Giới thiệu khỏi niệm nhúm đầy đủ

Dóy n biến cố B1, B2, …, Bn lập thành một nhúm đầy đủ cỏc biến cố nếu nú thỏa món cỏc điều kiện sau đõy:

- Hợp của chỳng là biến cố chắc chắn, tức là:

- Cỏc biến cố đú đụi một xung khắc, tức là:

Một số vớ dụ về nhúm đầy đủ:

Vớ dụ 1: Trong 1 thựng thúc chỉ cú 2 loại thúc là thúc đó nảy mầm và thúc chưa nảy mầm. Lấy ngẫu nhiờn 1 hạt thúc trong thựng.

Gọi A là biến cố “Hạt thúc lấy ra là thúc đó nảy mầm”. Gọi B là biến cố “Hạt thúc lấy ra là thúc chưa nảy mầm”. Nhúm cỏc biến cố A, B tạo thành nhúm đầy đủ cỏc biến cố.

Vớ dụ 2: Một người bắn 3 viờn đạn vào biạ Bilà biến cố “Sau 3 lần bắn cú đỳng i viờn trỳng vào bia”, i = 0,1,2,3.

Nhúm cỏc biến cố B1, B2, B3 khụng tạo thành nhúm đầy đủ cỏc biến cố. Nhúm cỏc biến cố B0, B1, B2, B3 tạo thành nhúm đầy đủ cỏc biến cố.

1.5.2. Cụng thức xỏc suất đầy đủ và cụng thức Bayes

Giả sử B1, B2, …, Bn là một nhúm đầy đủ cỏc biến cố. Xột biến cố A sao cho

A xảy ra khi và chỉ khi một trong cỏc biến cố B1, B2, …, Bn xảy rạ Đặt:

Ta cú:

Vỡ cỏc Bi xung khắc từng đụi nờn cỏc ABi cũng xung khắc từng đụi (i = 1,…,n): Cụng thức xỏc suất đầy đủ: Tiếp tục ỏp dụng cụng thức nhõn xỏc suất: 1 n i i B S    , ; , 1, i j B B   i j i j  n 1 n i i B S    1 2 1 2 AS ( ... n) ... n A  A B B  B  AB AB  AB 1 ( ) n ( i) i P A P AB   ( ) n ( | ) ( )i i i P A P A B P B

Thay cụng thức tớnh P(A) ở trờn ta đượccụng thức Bayes:

Cụng thức Bayes(mang tờn Thomas Bayes, 1702-1761, một linh mục đồng thời là người cú những nghiờn cứu về xỏc suất).

Vớ dụ 3:Cú 2 hộp đựng sản phẩm, hộp thứ nhất cú 10 sản phẩm trong đú cú 9 sản phẩm màu trắng và 1 sản phẩm màu đen, hộp thứ 2 cú 20 sản phẩm trong đú cú 18 sản phẩm màu trắng và 2 sản phẩm màu đen. Từ hộp thứ nhất lấy ngẫu nhiờn ra 1 sản phẩm bỏ sang hộp thứ 2. Tỡm xỏc suất để lấy ngẫu nhiờn một sản phẩm từ hộp thứ 2 được sản phẩm màu trắng.

Giải:

Gọi A là biến cố “Sản phẩm lấy từ hộp thứ 2 là sản phẩm màu trắng”. Biến cố A xảy ra đồng thời với một trong hai biến cố sau:

B1: “Sản phẩm bỏ từ hộp 1 sang hộp 2 là sản phẩm màu trắng”. B2: “Sản phẩm bỏ từ hộp 1 sang hộp 2 là sản phẩm màu đen”. Khi đú (B1, B2) tạo thành nhúm biến cố đầy đủ.

Áp dụng cụng thức xỏc suất đầy đủ ta cú:

Vớ dụ 4:Tỷ lệ người dõn nghiện thuốc lỏ là 30%, biết rằng tỷ lệ người viờm phổi trong số người nghiện thuốc lỏ là 60%, cũn tỷ lệ người viờm phổi trong số người khụng hỳt thuốc là 40%.

ạ Chọn ngẫu nhiờn 1 ngườịTớnh xỏc suất để người đú bị viờm phổị

b. Chọn ngẫu nhiờn 1 người, biết rằng người đú viờm phổịTớnh xỏc suất người đú nghiện thuốc lỏ.

Giải:

Gọi A là biến cố “Chọn ra một người bị viờm phổi”.

