Kết cấu công trình ngoài khơi là kết cấu không gian phức tạp, có thể gặp nhiều sự cố như cháy nổ. Chính vì vậy việc tính toán mô phỏng ứng xử phi tuyến trong cấu trúc công trình ngoài khơi dưới sự tác dụng của tải nổ là việc cần thiết. Điều này có ý nghĩa thiết thực về mặt an toàn và kinh tế. Trong luận văn này, tác giả lựa chọn kết cấu giàn khoan trong thực tế và sử dụng phần mềm ANSYS để mô phỏng ứng xử cơ học của kết cấu dưới tác động của tải trọng nổ bằng phân tích tương tác rắn lỏng dựa trên phương pháp phần tử hữu hạn và phương pháp thể tích hữu hạn. Các kết quả về áp suất phân bố lên kết cấu do sóng nổ gây ra và sự lan truyền của sóng nổ trong không gian ba chiều sẽ được phân tích chi tiết. Từ kết quả tính toán, tác giả sẽ đưa ra phương án bố trí kho chứa vật liệu dễ nổ sao cho giảm tối đa thiệt hại cho kết cấu trong trường hợp có sự cố xảy ra.
CHƯƠNG 2. CƠ SỞ LÝ THUYẾT 2.1. Phương pháp phần tử hữu hạn
2.1.1. Giới thiệu chung về phương pháp phần tử hữu hạn
Ngày nay, với sự tiến bộ của khoa học, kỹ thuật đòi hỏi người kỹ sư thực hiện những đề án ngày càng phức tạp, đắt tiền và đòi hỏi độ chính xác, an toàn cao. Phương pháp phần tử hữu hạn (PTHH) là một phương pháp rất tổng quát và hữu hiệu cho lời giải số nhiều loại bài toán kỹ thuật khác nhau. Từ việc phân tích trạng thái ứng suất, biến dạng trong các kết cấu cơ khí, các chi tiết trong ô tô, máy bay, tàu thuỷ, khung nhà cao tầng, dầm cầu, v.v, đến những bài toán của lý thuyết trường như: lý thuyết truyền nhiệt, cơ học chất lỏng, thuỷ đàn hồi, khí đàn hồi, điện-từ trường...
Với sự trợ giúp của ngành công nghệ máy tính, phần mềm và các công cụ mô hình hóa CAD, nhiều kết cấu phức tạp cũng đã được tính toán và thiết kế chi tiết một cách dễ dàng. Hiện có nhiều phần mềm PTHH nổi tiếng như: ANSYS, ABAQAUS, SAP... Để có thể khai thác hiệu quả những phần mềm PTHH hiện có hoặc tự xây dựng lấy một chương trình tính toán bằng PTHH, người kỹ sư cần phải nắm được cơ sở lý thuyết, kỹ thuật mô hình hoá cũng như các bước tính cơ bản của phương pháp này.
Hình 2.2. Chương trình ABAQUS[nguồn: internet]
Hình 2.3. Chương trình SAP 2000[nguồn: internet]
Phương pháp phần tử hữu hạn (Finite Element Method - FEM) được bắt nguồn từ
những yêu cầu giải các bài toán phức tạp về lý thuyết đàn hồi, phân tích kết cấu trong kỹ thuật. Nó được bắt đầu phát triển bởi Alexander Hrennikoff (1941) và Richard
Courant (1942). Sự phát triển chính thức của FEM được bắt đầu vào nửa sau những năm 1950, trong việc phân tích kết cấu khung máy bay và công trình xây dựng, và đã thu được nhiều kết quả ở Berkeley (Viện đại học California-Berkeley). Phương pháp này được cung cấp nền tảng toán học chặt chẽ vào năm 1973 với việc xuất bản cuốn “Strang” và tổng kết trong một tiêu đề “An Analysis of The Finite Element Method”, kể từ đó FEM được tổng quát hóa thành một ngành của toán ứng dụng, một mô hình số học cho các hệ thống tự nhiên, được ứng dụng rộng rãi trong kỹ thuật, ví dụ như điện từ học và động lực học chất lỏng.
Phương pháp phần tử hữu hạn là phương pháp số gần đúng để giải các bài toán được mô tả bởi các phương trình vi phân đạo hàm riêng trên miền xác định có hình dạng và điều kiện biên bất kỳ mà nghiệm chính xác không thể tìm được bằng phương pháp giải tích. Cơ sở của phương pháp này là làm rời rạc hóa miền xác định của bài toán, bằng cách chia nó thành nhiều miền con (phần tử). Các phần tử này được liên kết với nhau tại các điểm nút chung. Trong phạm vi mỗi phần tử đại lượng cần tìm được lấy sấp sĩ trong dạng một hàm đơn giản được gọi là hàm xấp xỉ (Approximation function) và các hàm xấp xỉ này được biểu diễn qua các giá trị của hàm tại các điểm nút trên phần tử. Các giá trị này được gọi là bậc tự do của phần tử và là ẩn số cần tìm của bài toán.
