Biện pháp 5: Tăng cường rèn luyện tri thức phương pháp cho học sinh

sinh giúp họ nâng cao khả năng tự lực giải quyết bài tập, giúp họ tư duy linh hoạt, cĩ khả năng quan sát, nhận xét, đánh giá

2.2.5.1 Mục đích của biện pháp

Phát triển khả năng tự lực giải quyết bài tập, tư duy linh hoạt và khả năng quan sát, nhận xét, đánh giá. Các tri thức phương pháp khi được hình thành lại trở thành điều kiện thuận lợi giúp HS lĩnh hội, kiến tạo tri thức mới.

2.2.5.2 Cách thức thực hiện của biện pháp

Tri thức phương pháp trong dạy học tốn rất đa dạng, phong phú. Tuy nhiên cĩ thể chia thành hai loại cơ bản:

- Những tri thức phương pháp cĩ tính chất thuật tốn. - Những tri thức phương pháp cĩ tính chất tìm đốn.

Để cĩ được tri thức phương pháp phù hợp cho từng dạng bài tập, HS phải nắm vững hệ thống các kiến thức trong chương trình, những ứng dụng cơ bản các kiến thức đĩ. Ở mỗi dạng bài, HS biết cách huy động kiến thức thích hợp, khái quát thành bài tốn tổng quát để cĩ tri thức phương pháp vận dụng giải một lớp các bài tập thuộc dạng đĩ.

Trong giảng dạy giải bài tập tốn, GV cần nắm rõ những tri thức phương pháp trong mỗi dạng bài tập; lựa chọn những bài tập thích hợp để luyện tập giúp HS hiểu sâu, nhớ lâu tiến tới vận dụng nhanh.

2.2.5.3 Ví dụ minh họa

* Dạng 1: Phương pháp chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau

- Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau ứng dụng tính chất đường trung bình của tam giác, của hình thang.

Ví dụ 2.15:(BT 28 trang 80 SGK Tốn 8 Tập 1)

Cho hình thang ABCD AB // CD, E là trung điểm của AD, F là trung điểm của BC. Đường thẳng EF cắt BD, AC tại I, K. Chứng minh rằng: AKKC BI, ID.

Bước 1. Tìm hiểu bài tốn

69

HS: Chứng minh rằng: AKKC BI, ID.

GV: Bài tốn cho biết gì?

HS: Hình thang ABCD (AB // CD), E là trung điểm của AD, F là trung điểm của BC. Đường thẳng EF cắt BD, AC tại I, K.

GV yêu cầu HS lên bảng trình bày giả thiết, kết luận và vẽ hình.

sHình 2.24 Bước 2. Tìm cách giải

GV định hướng HS tìm giải cách nhờ ứng dụng tính chất của đường trung bình của hình thang qua các phân tích về mối liên hệ từ các dữ kiện đã cho và yêu cầu cần chứng minh của bài tốn.

GV: Với dữ kiện đã cho của bài tốn, đoạn thẳng EF cĩ mối liên hệ gì với hình thang ABCD?

HS: EF là đường trung bình của hình thang ABCD.

GV: Áp dụng tính chất của đường trung bình, em cĩ kết luận gì? HS: AB // EF // CD.

GV: Với yêu cầu của bài tốn chứng minh AKKC, tức là cần chứng minh điều gì?

HS: Cần chứng minh K là trung điểm của AC.

GV: Với dữ kiện đã cho và điều cần chứng minh, em hãy cho biết cĩ tính chất nào liên quan khơng?

HS: Tính chất đường trung bình của tam giác. GV: Em hãy nêu cụ thể hơn?

HS: Xét ACD cĩ E là trung điểm của AD, EK // CD nên dẫn tới kết

70

Bước 3. Trình bày lời giải

EF là đường trung bình của hình thang ABCD.

// EF // AB CD  là trung điểm của Do // hay // E AD EF CD EK CD    là trung điểm của . K AC AK CK    Tương tự ta chứng minh: BI ID.

- Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau nhờ ứng dụng tính chất của các dạng tứ giác đặc biệt.

Ví dụ 2.16: Cho hình bình hành ABCD. Gọi E là trung điểm AD, F là trung điểm BC. Chứng minh rằng BEDF.

Bước 1. Tìm hiểu bài tốn

GV: Bài tốn yêu cầu gì?

HS: Chứng minh rằng: BEDF. GV: Bài tốn cho biết gì?

HS: ABCDlà hình bình hành và AEED BF, FC.

GV yêu cầu HS lên bảng trình bày giả thiết, kết luận và vẽ hình.

Hình 2.25 Bước 2. Tìm cách giải

GV định hướng HS tìm cách giải nhờ ứng dụng tính chất của hình bình hành qua các câu hỏi gợi ý:

GV: Em hãy cho biết mối quan hệ giữa hai đoạn thẳng BE và DF? HS: Hai đoạn thẳng EG và FH là hai cạnh đối của tứ giác BEDF.

