Tổ chức họp sinh hoạt chuyên môn đối với Giáo viên Tổ Bộ môn Toán, đề xuất chia Giáo viên Toán thành hai nhóm (nhóm 1 và nhóm 2) mỗi nhóm cử một giáo viên có uy tín làm nhóm trưởng, phân công công việc cho từng nhóm. Cụ thể, nhóm 1 sưu tầm và biên soạn các bài toán thực tế liên quan đến ứng dụng của đạo hàm trong lĩnh vực Vật lý và Kỹ thuật, nhóm 2 sưu tầm và biên soạn các bài toán thực tế liên quan đến ứng dụng của đạo hàm trong lĩnh vực đời sống và Kinh tế. Số lượng bài toán cho mỗi nhóm tối thiểu là 10 bài và hoàn thành công việc được giao trong khoảng thời gian 1 tháng. Ngay sau khi hết hạn thời gian sẽ tổ chức họp sinh hoạt chuyên môn, trong buổi sinh hoạt chuyên môn này, nhóm trưởng mỗi nhóm sẽ trình chiếu và thuyết trình các bài toán của nhóm mình (cả nội dung bài toán và cách thức giải quyết bài toán). Sau đó toàn bộ Giáo viên của Tổ Bộ môn sẽ thảo luận, đóng góp ý kiến và thống nhất xem chọn lựa những bài toán nào đáp ứng được việc bồi dưỡng NL mô hình hóa toán học cho học sinh để làm tư liệu giảng dạy chung cho cả Tổ Bộ môn.
Trên thực tế, hoạt động được mô tả như trên đã được chúng tôi thực hiện trong khoảng thời gian tháng 7 năm 2018 (thời gian hè) tại trường THPT
Đồ Sơn và kết quả là đã xây dựng được một hệ thống bài tập nhiều về số lượng, tốt về chất lượng.
Sau đây, chúng tôi xin giới thiệu ví dụ về một số bài toán trong hệ thống bài toán mà chúng tôi đã xây dựng được.
Ví dụ 1. (một số bài toán ứng dụng thực tiễn của đạo hàm trong lĩnh vực vật lý và kỹ thuật)
Bài 1. Xét một cơ cấu chuyển động như hình vẽ. biết AB có độ dài là 10 mét, điểm A chạy trên Oy, điểm B chạy trên Ox. Nếu như B đang chuyển động ra khỏi gốc O với tốc độ 1m/s, thì đầu A của thanh trượt sẽ
chuyển động về O với tốc độ bao nhiêu tính ở thời điểm B cách O là 6 mét?
Bài 2. Một bể bằng kim loại dùng để lọc chất lỏng công nghiệp có dạng hình nón (hình phễu) với bán kính đáy là 2m, chiều
cao là 4m và được thiết kế theo kiểu đỉnh của hình nón ở phía dưới (ứng với đáy bể - chỗ thoát của chất lỏng), còn đáy của hình nón ở phía trên. Giả sử chất lỏng được bơm vào bể với tốc độ là 3
2m /h. Hãy tính tốc độ tăng chiều cao của khối chất lỏng ở thời điểm chất lỏng trong bể có độ sâu là 3m.
Bài 3. Một người cầm chiếc đèn pha chiếu lên bức tường, hình thành nên
một chùm sáng hình nón trong không khí. Anh ta dần di chuyển đến gần bức tường hơn, lúc này độ cao của hình nón sẽ giảm dần, ánh sáng tập trung lại, làm cho bán kính đáy tăng lên. Giả sử độ cao của hình nón đang
giảm với tốc độ 6 ft/ phút (1ft=30,48 cm), đồng thời bán kính đáy đang tăng
lên với tốc độ 7 ft/ phút thì ở thời điểm khi độ cao là 3ft và bán kính là 8ft, thể tích hình nón đang tăng hay giảm? Sự thay đổi đó biến thiên như thế nào?
Bài 4. Hai xe kéo I và II được nối với
nhau bởi một sợi dây AB dài 39 m mắc qua một cái ròng rọc P (xem Hình). Điểm Q nằm trên sàn ngay dưới P, cách P là 13 m
và nằm giữa hai chiếc xe kéo. Khoảng cách từ A và B tới sàn đều bằng 1 m. Xe kéo I được kéo ra xa điểm Q với vận tốc 2 m/s. Hỏi xe kéo II di chuyển tới điểm Q với tốc độ là bao nhiêu khi xe kéo I cách Q một khoảng là 5 m.
