Trong thực tế, ta thường nghiờn cứu nhiều biến ngẫu nhiờn đồng thờị Việc phỏt hiện ra cỏc biến cú mối quan hệ với nhau hay khụng là một vấn đề rất quan trọng. Trong bài này, ta sẽ trỡnh bày cỏch thức giải quyết vấn đề trờn với hai dấu hiệu (biến ngẫu nhiờn) cú thể là dấu hiệu định lượng hay định tớnh.
Xột hai dấu hiệu A và B. Dấu hiệu A được chia thành r mức , , … , . Dấu hiệu B được chia thành k mức , , … , .
Dữ liệu điều tra được từ cỏc cỏ thể cho ở bảng sau (bảng liờn hiệp cỏc dấu hiệu): B A … … … … … … … … …
Trong đú, là số cỏ thể mang đồng thời đặc tớnh và .
Bài toỏn đặt ra là hóy kiểm định sự độc lập của hai dấu hiệu trờn với mức ý nghĩa cho trước .
Giải:
Đầu tiờn, ta lập bảng tớnh sau đõy:
B A … Tổng … … … … … … … Tổng … n
Trong bảng này, là tổng hàng ị Đõy chớnh là tổng số cỏ thể mang đặc tớnh trong mẫụ là tổng cột ị Đõy là tổng số cỏ thể mang đặc tớnh
. Tổng hàng hoặc cột cuối cựng là cỡ mẫu n.
Nếu A và B là hai dấu hiệu độc lập với nhau thỡ:
= ( ) , ∀ ,
Ta chưa biết cỏc xỏc suất này nhưng ta sẽ ước lượng chỳng từ mẫụ Tần suất xuất hiện là ước lượng cho xỏc suất xuất hiện : = . Tần suất xuất hiện là ước lượng cho xỏc suất xuất hiện : = . Giả sử A và B độc lập thỡ xỏc suất bắt gặp một cỏ thể mang đồng thời đặc tớnh và được ươc lượng là:
Và do đú tần số cỏ thể mang đặc tớnh tớnh và là:
= . = .
Như vậy, nếu A và B độc lập thỡ số cỏc thể mang đồng thời đặc tớnh và được ước lượng là . Tuy nhiờn, thực tế chỉ quan sỏt được số cỏ thể này là . Một cỏch hỡnh thức ta sẽ tỡm một tiờu chuẩn để so sỏnh hai tần số này và dựa trờn nú để đưa ra quyết định.
Tiờu chuẩn kiểm định:
= −
,
Người ta chứng minh được rằng nếu A và B độc lập thỡ cú phõn phối khi bỡnh phương với ( − 1)( − 1) bậc tự dọ
Do đú, ta bỏc bỏ giả thuyết nếu > ( − 1)( − 1) .
Vớ dụ 1:Nghiờn cứu ảnh hưởng của thành phần thức ăn của mẹ (X) đối với giới tớnh của trẻ (Y) ta cú kết quả sau:
X
Y Thiếu vitamin Đủ vitamin
Trai 111 145
Gỏi 125 78
Với mức ý nghĩa 5%, cú thể núi rằng thành phần thức ăn độc lập với giới tớnh khụng.
Giải:
Cỏc tớnh toỏn trong bảng sau:
X
Y Thiếu vitamin Đủ vitamin Tổng
Trai 111 (131,6) 145 (124,4) 256 Gỏi 125 (104,4) 78 (98,7) 203
Tổng 236 223 459
Tiờu chuẩn kiểm định:
= (111 − 131,6) 131,6 + (145 − 124,4) 124,4 + (125 − 104,4) 104,4 + (78 − 98,7) 98,7 =10,79
Tra bảng phõn phối khi bỡnh phương 1 bậc tự do, ta cú (0,05) = 3.84. Như vậy, = 10.79 > , (1) nờn ta bỏc bỏ giả thuyết, tức là cú vẻ như chế độ ăn cú ảnh hưởng tới giới tớnh của trẻ.
BÀI TẬP
Bài 1: Một vườn ươm cõy con phi lao cú chiều cao trung bỡnh chưa xỏc định. Theo hợp đồng ký kết giữa người sản xuất cõy con và lõm trường: Chỉ khi nào chiều cao trung bỡnh cõy con đạt được trờn 1m mới đem trồng. Qua điều tra 25 cõy thỡ chiều cao trung bỡnh thu được là 1,1m.