71

GV: Để chứng minh hai đoạn thẳng EG và FH bằng nhau, ta cần chứng

minh tứ giác BEDFlà hình gì?

HS: Cần chứng minh tứ giác BEDF là hình bình hành. GV: Với dữ kiện đã cho của bài tốn.

GV: Theo em, dựa vào các dữ kiện đã cho để chứng minh tứ giác BEDF là hình bình hành, ta sẽ vận dụng dấu hiệu nào?

Phân tích các dữ kiện đã cho, HS định hướng sử dụng dấu hiệu: “Tứ giác cĩ hai cạnh đối song song và bằng nhau là hình bình hành”. HS phát hiện cần chứng minh BE DF BE, // DF.

Bước 3. Trình bày lời giải

Do ABCD là hình bình hành nên ADBC AD, // BC. Mà , 2 2 BC AD BF DE do đĩ BF = DE và BF // DE. Ta cĩ điều cần chứng minh.

Qua ví dụ minh họa cho ta thấy muốn chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau ta cần chứng minh hai đoạn thẳng đĩ là hai cạnh đối của hình bình hành.

Ví dụ 2.17: (BT 118 trang 72 SBT Tốn 8 Tập 1)

Tứ giác ABCD cĩ AB CD . Gọi E F G H, , , theo thứ tự là trung điểm của BC BD AD AC, , , . Chứng minh rằngEG FH .

Bước 1. Tìm hiểu bài tốn

GV: Bài tốn yêu cầu gì?

HS: Chứng minh rằng: EG FH . GV: Bài tốn cho biết gì?

HS: Tứ giác ABCD cĩ ABCD. Gọi E F G H, , , theo thứ tự là trung điểm của BC BD AD AC, , , .

GV yêu cầu HS lên bảng trình bày giả thiết, kết luận và vẽ hình.

Bước 2. Tìm cách giải

GV định hướng HS tìm cách giải nhờ ứng dụng tính chất của hình chữ nhật qua các câu hỏi gợi ý:

72

GV: Em hãy cho biết mối quan hệ giữa hai đoạn thẳng EG và FH? HS: Hai đoạn thẳng EG và FH là hai đường chéo của tứ giác EFGH.

GV: Để chứng minh hai đường chéo bằng nhau, ta cần chứng minh tứ giác

EFGH là hình gì?

HS: Cần chứng minh tứ giác EFGH là hình chữ nhật.

Hình 2.26 Bước 3. Trình bày lời giải

Ta cĩ E F G H, , , lần lượt là trung điểm các cạnh BC BD AD AC, , , . Nên EF GH, lần lượt là đường trung bình của BCD, ACD.

// cùng // cùng bằng ( ) ( ) 2 EF HG CD CD EF HG        Nên EFGH là hình bình hành (1)

Ta lại cĩ: EG GH, lần lượt là đường trung bình của ABD, ACD.

// , //

FG AB GH CD

 FGGH (do AB CD ) Vậy EFGH là hình chữ nhật nên EG FH .

Qua ví dụ trên, HS sử dụng tính chất hai đường chéo của hình chữ nhật để chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau.

* Dạng 2: Phương pháp chứng minh hai gĩc bằng nhau

Cĩ nhiều phương pháp chứng minh hai gĩc bằng nhau, trong chương I – Tứ giác, chứng minh hai gĩc bằng nhau bằng các phương pháp chủ yếu sau:

73

- Vận dụng tính chất của các tứ giác:

Ví dụ 2.18: Cho hình bình hành ABCD, từ A và C ta lần lượt kẻ đường thẳng vuơng gĩc với đường chéo DB tại H và K. Hãy chứng minh HAKKCH.

Hình 2.27 Bước 1. Tìm hiểu bài tốn

GV: Bài tốn yêu cầu gì?

HS: Chứng minh rằng: HAK  KCH.

GV: Bài tốn cho biết gì?

HS: Hình bình hành ABCD, từ A và C ta lần lượt kẻ đường thẳng vuơng gĩc với đường chéo DB tại H và K.

GV yêu cầu HS lên bảng trình bày giả thiết, kết luận và vẽ hình.

Bước 2. Tìm cách giải

GV định hướng HS tìm cách giải nhờ ứng dụng tính chất của hình chữ nhật qua các câu hỏi gợi ý:

GV: Em hãy cho biết mối quan hệ giữa hai gĩc HAK KCH, ?

HS: Hai gĩc HAK KCH, là hai gĩc đối của tứ giác AHCK.

GV: Để chứng minh hai gĩc đối bằng nhau, ta cần chứng minh tứ giác

AHCK là hình gì?

