán nào đáp ứng được việc bồi dưỡng NL mô hình hóa toán học cho học sinh để làm tư liệu giảng dạy chung cho cả Tổ Bộ môn.
Trên thực tế, hoạt động được mô tả như trên đã được chúng tôi thực hiện trong khoảng thời gian tháng 7 năm 2018 (thời gian hè) tại trường THPT
Đồ Sơn và kết quả là đã xây dựng được một hệ thống bài tập nhiều về số lượng, tốt về chất lượng.
Sau đây, chúng tôi xin giới thiệu ví dụ về một số bài toán trong hệ thống bài toán mà chúng tôi đã xây dựng được.
Ví dụ 1. (một số bài toán ứng dụng thực tiễn của đạo hàm trong lĩnh vực vật lý và kỹ thuật)
Bài 1. Xét một cơ cấu chuyển động như hình vẽ. biết AB có độ dài là 10 mét, điểm A chạy trên Oy, điểm B chạy trên Ox. Nếu như B đang chuyển động ra khỏi gốc O với tốc độ 1m/s, thì đầu A của thanh trượt sẽ
chuyển động về O với tốc độ bao nhiêu tính ở thời điểm B cách O là 6 mét?
Bài 2. Một bể bằng kim loại dùng để lọc chất lỏng công nghiệp có dạng hình nón (hình phễu) với bán kính đáy là 2m, chiều
cao là 4m và được thiết kế theo kiểu đỉnh của hình nón ở phía dưới (ứng với đáy bể - chỗ thoát của chất lỏng), còn đáy của hình nón ở phía trên. Giả sử chất lỏng được bơm vào bể với tốc độ là 3
2m /h. Hãy tính tốc độ tăng chiều cao của khối chất lỏng ở thời điểm chất lỏng trong bể có độ sâu là 3m.
Bài 3. Một người cầm chiếc đèn pha chiếu lên bức tường, hình thành nên
một chùm sáng hình nón trong không khí. Anh ta dần di chuyển đến gần bức tường hơn, lúc này độ cao của hình nón sẽ giảm dần, ánh sáng tập trung lại, làm cho bán kính đáy tăng lên. Giả sử độ cao của hình nón đang
giảm với tốc độ 6 ft/ phút (1ft=30,48 cm), đồng thời bán kính đáy đang tăng
lên với tốc độ 7 ft/ phút thì ở thời điểm khi độ cao là 3ft và bán kính là 8ft, thể tích hình nón đang tăng hay giảm? Sự thay đổi đó biến thiên như thế nào?
Bài 4. Hai xe kéo I và II được nối với
nhau bởi một sợi dây AB dài 39 m mắc qua một cái ròng rọc P (xem Hình). Điểm Q nằm trên sàn ngay dưới P, cách P là 13 m
và nằm giữa hai chiếc xe kéo. Khoảng cách từ A và B tới sàn đều bằng 1 m. Xe kéo I được kéo ra xa điểm Q với vận tốc 2 m/s. Hỏi xe kéo II di chuyển tới điểm Q với tốc độ là bao nhiêu khi xe kéo I cách Q một khoảng là 5 m.
Bài 5. Vật A chuyển động theo phương thẳng đứng
nhờ lồng vào thanh đứng cố định và nối với sợi dây mềm vắt qua một cái ròng rọc (Hình vẽ). Sau đó chuyền cho đầu dây B một vận tốc không đổi. Tìm vận tốc và gia tốc chuyển động của vật A.
Bài 6. Một biển báo lối thoát ra ở trên đường cao tốc có độ cao 20 ft,
được đặt trên cao 30 ft tính từ mép dưới biển báo xuống tầm nhìn ngang của người tài xế (Hình vẽ). Khi xe ở xa, tín hiệu trên biển báo khó thấy vì khoảng cách lớn. Khi xe và biển báo ở quá gần, tín hiệu cũng trở nên khó thấy
vì người tài xế phải ngước lên một góc quá dốc. Tín hiệu dễ thấy nhất khi xe ở khoảng cách x mà tại đó góc nhìn của người tài xế lớn nhất có thể. Hỏi tại thời điểm đó x bằng bao nhiêu ft.
Ví dụ 2. (Một số bài toán ứng dụng thực tiễn của đạo hàm trong lĩnh vực
Bài 1. Một công ty xe khách, vận tải hành khách từ bến xe mỹ đình về
bến xe hải phòng bằng loại xe 50 chỗ ngồi. Giá vé là 60 nghìn đồng trên một