Hình 2.4. Một vật thể được chia lưới phần tử hữu hạn
FEM có thể giải được nhiều bài toán phi tuyến mà các phương pháp giải tích đó không giải được. Tuy nhiên, để kết quả có độ tin cậy, cần nghiên cứu mô hình phi tuyến hình học khi kết cấu chịu tác động của tải nổ. Việc tính toán chỉ thành công khi phương trình động lực học thích hợp để áp dụng vào các bài toán tải trọng nổ. Như vậy, vấn đề đặt ra là cần xác lập mô hình phi tuyến thích hợp đối với các bài toán phân tích sự tác động của tải trọng nổ lên kết cấu.
2.1.2. Định nghĩa hình học các phần tử hữu hạn 2.1.2.1 Nút hình học 2.1.2.1 Nút hình học
Nút hình học là tập hợp n điểm nút trên miền V để xác định dạng hình học của các phần tử. Chia miền V theo các nút trên, rồi thay miền V bằng một tập hợp các phần tử ve có dạng đơn giản hơn. Mỗi phần tử ve cần chọn sao cho nó được xác định duy nhất theo các toạ độ nút hình học của phần tử đó, có nghĩa là các toạ độ nằm trong ve
hoặc trên biên của nó.
2.1.2.2. Quy tắc chia miền thành các phần tử
Việc chia miền V thành các phần tử ve phải thoả mãn hai qui tắc sau
Hai phần tử khác nhau chỉ có thể có những điểm chung nằm trên biên của chúng. Điều này loại trừ khả năng giao nhau giữa hai phần tử. Biên giới giữa các phần tử có thể là các điểm, đường hay mặt.
Tập hợp tất cả các phần tử ve phải tạo thành một miền càng gần với miền
V cho trước càng tốt. Tránh không được tạo lỗ hổng giữa các phần tử.
2.1.2.3. Các dạng phần tử hữu hạn
Có nhiều dạng phần tử hữu hạn: phần tử một chiều, hai chiều và ba chiều. Trong mỗi dạng đó, đại lượng khảo sát có thể biến thiên bậc nhất (gọi là phần tử bậc nhất), bậc hai hoặc bậc ba… Dưới đây, là một số dạng phần tử hữu hạn thường dùng.
Hình 2.6. Các dạng biên chung giữa các phần tử
Phần tử một chiều
Phần tử hai chiều
Hình 2.8. Phần tử hai chiều
Phần tử ba chiều
Hình 2.9. Phần tử ba chiều
2.1.3. Lực, chuyển vị, biến dạng và ứng suất
Có thể chia lực tác dụng ra ba loại và ta biểu diễn chúng dưới dạng vector cột: Lực thể tích: [ ,fx fy,fz]T f (2.1) Lực bề mặt: [ ,T T Tx y, ]z T T (2.2) Lực tập trung: [ ,P P Px y, z]T i P (2.3)
Chuyển vị của một điểm thuộc vật được ký hiệu bởi: [ ,u u ux y, z]T
u (2.4)
Các thành phần của tensorứng suất được ký hiệu bởi ma trận cột:
, ,
[ x, y, z, yz xz xy]T
σ (2.6)
Mối quan hệ giữa ứng suất với biến dạng cho vật liệu đàn hồi tuyến tính và đẳng hướng : . σ D ε (2.7) Với 5 , 0 0 0 0 0 0 0 5 , 0 0 0 0 0 0 0 5 , 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 2 1 1 E D (2.8)
Trong đó E là module đàn hồi, là hệ số Poisson của vật liệu.
2.1.4. Sơ đồ tính toán bằng phần tử hữu hạn
Khi phân tích bài toán theo phương pháp PTHH được thực hiện theo các bước như sau:
Bước 1: rời rạc hoá miền khảo sát.
Trong bước này, miền khảo sát V được chia thành các miền con Ve hay thành các phần tử có dạng hình học thích hợp.
Bước 2: Chọn hàm xấp xỉ thích hợp.
Vì đại lượng cần tìm là chưa biết, nên ta giả thiết dạng xấp xỉ của nó sao cho đơn giản đối với tính toán bằng máy tính nhưng phải thoả mãn các tiêu chuẩn hội tụ. Và thường chọn dạng đa thức.