Gọi B1 là biến cố “Người được chọn ra là người nghiện thuốc”. ( ) ( | ) ( ) ( | ) ( )k ( )k k k P AB P A B P B P B A P A P A   ( | ) ( ) ( | ) ( | ) ( ) k k k n i i i P A B P B P B A P A B P B   1 1 2 2 9 19 1 18 ( ) ( ) ( | ) ( ) ( | ) 0,9 10 21 10 21 P A P B P A B P B P A B   

Nhúm biến cố đầy đủ ở đõy là {B1, B2}. Ta cú: P(B1)=0,3; P(B2)=0,7

P(A|B1)=0,6, P(A|B2)=0,4

a)Áp dụng cụng thức xỏc suất đầy đủ:

P(A) = 0,3.0,6 + 0,7.0,4 = 0,46 b)Áp dụng cụng thức Bayes:

Nhận xột:

Người ta thường ỏp dụng cụng thức xỏc suất đầy đủ khi phộp thử cú nhiều hơn 1 bước thử.

Mấu chốt để giải bài toỏn là phải thành lập được nhúm biến cố đầy đủ, thụng thường người ta lấy nhúm biến cố đầy đủ là cỏc kết quả cú thể cú của bước thứ nhất.

Nhúm biến cố đầy đủ khụng duy nhất, để tớnh xỏc suất của biến cố A cú thể dựa vào nhúm đầy đủ này hoặc nhúm đầy đủ khỏc, miễn là quan hệ giữa A và nhúm đầy đủ phải thỏa món:A xảy ra khi và chỉ khi 1 trong cỏc biến cố của nhúm đầy đủ phải xảy rạ

Khi nào dựng cụng thức xỏc suất đầy đủ và khi nào dựng cụng thức Bayes? Cụng thức xỏc suất đầy đủ giỳp ta tớnh xỏc suất của 1 biến cố A thụng qua 1 nhúm cỏc giả thiết đầy đủ B1, B2, …, Bn. Cụng thức Bayes thỡ ngược lại, giỳp ta tớnh xỏc suất xảy ra của cỏc giả thiết B1, B2, …, Bnkhi biến cố A xảy rạ

í nghĩa của cụng thức Bayes:

-B1, B2, …, Bn thường được gọi là cỏc giả thuyết;

- Cỏc P(B1), P(B2), …, P(Bn) được xỏc định trước khi phộp thử được tiến hành gọi là cỏc xỏc suất tiờn nghiệm;

- Cỏc xỏc suất P(B1|A), P(B2|A), …, P(Bn|A) gọi là cỏc xỏc suất hậu nghiệm (được xỏc định sau khi phộp thử đó tiến hành và biến cố A đó xảy ra).

Cụng thức Bayes cho phộp đỏnh giỏ lại xỏc suất xảy ra cỏc giả thuyết sau khi đó biết kết quả của phộp thử. Vỡ vậy, cụng thức Bayes cũn được gọi là cụng thức xỏc suất hậu nghiệm.

Mụ tả một ỏp dụng bằng sơ đồ chẩn đoỏn bệnh:

Giả sử tại 1 bệnh viện nào đú cỏc bệnh nhõn mắc một trong n bệnh B1, B2, …, Bn.

Ta kớ hiệu A là tập cỏc triệu chứng cú ở bệnh nhõn. Khi đú cỏc xỏc suất

P(B1), P(B2), …, P(Bn) và P(A|B1), P(A|B2), …, P(A|Bn) cú thể được tớnh dựa

1 1 1 ( | ) ( ) 0,3.0,6 ( | ) 0,39 ( ) 0,46 P A B P B P B A P A   

trờn số liệu thống kờ của cỏc năm trước. Cụ thể:

P(Bi) bằng tần suất bệnh Bi trong số những bệnh nhõn của bệnh viện đú.

P(A|Bi) bằng tần suất thấy tập hợp dấu hiệu A ở những bệnh nhõn bị bệnh

Bi ở bệnh viện.

Áp dụng cụng thức Bayes cho ta xỏc suất chuẩn đoỏn bệnh Bi khi thấy cỏc triệu chứng A.

