Đây là TCTH phục vụ cho việc hiểu, áp dụng một khái niệm, một tính chất đơn giản, xuất hiện vào thời điểm đưa vào khái niệm, tính chất đó, không xuất hiện vào những thời điểm sau
1.1.3.1. Tổ chức toán học O6: Chỉ ra các mặt đối xứng, tâm đối xứng, trục đối xứng của một đa diện đều
Ví dụ 12 (Bài 1.8/tr 14/BTHH12CB): Cho một khối bát diện đều. Hãy chỉ ra một mặt phẳng đối xứng, một tâm đối xứng và một trục đối xứng của nó.
Lời giải mong đợi
Ta có khối bát diện đều ABCDEF (như hình). Gọi O là giao điểm của EF và (ABCD). Khi đó (ABCD), điểm O và EF lần lượt là mặt phẳng đối xứng, tâm đối xứng và trục đối xứng của khối bát diện đều đã cho.
1.1.3.2. Tổ chức toán học O9: Phân loại khối đa diện đều
T9,1: Chỉ ra số cạnh hoặc số mặt bất kỳ của hình đa diện, hình đa diện đều
HH12CB không trình bày kỹ thuật giải quyết tuy nhiên có đưa ra một số lý thuyết như sau:
Lý thuyết 9: Khối đa diện đều tr15/ HH12CB
HH12CB định nghĩa khối đa diện lồi và khối đa diện đều như sau:“ Khối đa diện (H) được gọi là khối đa diện lồi nếu đoạn thẳng nối hai điểm bất kỳ của (H) luôn thuộc (H). Khi đó đa diện xác định (H) được gọi là đa diện lồi”.
“ Khối đa diện đều là khối đa diện lồi có các tính chất sau: a) Mỗi mặt của nó là một đa giác đều p cạnh.
b) Mỗi đỉnh của nó là đỉnh chung của đúng q mặt.
Khối đa diện đều như vậy được gọi là khối đa diện đều loại {p;q}”
Chỉ có 5 loại khối đa diện đều. Đó là loại {3 ;3}, loại {4 ;3} , loại {3 ;4}, loại {5 ;3} và loại {3 ;5}, theo thứ tự được gọi là khối tứ diện đều, khối lập phương, khối bát diện đều, khối mười hai mặt đều v2 khối hai mươi mặt đều.
Bảng 1.1. Thống kê các kiểu nhiệm vụ có trong HH12CB, BTHH12CB
Kiểu nhiệm vụ Các biến thể HH12
CB BTHH 12CB Tổng Tỉ lệ T1: Phân chia, lắp ghép khối đa diện. 3 3 6 10,8 %
Kiểu nhiệm vụ Các biến thể HH12 CB BTHH 12CB Tổng Tỉ lệ T2: Tính tỉ số 1 1 1,8% T3: Chứng minh một hình là hình đa diện đều.
1 1 1,8%
T4: Tính thể tích khối đa diện
13 14 27 48% T4’: Tính tỉ số hai thể tích 10 4 14 25% T8: Tính khoảng cách từ một điểm A đến một mặt phẳng (P). 2 2 3,6% T5: Tính giá trị lượng giác của góc tạo bởi hai mặt kề nhau của một đa diện đều
1 1 1,8%
T6: Chỉ ra các mặt đối xứng, tâm đối xứng, trục đối xứng của một đa diện đều.
1 1 1,8%
T7: Tính diện tích thiết diện tạo bởi mặt phẳng và khối đa diện.
1 1 1,8%
T9: Phân loại khối đa diện đều
T9,1: Chỉ ra số cạnh hoặc số mặt bất kỳ của hình đa diện, hình đa diện đều.
2
2 3,6%
Nhận xét: Từ bảng thống kê ta thấy rằng, các bài tập trong HH12CB, BT12CB
tập trung ở kiểu nhiệm vụ T4 :Tính thể tích khối đa diện chiếm 76,6%.
1.2. Các tổ chức toán học liên quan đến Khối đa diện trong sách giáo khoa và sách bài tập Hình học 12 nâng cao bài tập Hình học 12 nâng cao
Cũng như HH12CB, quyển sách HH12NC cũng được trình bày theo ba chương : Khối đa diện và thể tích của chúng; Mặt cầu, mặt trụ, mặt nón; Phương pháp toạ độ trong không gian. Mỗi chương trình bày thành nhiều bài, có cả phần bài học và bài tập. Cuối mỗi chương có bài tập ôn gồm phần tự luận và phần trắc nghiệm. Sách
HH12NC cũng dành nhiều trang gần cuối quyển sách để trình bày ngắn gọn đáp án phần tự luận và cả đáp án phần trắc nghiệm (phần này HH12CB không có).