Rồi biểu diễn hàm xấp xỉ theo tập hợp các giá trị và các đạo hàm của nó tại các nút của phần tử.
Bước 3: Xây dựng phương trình phần tử, hay thiết lập ma trận độ cứng phần tử
Có nhiều cách thiết lập: trực tiếp, hoặc sử dụng nguyên lý biến phân, hoặc các phương pháp biến phân.
Kết quả nhận được có thể biểu diễn một cách hình thức như một phương trình phần tử:
.
e e e
K u P (2.9)
Bước 4: Ghép nối các phần tử trên cơ sở mô hình tương thức mà kết quả là hệ thống phương trình.
.
K u P (2.10)
Trong đó, có thể gọi:
K: ma trận độ cứng tổng thể
u: vector tập hợp các giá trị đại lượng cần tìm tại các nút (còn gọi là vector chuyển vị nút tổng thể)
P: vector các số hạng tự do tổng thể (hay vector tải tổng thể)
Rồi sử dụng điều kiện biên của bài toán, mà kết quả là nhận được hệ phương trình sau:
* * *
.
K u P (2.11)
Đây chính là phương trình hệ thống hay còn gọi là hệ phương trình để giải
Bước 5: Giải hệ phương trình đại số (2.11)
Với bài toán tuyến tính việc giải hệ phương trình đại số là không khó khăn. Kết quả là tìm được chuyển vị các nút.
Nhưng với bài toán phi tuyến thì nghiệm sẽ đạt được sau 1 chuỗi các bước lặp mà sau mỗi bước ma trận cứng K thay đổi (trong bài toán phi tuyến vật liệu) hay vector lực nút P thay đổi (trong bài toán phi tuyến hình học)
Bước 6: Hoàn thiện:
Từ kết quả ở trên, tiếp tục tìm ứng suất, chuyển vị hay biến dạng của tất cả các phần tử.
Sơ đồ tính toán với các khối trên được biểu diễn như hình 2.10.
Hình 2.10. Sơ đồ khối của chương trình PTHH
2.2. Các thuật toán giải bài toán động lực học trong PPTHH 2.2.1. Thuật toán Implicit 2.2.1. Thuật toán Implicit
Phương trình chủ đạo (k :ma trận cứng ; fex : ngoại lực) :
[M]{ẍ}n+1+ [k]{x}n+1 = {fex}n+1 (2.12)
Thuật toán có các đặc điểm
Sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn để giải quyết bài toán, kết quả nhận được là chuyển vị.
Bài toán luôn ổn định, đối với các đáp ứng quá độ thì vẫn cần sử dụng bước thời gian nhỏ.
Có thể giải các bài toán tĩnh với vật liệu phi tuyến.
Có thể giải những bài toán phi tuyến (động) nhưng vật liệu phải là vật liệu tuyến tính.
Sử dụng tốt cho các bài toán tĩnh (static) và tựa tĩnh (quasi-static).
2.2.2. Thuật toán Explicit
Phương trình chủ đạo (fin: nội lực):
[M]{ẍ} = {fex} − [k]{x} = {fex} − {fin} (2.13)
Thuật toán có các đặc điểm :
Sử dụng phương pháp sai phân trung tâm để giải quyết bài toán.
Kết quả của bài toán là gia tốc (hay ứng suất), từ gia tốc ta sẽ tính được vận tốc và chuyển vị.
Bước thời gian phải chọn một cách hợp lý để duy trì sự ổn định của bài toán, hay nói cách khác là làm cho lời giải hội tụ.
Bước thời gian phải nhỏ hơn giá trị tới hạn : ∆t ≤ ∆tcri = 2
ω
Có thể giải những bài toán phi tuyến cho vật liệu phi tuyến.
Sử dụng tốt cho các bài toán động (dynamic).
2.3. Tích phân theo thời gian dạng tường minh
Phương trình động lực học của kết cấu có thể được xác định như sau:
int ext
MqCq f f (2.14)
int
f Kq t (2.15)
Trong đó, q t ,q t ,qt là vector chuyển vị, vận tốc và gia tốc; M, K, C lần lượt là ma trận khối lượng, ma trận độ cứng và ma trận giảm chấn; fintlà vector nội lực; fextlà vector ngoại lực. Nội lực phụ thuộc vào phi tuyến vật liệu và phi tuyến hình học, chính vì vậy vector nội lực được cập nhật liên tục sau mỗi bước thời gian giải trong suốt quá trình tính toán theo phương trình chuyển động của hệ kết cấu.