BÀI TẬP

Bài 1: Tại một phũng khỏm bệnh chuyờn khoa, trong số những người đến khỏm cú 80% mắc bệnh. Phũng khỏm dựng một dụng cụ chuyờn dụng để chuẩn đoỏn bệnh. Nếu cú bệnh thỡ thiết bị cho kết quả dương tớnh với xỏc suất 0,8. Nếu khụng cú bệnh thỡ cho kết quả dương tớnh với xỏc suất 0,3.

a) Tớnh xỏc suất để một người đến khỏm bệnh cho kết quả dương tớnh. b) Giả sử một người đến khỏm bệnh và mỏy cho kết quả dương tớnh. Tớnh xỏc suất để người đú cú bệnh; khụng cú bệnh.

Giải:

a) Gọi B1 là biến cố người đến khỏm cú bệnh. B2 là biến cố người đến khỏm khụng cú bệnh. A là biến cố thiết bị cho kết quả dương tớnh.

Khi đú B1, B2 lập thành một hệ đầy đủ cỏc biến cố. Theo giả thiết: P(B1) = 0,8; P(B2) = 0,2; P(A|B1) = 0,8; P(A|B2) = 0,3 Theo cụng thức xỏc suất đầy đủ ta cú:

P(A) = P(A|B1)P(B1) + P(A|B2)P(B2) = 0,8.0,8 + 0,2.0,3 = 0,7 b) Theo cụng thức Bayes: 1 1 1 ( | ) ( ) 0,64 ( | ) 0,91 ( ) 0,7 P A B P A P B A P A    2 2 2 ( | ) ( ) 0,06 ( | ) 0,086 ( ) 0,7 P A B P B P B A P A   

Bài 2: Tiến hành thử phản ứng thuốc trờn 100 người trong đú cú 50 người khỏe và 50 người yếụ Tỷ lệ phản ứng dương tớnh trong số người khỏe là 0,05 cũn trong số người yếu là 0,8. Chọn ngẫu nhiờn một người trong số đú:

a) Tớnh xỏc suất để người đú cú phản ứng dương tớnh.

b) Giả sử người đú cú phản ứng dương tớnh. Tỡm xỏc suất để người đú là người khỏe; người yếụ

sản xuất. Sản phẩm của xớ nghiệp I chiếm 45%, xớ nghiệp II chiếm 55%. Tỷ lệ sản xuất ra phế phẩm của xớ nghiệp I là 2%, xớ nghiệp II là 2,5%. Biết rằng sản phẩm đem kiểm tra là phế phẩm. Khả năng sản phẩm đú do xớ nghiệp nào sản xuất ra nhiều nhất?

Bài 4: Hai nhà mỏy cựng sản xuất một loại sản phẩm. Tỷ lệ phế phẩm của nhà mỏy I là 0,03; của nhà mỏy II là 0,02. Từ một kho gồm 2/3 sản phẩm của nhà mỏy I và 1/3 của nhà mỏy II ta lấy ra một sản phẩm

a) Tớnh xỏc suất để sản phẩm lấy ra đú là tốt

b) Giả sử sản phẩm lấy ra là tốt. Tớnh xỏc suất để sản phẩm đú thuộc ụ I, lụ IỊ

Bài 5: Cú 14 xạ thủ: 5 người bắn trỳng đớch với xỏc suất 0,8, 7 người bắn trỳng đớch với xỏc suất 0,6 và 2 người bắn trỳng đớch với xỏc suất 0,5. Chọn ngẫu nhiờn một người cho bắn một phỏt nhưng khụng trỳng. Người đú cú khả năng thuộc nhúm nào nhất?

Bài 6: Cú 10 hộp bi trong đú cú 4 hộp loại I mỗi hộp chứa 3 bi trắng 5 bi đỏ; 3 hộp loại II mỗi hộp chứa 4 bi trắng và 6 bi đỏ; 3 hộp loại III mỗi hộp chứa 2 bi trắng và 5 bi đỏ.

a) Lấy ngẫu nhiờn một hộp và từ đú lấy ngẫu nhiờn 1 bị Tớnh xỏc suất để được bi đỏ.

b) Lấy ngẫu nhiờn một hộp và từ đú lấy ngẫu nhiờn 1 bi thỡ được bi trắng. Tỡm xỏc suất để bi đú được lấy từ hộp loại I; loại II; loại IIỊ

Bài 7*: Một xạ thủ bắn vào một mục tiờu ba viờn đạn độc lập với nhaụ Xỏc suất trỳng đớch của mỗi viờn đạn là 0,4. Mục tiờu bị phỏ hủy với xỏc suất 0,2 nếu cú 1 viờn trỳng đớch; với xỏc suất 0,5 nếu cú hai viờn trỳng đớch và 0,8 nếu cú ba viờn trỳng đớch. Tỡm xỏc suất để mục tiờu bị phỏ hủỵ