(Để nhất quán,và dễ so sánh, chúng tôi trình bày ở phẩn này như các ký hiệu kiểu nhiệm vụ, các phân loại về TCTH đã trình bày trong HH12CB)
1.2.1. Tổ chức Toán học hỗ trợ
Đây là TCTH mà kiểu nhiệm vụ tương ứng sẽ đóng vai trò kiểu nhiệm vụ con trong tổ chức toán học , khi tiến hành nghiên cứu HH12CB chúng tôi nhận thấy bao gồm có các TCTH sau đây:
1.2.1.1. Tổ chức toán học O1: Phân chia, lắp ghép khối đa diện
Trong T1: Phân chia, lắp ghép khối đa diện
Ví dụ 13 (bài 4/tr7/HH12NC): Hãy phân chia một khối hộp thành năm khối tứ diện
Lời giải
Khối hộp ABCD.A’B’C’D’ được chia thành 5 khối tứ diện C.B’C’D; B.CB’A; A.A’B’D’; D.ACD’; B’.ACD’ bởi (CB’D’), (ACB’), (AB’D’), (ACD’)
Ví dụ 14 (vd 1/tr6/HH12NC)
Cho khối chóp tứ giác S.ABCD. Ta hãy xét hai khối chóp tam giác S.ABC và S.ACD.
Dễ thấy rằng:
1) Hai khối chóp đó không có điểm trong chung, nghĩa là điểm trong của khối chóp này không phải là điểm trong của khối chóp kia.
2) Hợp của hai khối chóp S.ABC và S.ACD chính là khối chóp S.ABCD
Kỹ thuật 1:
+ Kiểm tra lại xem các khối đa diện con vừa mới chia có thể ghép lại thành khối đa diện ban đầu không.
Công nghệ 1: các khối được chia thoả mãn: không có điểm trong chung, nghĩa là điểm trong của khối này không là điểm trong của khối kia. Hợp của các khối được chia thành khối bị chia.
Lý thuyết: Khối đa diện.
1.2.1.2. Tổ chức toán học O2: Tính tỉ số diện tích:
HH12NC không ưu tiên tổ chức toán học này.
1.2.1.3. Tổ chức toán học O3: Chứng minh một hình là hình đa diện đều
HH12NC không thấy xuất hiện kiểu nhiệm vụ T3: Chứng minh một hình là hình đa diện đều
1.2.2. Tổ chức toán học phức hợp
Đây là TCTH mà kiểu nhiệm vụ tương ứng bao gồm nhiều kiểu nhiệm vụ của TCTH
hỗ trợ.
1.2.2.1. Tổ chức toán học O4: Tính thể tích khối đa diện
Trong T4: Tính thể tích khối đa diện
Chúng tôi nhận thấy rằng để giải quyết KNV T4: Tính thể tích khối đa diện, có 3 kỹ thuật được SGK lựa chọn đó là: tính trực tiếp; phải phân chia, lắp ghép; tính nhờ tỷ số. HH12NC ưu tiên việc trình bày kỹ thuật tính trực tiếp.
Ví dụ 15: Tính thể tích của khối tứ diện đều có cạnh bằng a.
Lời giải mong đợi
Xem tứ diện đều ABCD (cạnh bằng a) như là hình chóp có đỉnh là A và đáy là tam giác đều BCD có cạnh bằng a.
Diện tích mặt đáy là: SBCD = √3
4 𝑎2
Gọi H là tâm của tam giác đều BCD thì AH là đường cao của hình chóp A.BCD. Khi đó chiều cao của hình chóp là:
H= AH= √𝐴𝐵2− 𝐵𝐻2 = √𝑎2−𝑎2
3 =a√2
√3
Từ đó suy ra khối tứ diện ABCD có thể tích là: V= 1 3.SBCD.h = 1 3 √3 4 𝑎2𝑎√2 √3 =𝑎 3√2 12
Ví dụ 16 (ví dụ 3/ tr26) : Tính thể tích của khối tám mặt đều có cạnh bằng a.
