Các thành tố năng lực nhận thức Tốn học của học sinh trong giải bà

bài tập Tứ giác – Hình học 8

Chủ đề tứ giác trong chương trình mơn Tốn ở trường THCS đĩng vai trị quan trọng trong việc hình thành kiến thức tốn. Chủ đề tứ giác ngồi là cơ sở nền mĩng cho việc nghiên cứu đa giác trong hình học phẳng ở trường THCS, cịn hồn thiện về kiến thức tam giác. Đặc biệt nĩ gắn bĩ với thực tế và tạo ra mối liên hệ Tốn học với thực tế đời sống con người. Với các dạng bài tập tứ giác, HS suy luận và tư duy một cách chính xác, tránh được những sai lầm do trực quan gây ra, tạo điều kiện tiếp cận và phát triển nhận thức về kiến thức hình học phẳng với những phương pháp suy luận tổng quát hơn và sâu hơn.

Một số thành tố của năng lực nhận thức Tốn học của HS trong giải bài tập tứ giác như sau:

(1) Năng lực mị mẩm, dự đốn phát hiện vấn đề cần giải quyết trong bài tốn

Ví dụ 1.9: Cho hình chữ nhật ABCD một đường thẳng song song với

đường chéo BD cắt các đường thẳng AC AD CD, , theo thứ tự tại E F G, , . Gọi H là điểm đối xứng của B qua E. Chứng minh HDFG.

HS phát hiện hai đoạn thẳng HD FG, là hai đường chéo của tứ giácDGHF. Để hai đường chéo bằng nhau, tứ giác cĩ thể là hình thang cân hoặc hình chữ nhật. Qua giả thiết và hình vẽ, HS dự đốn tứ giác DGHF là hình chữ nhật.

26

Dựa vào khả năng mị mẩm và dự đốn, HS phát hiện ra phương pháp giải cho bài tốn. Vậy muốn chứng minh HDFG, HS cần chứng minh tứ giác

DGHFlà hình chữ nhật.

Ta cĩ: DOC cân tại O (do OC OD )

1 1

D C

  (tính chất tam giác cân) Mà

1 1

G D

1 1

G C

   ECGcân tại E EGEC (1)

Chứng minh tương tự cũng được ECI cân tại E EI EC (2) Từ (1) và (2) ta cĩ: EI EG EC E là trung điểm IG (3)

Do H đối xứng với B qua E (giả thiết) nên E là trung điểm của BH (4) Từ (3) và (4) ta cĩ BIHG là hình bình hành HG BI Ta cĩ: DFBI HG // DF HG, DFDGHF là hình bình hành Mà 0 90 FDG (kề bù 0 90 ADC ). Nên DGHF là hình chữ nhật HD FG  

(2) Năng lực phân tích tổng hợp suy luận logic để xác định các mối liên hệ trong dạy học giải bài tập

Ví dụ 1.10: (Bài 3 trang 61, Trần Diên Hiển, Bổ trợ nâng cao Tốn 8 Tập 1) Cho ABC cĩ AB AC BC  . Trên tia BC lấy điểm M sao cho BM AB. Trên tia CB lấy N sao cho CNAC. Gọi O là giao điểm của ba đường phân giác của tam giác ABC; OE, OG, OF theo thứ tự là khoảng cách từ O đến BC, AB và

AC. Chứng minh rằng:

a) Tứ giác AGEM, AFENlà hình thang cân. b) OMNlà tam giác cân

Để phát triển năng lực nhận thức HS ta cĩ thể thay đổi bài tốn như sau:

“Cho ABC cĩ AB AC BC  . Gọi O là giao điểm của ba đường phân giác của tam giác ABCcĩ OE, OG, OFlần lượt vuơng gĩc với BC, ABvà AC. Chứng minh rằng:

a) Cĩ nhận xét gì về các tam giác AGF, BGE, CEF?

b) Trên tia BC lấy điểm M sao cho BM AB. Trên tia CB lấy N sao cho CNAC. Cĩ nhận xét gì về các tứ giác AGEM, AFEN?

27

BGE BAM

AGEM là hình thang cân

GAMAME GE // AM BABM 1 0  180 2 BGE ABC GBE  cân tại B

BAMcân tại B

c) So sánh EMvà EN.”

HS thể hiện năng lực phân tích tổng hợp suy luận logic để xác định các mối liên hệ trong dạy học giải bài tập tốn bằng cách sử dụng sơ đồ phân tích đi lên để tìm ra lời giải của bài tốn.

a) b) OMN cân MEEN GA AF AGO AFO    Hình 1.9 BG BE

28

Tổng hợp kết quả phân tích ta cĩ lời giải như sau: a) Vì AB BM (gt) BAM cân tại B

0 1 180 2 B M    (1)

Do  vuông GOB  vuông EOB (cạnh huyền – gĩc nhọn)

GB BE BGE B     cân ở 0 1 180 2 B E    (2) Mặt khác: 1 E và 1 M ở vị trí so le trong (3)

Từ (1), (2), (3) ta cĩ: EG AM // AGEMlà hình thang cân Chứng minh tương tự cĩ AFENlà hình thang cân

b) Chứng minh tương tự ở câu a)

Năng lực phân tích và tổng hợp tiến hành đồng thời là hai mặt của quá trình thống nhất, chúng hỗ trợ tác động lẫn nhau gĩp phần giúp HS phát hiện giải quyết vấn đề trong giải tốn.