Bài 8: Một lụ hạt giống được thu gom từ ba nguồn khỏc nhaụ Nguồn I chiếm ẵ số hạt của lụ; nguồn II chiếm 1/3 số hạt của lụ; cũn lại là nguồn IIỊ Tỷ lệ hạt nảy mầm đối với cỏc hạt thuộc cỏc nguồn tương ứng là 90%; 80%; 70%.

a)Tớnh tỷ lệ nảy mầm chung của cả lụ hạt giống.

b)Lấy ngẫu nhiờn từ lụ ra một hạt gặp hạt khụng nảy mầm. Thử đoỏn xem hạt đú từ nguồn nàỏ Vỡ saỏ

Bài 9:Cú hai hộp đựng cỏc mẫu hàng xuất khẩụ Hộp thứ nhất đựng 10 mẫu trong đú cú 6 mẫu loại A và 4 mẫu loại B. Hộp thứ hai đựng 10 mẫu trong đú cú 3 mẫu loại A và 7 mẫu loại B.

a)Giả sử xỏc suất lựa chọn cỏc hộp lần lượt là 0,55 và 0,45. Chọn ngẫu nhiờn một hộp và từ đú lấy ngẫu nhiờn một mẫụ Tớnh xỏc suất để mẫu lấy ra là

loại Ạ

b)Chọn ngẫu nhiờn một hộp và từ đú lấy ngẫu nhiờn một mẫu thỡ được mẫu loại Ạ Hỏi mẫu đú cú khả năng thuộc loại nàỏ

Bài 10: Trong một thựng kớn thứ nhất cú 10 viờn bi gồm 8 bi trắng và 2 bi đen; trong thựng kớn thứ hai cú 20 viờn bi trong đú cú 4 trắng và 16 đen. Lấy ngẫu nhiờn từ mỗi thựng một viờn bi và sau đú lại lấy ngẫu nhiờn một trong hai viờn đú. Tớnh xỏc suất để lấy được bi trắng.

TểM TẮT CHƯƠNG I

1. Định nghĩa cổ điển về xỏc suất: Xỏc suất của biến cố A là P(A) = m.

n

Trong đú:

+ m là số trường hợp thuận lợi đối với A;

+ n là số trường hợp đồng khả năng (số cỏc trường hợp cú thể xảy ra). 2. Định nghĩa thống kờ về xỏc suất: ( ) lim (A)n n P A f   , trong đú tỷ số fn(A) k n

 được gọi là tần suất xuất hiện biến cố Ạ

3. “Nguyờn lý xỏc suất nhỏ”: Nếu một biến cố cú xỏc suất rất nhỏ thỡ thực tế cú thể cho rằng biến cố đú sẽ khụng xảy ra trong một lần thực hiện phộp thử.

4. “Nguyờn lý xỏc suất lớn”: Nếu biến cố A cú xỏc suất gần bằng 1 thỡ trờn thực tế cú thể cho rằng biến cố đú sẽ xảy ra trong một phộp thử.

5. Quan hệ của cỏc biến cố:

Lý thuyết tập hợp Lý thuyết xỏc suất

Tập 

- là khụng gian cỏc biến cố sơ cấp (khụng gian mẫu).

- là biến cố chắc chắn. Tập rỗng   là biến cố khụng thể.

A B

x A B nghĩa là x A thỡ x B Biến cố A kộo theo biến cố B.

A B là hợp của hai tập hợp. x A B nghĩa là x A hoặc x B

A B là biến cố ớt nhất một trong hai biến cố A hoặc B xảy rạ

x  A B nghĩa là x A và x B hai biến cố A và B cựng xảy rạ

A B   A B   thỡ A và B là hai biến cố xung khắc.

\

A Blà hiệu của hai tập hợp x A B\ nghĩa là x A và x B

\

A Blà hiệu của hai biến cố: A xảy ra nhưng B khụng xảy rạ

\

A S A A S A \ là biến cố đối của biến cố A, tức là A xảy ra nếu A khụng xảy rạ 6. Cụng thức cộng:

Trường hợp tổng quỏt: (P A B P A P B P AB ) ( ) ( ) ( ). Trường hợp xung khắc: (P A B P A P B ) ( ) ( ).

