Phương trình Bernoull

b/ Định luật bảo toàn mômen động lượng của hệ chất điểm đối với một trục cố định

4.3. Phương trình Bernoull

Xét một khối chất lưu lý tưởng chuyển động dừng, chứa trong một phần ống dòng, giới hạn bởi các tiết diện S1 và S2. Ký hiệu V1 là vận tốc chất lưu tại

tiết diện S1, p1 là áp suất và h1 là độ cao của tiết diện tại đó. Ký hiệu V2 là vận

tốc chất lưu tại tiết diện S2, p2 là áp suất và h2 là độ cao của tiết diện tại đó.

Chất lưu chuyển theo hướng từ S1 đến S2. Sau một khoảng thời gian t chất lưu chảy và tiết diện S1 chuyển đến S’1, còn S2 chuyển đến S’2.

Theo định luật bảo toàn năng lượng, độ biến thiên năng lượng W2 – W1 cần

phải bằng công của ngoại lực thực hiện khi dịch chuyển chất lưu

W2 – W1 = A

Mặt khác, A là công thực hiện khi dịch chuyển khối chất lưu chứa ở giữa

hai tiết diện S1 và S2. Công này bằng

A = p1S1l1 - p2S2l2

Với l1 và l2 là độ dài dịch chuyển của các tiết diện trong khoảng thời gian

t. Vì các độ dài dịch chuyển này rất nhỏ, nên có thể xấp xỉ

l1 = V1t và l2 = V2t

Còn năng lượng W của chất lưu là tổng của động năng và thế năng

W = ½ mV + mgh Từ đây, ta có

½ mV12 + mgh1 + p1S1V1t = ½ mV22 + mgh2 + p2S2V2t Từ phương trình liên tục của chất lưu, ta có

VTT = S1V1t = S2V2t Chia hai vế biểu thức ở trên cho VTT, ta được

Từ đây ta thu được phương trình Bernoulli ½ V2 + gh + p = const

Trong công thức trên, p được gọi là áp suất tĩnh, ½ V2 được gọi là áp suất động, còn gh được gọi là áp suất thủy tĩnh.

Nếu chất lưu không chảy, ta có

p + gh = const

Đối với một ống dòng nằm ngang (h1 = h2) phương trình có dạng

p + ½ V2 = const