Hỏi vườn cõy con đú đó đem trồng được chưả Biết rằng sự biến động chiều cao cõy con trong giai đoạn vườn ươm là = 0,1 m và luật phõn bố chiều cao cú dạng chuẩn.
Bài 2: Đo chiều cao của 38 sinh viờn được chon ngẫu nhiờn từ một trường đại học. Số liệu thu được cho ở bảng sau:
Chiều cao (m) 1,45 1,55 1,57 1,60 1,65 1,70 1,75
Số sinh viờn 3 6 5 11 7 4 2
Giả sử, chiều cao của sinh viờn là biến ngẫu nhiờn cú phõn phối chuẩn. a) Cho biết phương sai là = 0,25, với mức ý nghĩa 5%, cú thể núi rằng chiều cao trung bỡnh của sinh viờn lớn hơn 1,60 m được khụng?
b) Với mức ý nghĩa 10%, cú thể khẳng định chiều cao trung bỡnh của sinh viờn lớn hơn 1,55m được khụng?
Bài 3: Năng suất trung bỡnh của 25 mảnh ruộng trồng lỳa A là 6,0 tấn/hạ Với mức 5%, cú thể khẳng định được năng suất trung bỡnh của loại lỳa A này là 6,5 tấn/ha được khụng? Giả sử năng suất lỳa cú phõn phối chuẩn.
Bài 4: Một mẫu cú kớch thước n = 25 được rỳt ra từ một tổng thể cú phõn phối chuẩn với phương sai là 64. Với mức ý nghĩa 5% hóy kiểm định giả thiết trung bỡnh tổng thể là 52. Biết rằng trung bỡnh mẫu tỡm được là 55,4.
Bài 5:Một cụng ty khẳng định rằng tỉ lệ sản phẩm đạt tiờu chuẩn là 98%. Tuy nhiờn, khi kiểm tra 250 sản phẩm của cụng ty này thỡ thấy rằng cú 33 sản phẩm khụng đạt tiờu chuẩn. Với mức ý nghĩa 5%, tuyờn bố của cụng ty trờn cú đỏng tin khụng?
Bài 6:Tiến hành 100 phộp thửmột cỏch độc lập và thấy rằng cú 14 lần xuất hiện biến cố Ạ Gọi p là xỏc suất xuất hiện biến cố Ạ Hóy giải cỏc bài toỏn kiểm định giả thiết sau với mức ý nghĩa 5%.
a) 0 1 : 0,2 : 0,2 H p H p b) 0 1 : 0,2 : 0,2 H p H p
Bài 7:Một kho hạt giống cú tỷ lệ nảy mầm xỏc định là p = 0,9. Ngẫu nhiờn thiết bị bị hỏng làm thay đổi điều kiện bờn trong của khọ Tỷ lệ nảy mầm của hạt giống cũn giữ nguyờn khụng?Biết rằng khi kiểm tra 200 hạt giống thỡ cú 140 hạt nảy mầm, với 10%.
Bài 8:Trong một đàn gia sỳc kiểm tra 805 con cú 80 con mắc bệnh Ạ Trong một đàn khỏc kiểm tra 2756 con cú 357 con mắc bệnh Ạ Cú thể coi tỷ lệ mắc bệnh ở cả hai đàn là như nhau khụng? Với mức ý nghĩa 5%.
Bài 9: Một lõm trường thớ nghiệm nghiờn cứu sinh trưởng về chiều cao của lim trồng dưới tỏn và trồng thuần loài kết quả như sau:
Quan sỏt 100 cõy lim trồng dưới tỏn cú chiều cao bỡnh quõn là 4,73m và sai tiờu chuẩn là 0,786m
Quan sỏt 100 cõy lim trồng thuần loài cú chiều cao bỡnh quõn là 4,43m và sai tiờu chuẩn là 0,866m.
Hỏi lim trồng theo 2 phương phỏp trờn cú khỏc nhau cơ bản về sinh trưởng chiều cao hay khụng? Với mức ý nghĩa 5%.