HS: Cần chứng minh tứ giác AHCK là hình bình hành.

Bước 3. Trình bày lời giải

Do ABCD là hình bình hành nên ABCD ABH, CDK (so le trong).

74

AH CK

  . Mà AH // CK ( cùng vuơng gĩc với BD ). AMCK

 là hình bình hành. HAKKCH

- Vận dụng tính chất bắc cầu: Chứng minh hai gĩc cùng bằng gĩc thứ ba

Ví dụ 2.19: (BT 62 trang 66 SBT Tốn 8 Tập 1) Cho hình thang vuơng 0

( 90 )

ABCD A D . Gọi H là điểm đối xứng với

B qua AD, I là giao điểm của CH và AD. Chứng minh rằng AIBDIC.

Hình 2.28

GV yêu cầu HS lên bảng trình bày giả thiết, kết luận và vẽ hình.

GV gợi ý và định hướng cho HS tìm cách giải từ yêu cầu của bài tốn chứng minh AIB DIC.

Từ định hướng của GV, HS thấy được đây là dạng tốn chứng minh hai gĩc bằng nhau và từ dữ kiện đã cho của bài tốn. HS phát hiện cách giải nhờ áp dụng tính chất bắc cầu, chứng minh hai gĩc này bằng nhau vì cùng bằng AIH.

Qua phân tích tìm cách giải, HS trình bày được cách giải như sau:

Ta cĩ: H đối xứng với B qua AD nên AD là đường trung trực của HB.

cân tại

IH HB IHB I

   

IA

 là đường cao đồng thời cũng là đường phân giác AIBAHI .

Mà AHI  DIC(đối đỉnh). Vậy AIB DIC

*Dạng 3: Phương pháp chứng minh ba điểm thẳng hàng

Cĩ nhiều phương pháp chứng minh ba điểm thẳng hàng, tuy nhiên trong chương tứ giác, chủ yếu ta sử dụng các phương pháp sau:

75

Ví dụ 2.20: (BT 47 trang 93 SGK Tốn 8 Tập 1)

Cho hình bình hành ABCD, từ A và C ta lần lượt kẻ đường thẳng vuơng gĩc với đường chéo DB tại H và K. Gọi O là trung điểm của HK. Chứng minh A, O, C thẳng hàng.

Hình 2.29

GV yêu cầu HS lên bảng trình bày giả thiết, kết luận và vẽ hình.

GV gợi ý và định hướng cho HS tìm cách giải từ yêu cầu của bài tốn chứng minh A O C, , thẳng hàng.

Từ định hướng của GV, HS thấy được đây là dạng tốn chứng minh ba điểm thẳng hàng và từ dữ kiện đã cho của bài tốn. HS phát hiện cách giải chứng minh A O C, , nằm trên đường chéo của tứ giác AKCH.

Qua định hướng và phân tích tìm cách giải, HS trình bày được cách giải. Dễ thấy AKCH là hình bình hành.

Do O là trung điểm của HK nên O là trung điểm của AC. Vậy A O C, , thẳng hàng.

- Vận dụng kiến thức: Ba điểm đĩ dựng được gĩc bằng 1800.

Ví dụ 2.21: (BT 116 trang 72 SBT Tốn 8 Tập 1)

Chứng minh ba điểm C B D, , trên hình vẽ sau thẳng hàng (Xem hình 2.30a)

GV gợi ý và định hướng cho HS để chứng minh C B D, , thẳng hàng, HS cần chứng minh 0

180

CBD .

76

a) b)

Hình 2.30

GV: Đoạn thẳng BO là đường gì trong ABC. Cĩ thể áp dụng tính chất liên quan gì khơng?

HS: ABCcĩ trung tuyến BO bằng nửa cạnh AC nên ABCvuơng tại B.

0 90 CBA   GV: Tương tự ta tìm được 0 90

ABD , vậy ta cĩ tổng số đo hai gĩc CBA và

ABD bằng bao nhiêu? Từ đĩ rút ra kết luận gì?

HS: 0

180

CBA ABD  . Kết luận được C B D, , thẳng hàng. - Vận dụng cách chứng minh hai gĩc bằng nhau.

Hình 2.31

xABxACthì A B C, , thẳng hàng

Ví dụ 2.22: (BT 70 trang 94 - Nâng cao và phát triển tốn 8) Cho hình chữ nhật ABCD cĩ 0

30

BDC . Qua C, dựng đường thẳng vuơng gĩc với BD, cắt BD tại E, cắt đường phân giác của gĩc ADB tại M. Gọi

,

77

Hình 2.32 Bước 1. Tìm hiểu bài tốn

GV: Em hãy nêu rõ giả thiết, kết luận của bài tốn. HS: ghi giả thiết, kết luận của bài tốn.