Lời giải mong đợi
Ta có khối tám mặt đều (H) với các đỉnh là A, B, C, D, E, F. Ta có thể phân chia khối đa diện (H) thành hai khối chóp tứ giác đều A.BCDE và F.BCDE. Vì hai khối chóp đó bằng nhau nên có thể tích bằng nhau, do đó thể tích V của khối (H) bằng hai lần thể tích V1 của khối chóp A.BCDE.
Chú ý rằng BCDE là hình vuông cạnh a với tâm O và tam giác ABD là tam giác vuông cân đỉnh A, ta tính được: V1 = 1
3.SBCDE.AO = 1
3. a2.a.√2
2 = a3√2 6
Từ đó suy ra khối tám mặt đều nói trên có thể tích là: V= 2V1= a3√2 3
Ví dụ 17 (bài 20/tr28): Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a, điểm A’ cách đều ba điểm A, B, C, cạnh bên AA’ tạo với mặt phẳng đáy một góc 600. Tính thể tích của khối lăng trụ đó.
Lời giải mong đợi
Gọi O là tâm của tam giác đều ABC. Vì A’A= A’B= A’C nên A’O⊥(ABC)
Vậy 𝐴′𝐴𝑂̂= 600.
Từ đó ta có: A’O=AO tan 600= AO.√3=𝑎√3
Vậy thể tích cần tìm là: V=SABC.A’O=𝑎2√3
4 .a=𝑎
3√3 4
Từ đây ta có thể rút ra kỹ thuật để giải quyết KNV như sau
Kỹ thuật 4,3:
Bước 1: Tìm và tính chiều cao khối đa diện Bước 2: Tính diện tích đáy B của khối đa diện Bước 3: Tính thể tích khối đa diện
Công nghệ 4,3: V= 1
3.Sđáy.h ; 𝑉 = 𝑆đá𝑦. ℎ; V=abc.
Lý thuyết 4,3: Khái niệm về thể tích khối đa diện(tr23).
Ví dụ 18 (ví dụ 4/ tr27)
Cho khối lăng trụ ABC.A’B’C’. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của hai cạnh AA’ và BB’. Mặt phẳng (MNC’) chia khối lăng trụ đã cho thành hai phần. Tính tỉ số thể tích của hai phần đó.
Lời giải mong đợi: Nếu gọi V là thể tích khối lăng trụ thì thể tích của khối tứ diện C’ABC là 𝑉
3, do đó thể tích của khối chóp C’.ABB’A’ là 2𝑉
3. Vì hai khối chóp C’.ABNM và C’.MNB’A’ có cùng chiều cao và có mặt đáy bằng nhau nên thể tích của khối chóp C’.MNB’A’ là:
V1= 1
2.2𝑉
3 =𝑉
3 , và thể tích khối đa diện ABCMNC’ là: V2 = V- 𝑉
3 =2𝑉
3
Ta có tỉ số thể tích hai phần được phân chia là k= 𝑉1
𝑉2 = 1
2
Kỹ thuật 4’:
Bước 1: Tính thể tích của từng khối đa diện Bước 2: Tính tỉ số
Công nghệ 4’: các công thức tính thể tích, chú ý công thức
𝑉𝑆.𝐴𝐵𝐶
𝑉𝑆.𝐴′𝐵′𝐶′ = 𝑆𝐴
𝑆𝐴′.𝑆𝐵
𝑆𝐵′.𝑆𝐶
Lý thuyết 4’: Thể tích khối đa diện, phép vị tự và sự dồng dạng của các khối đa diện.
1.2.2.2. Tổ chức toán học O5: Tính giá trị lượng giác của góc tạo bởi hai mặt kề nhau của một đa diện đều
Ở BTHH12NC có một biến thể là.
T5’: Tính góc tạo bởi hai mặt phẳng để thể tích khối đa diện là lớn nhất, nhỏ nhất.
Ví dụ 19 (bài 34/ tr10/BTHH12NC): Khối chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân đỉnh C và SA⊥(ABC), SC=a. Hãy tìm góc giữa (SCB) và (ABC) để thể tích khối chóp lớn nhất.