Bài 10: Trong một khu rừng người ta dự định phõn thành hai khốị Giả sử rằng phõn bố trữ lượng gỗ trờn cỏc ụ cú tớnh ngẫu nhiờn và luật phõn bố của nú cú dạng chuẩn. Ở khối thứ nhất người ta điều tra 36 ụ, trữ lượng gỗ bỡnh quõn là 12,04m3, sai tiờu chuẩn là 7,7m3. Ở khối thứ hai quan sỏt 36 ụ, trữ lượng gỗ bỡnh quõn là 17m3, sai tiờu chuẩn là 7,36 m3. Hóy so sỏnh trữ lượng gỗ trung bỡnh trờn 2 khối cú bằng nhau hay khụng? Với mức ý nghĩa 5%
Bài 11:Kiểm tra hàm lượng nicotin trong hai loại thuốc lỏ A và B ở một bao thuốc, kết quả như sau: loại A: 24; 21;26;27;20;22; 28 và loại B: 22;25;21;21;20. (Đơn vị miligam). Với mức ý nghĩa 5%, cú thể khẳng định hàm lượng nicotin trong hai loại thuốc trờn là như nhau hay khụng? Giả sử, hàm lượng nicotin cú phõn phối chuẩn.
Bài 12:Lấy hai mẫu độc lập từ hai tổng thể X và Y cú phõn phối chuẩn ta được: = 12; = 31,2; = 0,84
= 18; = 29,2; = 0,4
a) Với mức 5%, hóy kiểm định sự bằng nhau giữa phương sai của biến X và Ỵ
b) Với mức 10%, cú thể khẳng định giỏ trị trung bỡnh của biến X và Y là bằng nhau được khụng?
Bài 13: Để đỏnh giỏ một phương phỏp điều trị mới, người ta điều trị 46 người theo phương phỏp mới thấy khỏi 38 người, điều trị 47 người theo phương phỏp cũ thấy khỏi 33 ngườị Cú thể coi phương phỏp mới đó cú tỏc dụng rừ rệt khụng? 5%.
Bài 14:Cho 2 mẫu độc lập: Mẫu 1: xi 3,4 3,5 3,7 3,9 ni 2 3 4 1 Mẫu 2: yi 3,2 3,4 3,6 ni 2 2 8
Với mức ý nghĩa 5%, kiểm định giả thiết H0: E(X) = E(Y) và đối thiết H1:
EX EY .
Bài 15:Hai phương phỏp phõn tớch hàm lượng mựn trong đất cho kết quả sau: Phương phỏp 1: 27,5 27 27,3 27,6 27,8
Phương phỏp 2: 27,9 27,2 26,5 26,3 27 27,4 27,3 26,8 Hai phương phỏp đú cú cựng độ chớnh xỏc khụng? Với 1%
Bài 16: Hai mỏy cựng gia cụng một loại chi tiết. Người ta muốn kiểm tra xem 2 mỏy này cú độ chớnh xỏc như nhau hay khụng? Để làm điểu đú người ta lấy ngẫu nhiờn từ mỗi mỏy 7chi tiết đem đo và thu được kết quả sau:
Mỏy A: 135 138 136 140 138 135 139 Mỏy B: 140 135 140 138 135 138 140
Với mức ý nghĩa 5% cú thể cho rằng hai mỏy cú độ chớnh xỏc như nhau hay khụng? Biết kớch thước chi tiết cú phõn phối chuẩn.
Bài 17:Số liệu điều tra về ảnh hưởng của hoàn cảnh kinh tế gia đỡnh đối với chỉ số thụng minh của trẻ được cho ở bảng saụ Chỉ số thụng minh được chia thành 3 mức:
≤ < ≤ 130 > 130
Giàu 57 123 138
Nghốo 65 98 76
Với mức 5%, cú thể khẳng định hoàn cảnh kinh tế của gia đỡnh trẻ cú ảnh hưởng tới chỉ số thụng minh của trẻ em hay khụng?
Bài 18: Quan sỏt một mẫu 3200 người về màu mắt và màu túc ta được kết quả sau:
Vàng Nõu Đen Hung
Xanh lam 872 380 90 22
Xanh nõu 500 815 488 33
Cú thể coi màu mắt và màu túc là cỏc đặc tớnh độc lập hay khụng? Lấy
5%
Chương 6
SƠ LƯỢC VỀ Lí THUYẾT TƯƠNG QUANVÀ HỒI QUY TUYẾN TÍNH