Nếu B A ta cú: 1P A A(  )P A P A( ) ( ). 7. Cụng thức nhõn:

Xỏc suất của B với điều kiện A đó xảy ra là (A | B) (AB). (B)

P P

P



Cụng thức nhõn trong trường hợp tổng quỏt:

(AB) (A| B)P(B) P(B| A)P(A)

P P 

Nếu A và B độc lập thỡ P(AB)=P(A)P(B).

Nếu A và B độc lập với nhau thỡ A và B, A và B, Avà Bcũng độc lập với nhaụ

8. Cụng thức xỏc suất đầy đủ:

9. Cụng thức Bayes(CT hậu nghiệm):

10. Cụng thức Bernoulli:

Cỏc phộp thử được gọi là dóy phộp thử Bernoulli nếu thỏa món: - Mỗi phộp thử cú hai kết quả: A vàA;

- Xỏc suất P(A) = p khụng đổi cho mọi phộp thử.

i) Xỏc suất để biến cố A xảy ra đỳng k lần trong n phộp thử là: ( ; ) ( ) k k n k; 1 n n n P k p P k C p q   q p ( ) n ( | ) ( )i i i P A P A B P B ( | ) ( ) ( | ) ( | ) ( ) k k k n i i i P A B P B P B A P A B P B  

ii) Xỏc suất để biến cố A xảy ra từ k1 đến k2 lần là:

1 2 1 1 2

( ) ( ) ( 1) .... ( )

n n n n

P k  k k  P k P k   P k

iii) Xỏc suất để biến cố A xảy ra ớt nhất một lần là: (1 ) 1 (0) 1 (1 p)n

n n

P    k n P   

iv) Số lần A xảy ra cú khả năng nhất là số nguyờn k0 thỏa món:

0

(n1)p 1 k (n1)p

Chương 2 BIẾN NGẪU NHIấN 2.1. Khỏi niệm biến ngẫu nhiờn

2.1.1. Khỏi niệm

Khi tiến hành một phộp thử ngẫu nhiờn, cỏc kết quả của phộp thử thường là

cỏc đặc trưng định tớnh (biến cố ngẫu nhiờn). Tuy nhiờn, trong nhiều phộp thử mỗi một kết quả của phộp thử thường được gỏn tương ứng với một giỏ trị định lượng nào đú.

Vớ dụ 1: Gieo một con xỳc xắc cõn đối và đồng chất. Kớ hiệu A1, A2, A3, A4,

A5, A6 lần lượt là biến cố “mặt 1 chấm xuất hiện”, “mặt 2 chấm xuất hiện”...

“mặt 6 chấm xuất hiện”.

Thay vỡ xột cỏc biến cố như trờn, ta xột đại lượng X là số chấm xuất hiện khi gieo con xỳc xắc. Khi đú X cú thể nhận cỏc giỏ trị 1, 2, 3, 4, 5, 6 một cỏch ngẫu nhiờn.

a) Khỏi niệm:Biến ngẫu nhiờn là đại lượng nhận giỏ trị thực tựy thuộc vào kết quả của phộp thử ngẫu nhiờn.

Ta thường dựng cỏc chữ cỏi X, Y, Z,... để kớ hiệu cỏc biến ngẫu nhiờn và cỏc chữ cỏi thường x, y, z hoặc xi, yi, zi,... để chỉ cỏc giỏ trị cụ thể mà biến ngẫu nhiờn đú nhận.

Như vậy, đối với biến ngẫu nhiờn người ta chỉ quan tõm xem nú nhận một giỏ trị nào đú hoặc nhận giỏ trị trong một khoảng nào đú với xỏc suất bằng bao nhiờụ

b) Vớ dụ

hai mặt trờn.

=> X là biến ngẫu nhiờn nhận một trong cỏc giỏ trị: {2,3,4,5,6, ...., 11, 12}.

Vớ dụ 3: Một người bắn vào bia cho tới khi trỳng mục tiờu thỡ dừng. Gọi Y là số viờn đạn cần dựng.

=> Y là biến ngẫu nhiờn nhận cỏc giỏ trị: 1, 2, 3,..., n,...

Vớ dụ 4: Gọi Z là thời gian sống của một con chớp điện tử. => Z là biến ngẫu nhiờn nhận cỏc giỏ trị thực0  Z .

2.1.2. Phõn loại

Người ta phõn cỏc biến ngẫu nhiờn thành hai loại: biến ngẫu nhiờn rời rạc và biến ngẫu nhiờn liờn tục.