Lời giải mong đợi
Ta có: BC ⊥ AC nên BC ⊥ SC (định lý 3 đường vuông góc), suy ra góc SCA là góc giữa hai mặt phẳng (SCB) và (ABC). Đặt góc SCA=x (0<x<𝜋
2) Khi đó: SA=asinx, AC=acosx. VS.ABC=𝑎𝑠𝑖𝑛𝑥
3 .𝑎2𝑐𝑜𝑠2𝑥
2 = 𝑎3
6.sinx.𝑐𝑜𝑠2x. Xét hàm số y(x)=sinx.cos2x.
Ta có y’(x)=cos3x-2cosx.sin2x=cosx(cos2x-2+2cos2x)=cosx(3cos2x-2) =3cosx(𝑐𝑜𝑠𝑥 − √2 3).(𝑐𝑜𝑠𝑥 + √2 3) Vì 0<x<𝜋 2 nên cosx(𝑐𝑜𝑠𝑥 + √2 3)>0 Gọi 𝛼 là góc sao cho cos𝛼=√2
3; 0<𝛼<𝜋
2
Vậy VS.ABC đạt giá trị lớn nhất khi x=𝛼 với 0<𝛼<𝜋
2 và cos𝛼= √2
3
+ Kỹ thuật 5’:
B1: Xác định góc giữa hai mặt phẳng
B2: Xác định thể tích khối đa diện, xác định hàm số liên quan B3: Lập bảng biến thiên của hàm số.
B4: Kết luận
+ Công nghệ 5’: Cách xác định góc giữa hai mặt phẳng cắt nhau tr106, HH11CB; công thức tính thể tích khối đa diện, khảo sát sự biến thiên của hàm số
+ Lý thuyết 5’: lý thuyết về xác định góc giữa hai mặt phẳng, hệ thức lượng trong tam giác, khảo sát sự biến thiên của hàm số.
1.2.2.3. Tổ chức toán học O7: Tính diện tích thiết diện tạo bởi mặt phẳng và khối đa diện
T7: Tính diện tích thiết diện tạo bởi mặt phẳng và khối đa diện.
Ví dụ 20 (Bài 52/tr12/BHHH12NC): Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ mà đáy là tam giác vuông tại B có AB=a, BC=b, AA’=c (c2≥a2+b2). Một mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc với CA’.
a) Xác định thiết diện của hình lăng trụ khi cắt bởi (P). b) Tính diện tích thiết diện nói trên.
Lời giải mong đợi
a) Trong (AA’C’C) dựng đường thẳng qua A vuông góc CA’ lần lượt cắt CA’ và CC’ tại I và M
Vì AC=√𝑎2+ 𝑏2 ≤ c nên IC ≤ IA’, do đó M phải thuộc đoạn CC’
Bây giờ ta tìm giao điểm N của (P) và BB’. Dễ thấy AN⊥ BC, AN⊥ CA’
Suy ra AN ⊥ A’B. Vậy để tìm N, ta kẻ qua A (trong (A’B’BA) đờng thẳng vuông góc với A’B cắt B’B tại N. Vậy thiết diện là tam giác AMN
b) Ta có: VA’.AMN= VM.AA’N=VM.AA’B=VC.A’AB=1
Mặt khác: VA’.AMN=1
3.SAMN.A’I, suy ra SAMN=3𝑉𝐴′.𝐴𝑀𝑁
𝐴′𝐼 =𝑎𝑏𝑐
2𝐴′𝐼
Xét tam giác vuông A’AC ta có: A’I.A’C=AA’2=c2 suy ra A’I=𝑐
2 𝐴′𝐶= 𝑐 2 √𝑎2+𝑏2+𝑐2; Vậy SAMN=𝑎𝑏√𝑎2+𝑏2+𝑐2 2𝑐 + Kỹ thuật 7:
Bước 1: Xác định thiết diện tạo bởi mặt phẳng và khối đa diện Bước 2: Tính diện tích
+ Công nghệ 7: Cách xác định thiết diện (tr48, HH11NC), công thức tính diện tích.
+ Lý thuyết 7: Thiết diện (hay mặt cắt) của hình (H) khi cắt bởi mặt phẳng (P) là phần chung của (H) và (P), hệ thức lượng trong tam giác
1.2.2.4. Tổ chức toán học O8: Tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
KNV T8: Tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng có biến thể là T8’: Tính khoảng cách hai đường thẳng chéo nhau.
Ví dụ 21 (bài 49/tr11/BTHH12NC): Cho khối lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a.Gọi K là trung điểm của DD’. Tính khoảng cách giữa CK và A’D.