GV: Đây là dạng tốn chứng minh gì?

HS: Dạng tốn chứng minh ba điểm thẳng hàng.

Bước 2. Tìm cách giải

GV định hướng HS tìm cách giải vận dụng chứng minh hai gĩc bằng nhau. GV:Bài tốn trên thuộc dạng chứng minh ba điểm thẳng hàng. Cĩ rất nhiều cách chứng minh. Theo em, nếu vận dụng chứng minh hai gĩc bằng nhau, ta cần chứng minh gì?

HS: Để chứng minh N K E, , thẳng hàng, ta cần chứng minh MNK MNE

GV: Với dữ kiện đã cho DM là tia phân giác của gĩc ADB, ta áp dụng tính chất nào để chứng minh NME cân.

HS: Dùng tính chất tia phân giác của một gĩc.

GV: Do NME cân, theo em tìm số đo gĩc nào để biết số đo gĩc MNE. HS: Cần tính số đo gĩc NME bằng cách áp dụng tính chất tổng số đo các gĩc trong tứ giác MNDE.

GV: Theo em, tứ giác MADB là tứ giác gì? HS: Tứ giác MADB là hình thang cân. GV: Vận dụng dấu hiệu nào? Nêu rõ?

78

HS: Tứ giác cĩ hai đường chéo AB và DM bằng nhau do cùng bằng CD. GV: Tứ giác MADB là hình thang cân, hãy tìm được số đo của gĩc MNK? HS: Tứ giác MADB là hình thang cân, tính được số đo gĩc MAB suy ra

được số đo gĩc MNK.

GV: So sánh số đo hai gĩc MNK và MNE.

Bước 3. Trình bày lời giải

Do DM là tia phân giác của gĩc ADB và MN AD ME, BD

MN ME

   NME cân

M à 0 0 0 (* )

360 ( ) 120 30

NME  ADEANMDEM   MNEMEN 

Ta cĩ: MDC đều (vì 0

60

MDCMCD )MD CD Nên tứ giác MADB là hình thang cân 0

30 MAB   Do MNAK là hình chữ nhật nên 0 (* * ) 30 MNK MAB Từ (*) và (**) ta cĩ 0 30 MNKMNE . Vậy N K E, , thẳng hàng.

- Chứng minh cĩ hai đường thẳng dựng được từ ba điểm đã cho song song.

Ví dụ 2.23: (BT 35 trang 64 SBT Tốn 8 Tập 1)

Cho hình thang ABCD cĩ đáyAB CD, . Gọi E F I, , theo thứ tự là trung điểm củaAD BC AC, , . Chứng minh rằng E I F, , thẳng hàng.

Hình 2.33 Bước 1. Tìm hiểu bài tốn

GV: Bài tốn yêu cầu gì?

HS: Chứng minh rằng: E I F, , thẳng hàng. GV: Bài tốn cho biết gì?

79

HS: Hình thang ABCD cĩ đáyAB CD, . Gọi E F I, , theo thứ tự là trung điểm củaAD BC AC, , .

GV yêu cầu HS lên bảng trình bày giả thiết, kết luận và vẽ hình.

Bước 2. Tìm cách giải

GV gợi ý và định hướng cho HS phát hiện tìm cách giải.

GV: Dựa vào dữ kiện đã cho để chứng minh E I F, , thẳng hàng, ta cĩ thể áp dụng tiên đề nào đã học?

HS: Tiên đề Ơclit: “Qua một điểm nằm ngồi một đường thẳng ta vẽ được

một và chỉ một đường thẳng song song với đường thẳng đã cho.”

GV: Theo em chúng ta áp dụng tiên đề Ơclit vào bài tốn như thế nào? HS: Chứng minh EI // CD;IF // CD.

Bước 3.Trình bày lời giải

Ta cĩ: EAED IA, IC nên EI là đường trung bình của tam giác ADC.

// (1)

EI CD



Do IAIC FB, FC. Nên IF là đường trung bình của tam giác ABC.

// (2)

IF AB

 . Mà AB // CD (gt)IF // CD (3)

Từ (1), (2), (3) ta cĩ: E I F, , thẳng hàng.

* Dạng 4: Phương pháp dựng hình thang:

Trong chương I – Tứ giác, phương pháp dựng hình thang chủ yếu quy về phương pháp dựng tam giác và dựng các giao điểm (Vận dụng quỹ tích tương giao, thơng thường là giao điểm của đường thẳng và đường trịn).

Ví dụ 2.24: ( BT 34 trang 83 SGK Tốn 8 Tập 1) Dựng hình thang ABCD, biết 0

90

D , đáy CD3cm, cạnh bênAD2cm, cạnh bên BC3cm.

GV định hướng hình thành cách dựng cho HS qua các dữ kiện của bài tốn.