Tuy nhiên, phương pháp tường minh này chỉ ổn định khi giá trị bước thời gian nhỏ hơn giá trị tiêu chuẩn. Giá trị tiêu chuẩn này phụ thuộc vào kích thước nhỏ nhất của phần tử trong mô hình phần tử hữu hạn.
2.4. Phương pháp phần tử hữu hạn Arbitrary Lagrangian-Eulerian (ALE)
Có hai phương pháp mô phỏng bài toán nổ như phương pháp Arbitrary Lagrange Euler - ALE, phương pháp Smooth Particle Hydrodynamics – SPH. Trong một số bài báo có so sánh giữa hai phương pháp cho ra kết quả tương đương, nhưng phương pháp SPH phụ thuộc vào mức độ hạt lớn để có thể tương đương với miền lưu chất. Vì vậy, trong luận văn này sử dụng phương pháp ALE để mô phỏng bài toán nổ trên kết cấu giàn khoan.
Phương pháp ALE là một phương pháp kết hợp từ hai phương pháp cơ bản là phương pháp Lagrangian và phương pháp Eulerian.
Phương pháp Lagrangian chỉ được sử dụng cho việc mô phỏng biến dạng của kết cấu. Lưới chỉ di chuyển trong không gian được định nghĩa là mô hình Lagrangian theo mô hình vật liệu của kết cấu. Chính vì vậy, khi vật liệu bị méo mó, đồng nghĩa với việc lưới Lagrangian bị méo mó. Sự méo mó lớn có thể dẫn đến việc kết quả tính toán sai, bước thời gian bị giảm xuống làm thời gian tính toán kéo dài. Để ngăn chặn việc này lưới cần được tái tạo một cách thủ công để có thể tiếp tục tính toán. Do đó, giới hạn của phương pháp Lagrangian là tính toán các phần tử bị méo mó, biến đổi lớn. Các bài toán về phân tích tương tác kết cấu đột ngột hoặc bài toán nổ cũng không thể sử dụng hoàn toàn phương pháp Lagrangian vì biến dạng lớn của miền lưu chất gây ra bởi sóng nổ.
Hình 2.11. Lưới Lagrange và lưới Euler [9]
Hình 2.13. Vận tốc sóng nổ trong miền Euler[9]
Phương pháp Eulerian chỉ được sử dụng cho việc tính toán lưu chất. Lời giải Eulerian theo thời gian trên một không gian lưới cố định cho phép vật liệu di chuyển xuyên qua các phần tử lưới, tránh trường hợp méo mó như lưới Lagrangian. Phương pháp Eulerian có thể định nghĩa được nhiều loại vật liệu khác nhau và là một lời giải động lực học theo thời gian. Sự hội tụ của lời giải Eulerian được đánh giá qua các thông số phổ biến như áp suất, vận tốc, … Phương pháp Eulerian không gây ra méo mó phần tử nhưng phương pháp này không dùng để phân tích biến dạng của kết cấu trong tương tắc sóng nổ và kết cấu.
Hình 2.15. ALE sau khi biến dạng[9]
Phương pháp ALE là sự kết hợp giữa phương pháp Lagrangian và Eulerian (đã nêu ở trên); Chuyển động Lagrangian được tính toán trên mỗi bước thời gian, lúc đó, lưới không gian Lagrangian và Eulerian đều được tái định hình hoặc tái định hình hình dạng tiếp xúc giữa Lagrangian và Eulerian. Cách tiếp cận này dựa trên sự di chuyển của một miền tham khảo, miền tham khảo này bao gồm miền vật liệu (kết cấu) và miền không gian (lưu chất). Kết hợp việc tính toán động lực học lưu chất cho miền không gian và việc phân tích động lực học kết cấu cho miền vật liệu kèm theo sự tương tác giữa hai miền, điều này sẽ dễ dàng tìm được bề mặt tiếp xúc và di chuyển điều kiện biên một cách chính xác.
Phương pháp ALE là phương pháp tốt để đánh giá đáp ứng của kết cấu dưới tác động của tải trọng nổ trong không khí. Phương pháp này cung cấp khả năng mô hình hóa động lực học lưu chất và phân tích kết cấu một cách hiệu quả nhất bởi vì cung cấp sự chuyển động của lưới Lagrangian một cách chính xác và sự chuyển động của lưới Eulerian trong một nền tảng tương đương.
Phương trình ALE ban đầu
i, ( , )i i, i, i, i i i i i f X t f x t f x t f x t f x t u t t x t x (2.16)