Lời giải mong đợi
Gọi M là trung điểmcủa BB’, ta có A’M//KC nên: d(CK,A’D)=d(CK,(A’MD))=d(K,(A’MD). Đặt d(CK,A’D)=x, ta có VA’.MDK=VK.A’MD=1 3.SA’MD.x (1) Mặt khác VA’.MDK=VM.A’DK=1 3.SA’DK.d(M,(A’DK))=1 3(1 2𝑎.1 2𝑎)a=𝑎3 12 (2) Từ (1), (2) suy ra:SA’MD.x = 𝑎3
4 (3)
Hạ DI ⊥ A’M, suy ra AI ⊥ A’M, suy ra: AI.A’M=AA’.d(M,AA’)=a2, suy ra AI=2𝑎
√5
Suy ra: DI2=DA2+AI2=a2 + 4𝑎2
5 = 9𝑎2 5 ; suy ra DI= 3𝑎 √5 Vậy SA’MD= 1 2.DI.A’M=1 2.3𝑎 √5.𝑎√5 2 =3𝑎 2 4 (4)
Từ (3), (4) ta có x= 𝑎
3
Kỹ thuật 8’:
Bước 1: Tìm mối tương quan giữa khoảng cách giữa hai đờng thẳng ché nhau và khoảng cách h là khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng.
Bước 2: Tìm thể tích của khối đa diện sao cho h là chiều cao của khối đa diện ấy. Bước 3: Tính h
Công nghệ 4-3: công thức tính thể tích khối đa diện.
Lý thuyết 8’: Khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng, khooảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau, khái niệm thể tích khối đa diện.
1.2.3. Tổ chức toán học tức thời
Đây là TCTH phục vụ cho việc hiểu, áp dụng một khái niệm, một tính chất đơn giản, xuất hiện vào thời điểm đưa vào khái niệm, tính chất đó, không xuất hiện vào những thời điểm sau.
1.2.3.1. Tổ chức toán học O6: Chỉ ra các mặt đối xứng, tâm đối xứng, trục đối xứng của một đa diện đều
T6: Chỉ ra các mặt đối xứng, tâm đối xứng, trục đối xứng của một đa diện đều.
Ví dụ 22 (bài 6/tr32/HH12NC): Hình chóp tứ giác đều có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng?
A. Một; B. Hai; C. Ba; D. Bốn
Lời giải: D. Bốn
HH12NC không giới thiệu kỹ thuật giải quyết KNV này. Tham vấn nhiều giáo viên đang dạy lớp 12, chúng tôi rút ra kỹ thuật có thể như sau:
Kỹ thuật 6: Vẽ mặt trung trực của mỗi cạnh. Kiểm tra mặt vừa vẽ có là mặt đối xứng không. Đếm số mặt đối xứng vẽ được.
Công nghệ 6: Khái niệm mặt trung trực của đoạn thẳng. Khái niệm hình có mặt đối xứng. Mặt phẳng đối xứng của một hình. Hai đa diện bằng nhau.
Ngoài ra, kỹ thuật trên còn dựa vào một mệnh đề (không được trình bày trong SGK) mà chúng tôi tạm gọi là điều kiện cần của mặt đối xứng: Mặt đối xứng của lăng trụ đều cũng là mặt trung trực của một cạnh.
Lý thuyết 6: Phép đối xứng qua mặt phẳng và sự bằng nhau của các khối đa diện.
1.2.3.2. Tổ chức toán học O9: Phân loại khối đa diện đều
T9: Phân loại khối đa diện đều
Cũng giống như HH12CB, HH12NC cung cấp khối công nghệ lý thuyết như sau: “ Khối đa diện đều là một khối đa diện lồi có hai tính chất sau đây:
a) Các mặt là những đa giác đều và có cùng số cạnh; b) Mỗi đỉnh là đỉnh chung của cùng một số cạnh
Khối đa diện đều mà mỗi mặt là đa giác đều n cạnh và mỗi đình là đình chung của p cạnh được gọi là khối đa diện đều loại {n;p}.
Tuy nhiên HH12NC không trình bày thành định lý các loại khối đa diện đều thường gặp như HH12CB mà chỉ trình bày thành bảng ở phần đọc thêm.
Loại Tên gọi Số đỉnh Số cạnh Số mặt
{3;3} Khối tứ diện đều 4 6 4
{4;3} Khối lập phương 8 12 6
{3;4} Khối tám mặt đều 6 12 8