(3) Năng lực khái quát hĩa, đặc biệt hĩa mở rộng bài tốn

Ví dụ 1.11: (Bài 75 trang 106 SGK Tốn 8 Tập 1)

Chứng minh rằng các trung điểm của bốn cạnh của một hình chữ nhật là các đỉnh của một hình thoi?

Hình 1.10

Sử dụng năng lực khái quát thay dữ kiện bài tốn trên thành tổng quát hơn. Cho tứ giác ABCD cĩ AC BD . Các điểm E, F, G, H lần lượt là trung

29

Ví dụ 1.12: Cho tứ giác ABCD. Gọi E, F, G, H theo thứ tự là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA. Tứ giác EFGH là hình gì? Vì sao?

Hình 1.11

HE là đường trung bình của tam giác ADB // , 1 (1) 2

HE DB HE DB

 

Ta cĩ: GF là đường trung bình của tam giác CDB // , GF 1 (2) 2

GF DB DB

 

Từ (1), (2) ta cĩ: GF // HE, GFHE. Vậy tứ giác EFGH là hình bình hành Câu hỏi đặt ra: Liệu nếu tứ giác ABCD khơng lồi thì tứ giác EFGH cĩ là hình bình hành khơng?

Tương tự bài tốn trên chứng minh được tứ giác EFGH là hình bình hành. Ta cĩ bài tốn mới: “Cho tam giác ABC, D là điểm nằm trong tam giác. Gọi

E, F, G, H lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA. Chứng minh tứ giác EFGH là hình bình hành.”

Hình 1.12

30

Ví dụ 1.13: Sau khi học xong bài “Hình thoi”, GV cho HS trả lời bài tốn sau và yêu cầu HS giải thích.

Hình 1.13

HS thường khĩ khăn trong nhận dạng, cũng như trong tìm ra mối liên hệ của các loại hình tứ giác. Nên HS hay sai lầm trong bài tốn nhận biết trên và thường khơng đưa ra được lời giải chính xác.

(5) Năng lực xây dựng các quy trình giải tốn và lựa chọn quá trình tối ưu.

Ví dụ 1.14: Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi M là trung điểm của CD và

Nlà một điểm trên đường chéo AC sao cho 0

90

BNM . Gọi F là điểm đối xứng của A qua N. Chứng minh: FBAC.

HS xây dựng quy trình giải tốn bằng cách phân tích theo ba bước và từ đĩ lựa chọn quá trình giải bài tốn tối ưu.

Bước 1: HS đọc kĩ đề bài, phát biểu các định nghĩa về hình chữ nhật, trung điểm của đoạn thẳng, hai đường thẳng vuơng gĩc.

Bước 2: HS xác định giả thiết và kết luận của bài tốn. Dựa vào giả thiết, HS vẽ hình.

Bước 3: HS viết được giả thiết và kết luận.

31

chẳng hạn: dựa vào định nghĩa hai đường thẳng vuơng gĩc, tính chất từ vuơng gĩc đến song song, tính chất ba đường cao của tam giác....

Hình 1.14

Dựa vào dữ kiện đã cĩ, HS phát hiện để giải quyết bài tốn cần chứng minh

BF là đường cao củaBCN.

GV hướng HS nghĩ đến việc tạo ra các yếu tố trung gian bằng cách vẽ thêm điểm phụ I là trung điểm của BF để giải quyết bài tốn trên.

Phân tích bài tốn bằng phương pháp phân tích đi lên như sau:

FBAC

BI là đường cao của BCN CI là đường cao của BCN NICM là hình bình hành

NI là đường trung bình của ABF

I là trung điểm của BF

Dựa vào phân tích, HS trình bày lời giải

32

Ví dụ 1.15: Trong sách giáo khoa Tốn 7, Tập 1, HS đã biết người ta cĩ thể dùng giác kế để đo khoảng cách giữa hai điểm bị ngăn cách bởi một chướng ngại vật.

Ngồi cách dùng giác kế người ta cĩ thể ứng dụng đường trung bình của tam giác để đo khoảng cách giữa hai điểm.

Để đo khoảng cách giữa hai điểm A và B bị ngăn cách bởi một cái hồ (Xem hình 1.15), HS vận dụng tính chất đường trung bình của tam giác khi biết độ dài đường trung bình DE của tam giác ABC.

Hình 1.15

Chúng tơi lựa chọn những thành tố của năng lực nhận thức tốn học trong giải bài tập Tứ giác với việc phát triển năng lực nhận thức tốn học của HS THCS để xây dựng nội dung và cơng cụ khảo sát thực trạng dạy học chủ đề nĩi trên.

1.5 Thực trạng về việc dạy học giải các dạng bài tập Tứ giác trong Hình học 8 tại một số trường THCS ở Thành phố Cà Mau