Bài 5. Vật A chuyển động theo phương thẳng đứng
nhờ lồng vào thanh đứng cố định và nối với sợi dây mềm vắt qua một cái ròng rọc (Hình vẽ). Sau đó chuyền cho đầu dây B một vận tốc không đổi. Tìm vận tốc và gia tốc chuyển động của vật A.
Bài 6. Một biển báo lối thoát ra ở trên đường cao tốc có độ cao 20 ft,
được đặt trên cao 30 ft tính từ mép dưới biển báo xuống tầm nhìn ngang của người tài xế (Hình vẽ). Khi xe ở xa, tín hiệu trên biển báo khó thấy vì khoảng cách lớn. Khi xe và biển báo ở quá gần, tín hiệu cũng trở nên khó thấy
vì người tài xế phải ngước lên một góc quá dốc. Tín hiệu dễ thấy nhất khi xe ở khoảng cách x mà tại đó góc nhìn của người tài xế lớn nhất có thể. Hỏi tại thời điểm đó x bằng bao nhiêu ft.
Ví dụ 2. (Một số bài toán ứng dụng thực tiễn của đạo hàm trong lĩnh vực
Bài 1. Một công ty xe khách, vận tải hành khách từ bến xe mỹ đình về
bến xe hải phòng bằng loại xe 50 chỗ ngồi. Giá vé là 60 nghìn đồng trên một hành khách và xe chỉ vận chuyển khi có tối thiểu 35 người đi xe. Để cạnh tranh với các công ty khác, công ty này đề ra chiến lược kinh doanh như sau: nếu trên xe có 36 hành khách thì mỗi khách được giảm một nghìn đồng, nếu trên xe có 37 hành khách thì mỗi khách được giảm 2 nghìn đồng,…, nếu trên xe có 50 hành khách thì mỗi khách được giảm 15 nghìn đồng. Hỏi trên xe có bao nhiêu hành khách thì doanh thu của công ty sẽ lớn nhất.
Bài 2. Một quầy rượu ngoại bán được 200 chai mỗi tuần với giá 350 đô
la. Qua khảo sát thị trường, chủ quầy rượu đó thu được thông tin như sau: nếu cứ giảm giá 10 đô la, thì mỗi tuần quầy rượu đó bán tăng thêm được 20 chai. Để tối đa hóa doanh thu thì chủ quầy rượu phải đưa ra mức giảm giá là bao nhiêu với mỗi chai rượu.
Bài 3. Một người lái chiếc thuyền từ một điểm A ở
bờ sông của một con sông rộng 3 km và muốn đến điểm B ở vùng hạ lưu của bờ sông bên kia cách đó 8 km càng nhanh càng tốt (xem hình vẽ).
Nhiều đó có thể lựa chọn các cách sau:
- Dùng thuyền đi sang sông đến C và sau đó đi bộ dọc theo bờ đến B
- Đi thuyền thẳng đến điểm B.
- Chèo thuyền đến một điểm D nào đó ở giữa hai điểm C và B rồi tiếp tục đi bộ đến B.
Hỏi: Nếu tốc độ chèo thuyền là 6 km/h; còn đi bộ được 8 km/h thì người đó nên chọn cách nào để đến được vị trí B là sớm nhất (giả sử vận tốc chảy của nước là không ảnh hưởng đáng kể).
Bài 4. Một nhà máy sản xuất nước sinh hoạt nằm bên cạnh một dòng sông
rộng 700m. Cách nhà máy này 3000m theo hướng xuôi dòng và chiếu vuông góc sang bờ bên kia là một bể chứa nước sinh hoạt của một khu dân cư. Người ta cần phải bắc đường ống dẫn nước từ nhà máy nước về bể chứa nước này, đường ống dẫn nước gồm hai phần, một phần chạy trên mặt đất dọc theo mép bờ sông và cách mép bờ sông 100m, còn một phần nối từ bờ sông bên này sang bể chứa ở bên kia sông, bể chứa này cũng nằm cách mép bờ sông 100m. Chi phí cho đường ống chạy dọc theo bờ sông là 4 usd/m, còn chi phí cho đường ống dẫn từ bờ bên sang bể chứa nước là 5 usd/m. Hỏi đường ống dẫn phải được lắp đặt như thế nào để số tiền phải chi phí là ít nhất.
Rõ ràng, để giải quyết được những bài toán như trên thì ta cần phải sử dụng mô hình toán học (thông qua các phương trình, biểu thức). Do đó nếu đưa các bài toán thực tế này vào nội dung giảng dạy cho học sinh THPT kết hợp với các biện pháp sư phạm thì sẽ có tác dụng rất lớn trong việc bồi dưỡng NL mô hình hóa toán học cho học sinh.