5.4.1.So sỏnh hai giỏ trị trung bỡnh
Trong thực tế, ta thường xuyờn phải so sỏnh hai hay nhiều đại lượng với nhaụ Trong thống kờ, ta cũng cú cỏc cụng cụ giỳp giải quyết vấn đề này dựa trờn những bằng chứng thu được về cỏc đại lượng quan tõm.
Bài này sẽ so sỏnh giỏ trị trung bỡnh của hai biến ngẫu nhiờn dựa trờn hai mẫu độc lập và hai biến được giả thiết là cú phõn phối chuẩn hoặc cỡ mẫu lớn.
Cho X và Y là hai biến ngẫu nhiờn, ( , , … , )và ( , , … , ) là hai mẫu về X và Ỵ
Bài toỏn đặt ra như sau: Với mức ý nghĩa cho trước, kiểm định giả thuyết sau: Bài toỏn 1: Giả thuyết : = / đối thuyết : ≠ .
Bài toỏn 2: Giả thuyết : = / đối thuyết : > . Bài toỏn 3: Giả thuyết : = / đối thuyết : < . Ta giải ba bài toỏn trờn trong cỏc trường hợp sau:
Trường hợp 1: Cỏc biến được giả thiết cú phõn phối chuẩn và phương sai đó biết, tức là ~ ( ; ) và ~ ( ; ) với ; đó biết.
Lời giải bài toỏn 1:
Tiờu chuẩn kiểm định:
= −
+
Nếu giả thuyết đỳng thỡ tiờu chuẩn U cú phõn phối chuẩn tắc. Với mức ý nghĩa cho trước, ta tỡm số / thỏa món:
| | > / =
Vỡ ~ (0,1) nờn tra bảng phõn phối chuẩn tắc tại mức 1 − /2, ta tỡm được giỏ trị nàỵ Do vậy, miền bỏc bỏ giả thuyết của bài toỏn là:
= | | > /
Dựa vào mẫu, tớnh , và tiờu chuẩn U:
= −
So sỏnh | | với / .
Kết luận:Nếu | | > / ta bỏc bỏ giả thuyết . Ngược lại, ta chấp nhận giả thuyết đặt rạ
Một cỏch tượng tự, miền bỏc bỏ giả thuyết của Bài toỏn 2 và Bài toỏn 3 lần lượt là:
= { > ( )} = { < − ( )}
Trường hợp 2: Cỏc biến được giả thiết cú phõn phối chuẩn và phương sai chưa biết, cỡ mẫu nhỏ, tức là ~ ( ; ) và ~ ( ; ) với ; chưa biết và n<30 hoặc m<30.
a)Mặc dự ; chưa biết nhưng ta giả thiết chỳng bằng nhaụTa vẫn xột ba bài toỏn kiểm định giả thuyết đó nờu
Lời giải bài toỏn 1:
Ta ước lượng phương sai chung:
= ( − 1) + ( − 1)
+ − 2
Tiờu chuẩn kiểm định:
= −
+
Giả sử, giả thuyết đỳng, người ta chứng minh được rằng tiờu chuẩn T cú phõn phối Student với + − 2 bậc tự dọ
Với mức ý nghĩa cho trước, ta tỡm số ( + − 2) thỏa món:
| | > ( + − 2) =
Vỡ tiờu chuẩn T cú phõn phối chuẩn tắc nờn ( + − 2) là phõn vị mức của phõn phối Student với + − 2 bậc tự dọ Miền bỏc bỏ giả thuyết của bài toỏn là:
= | | > ( + − 2)
- So sỏnh | | với ( + − 2).
- Kết luận: Nếu | | > ( + − 2)ta bỏc bỏ giả thuyết. Ngược lại, ta chấp nhận nú.
Một cỏch tương tự, miền bỏc bỏ giả thuyết của Bài toỏn 2 và Bài toỏn 3 lần lượt là:
= { > ( + − 2)} = { < − ( + − 2)}
Trong đú, ( + − 2) được tra ở bảng phõn phối Student với + − 2 bậc tự do mức .
ạ Phương sai của hai biến khỏc nhau, tức là ≠ (đọc thờm)
Ta vẫn xột ba bài toỏn kiểm định đó nờụ - Tiờu chuẩn kiểm định:
= −
+
Khi giả thuyết đỳng, tiờu chuẩn T cú phõn phối xấp xỉ Student với bậc tự do được ước lượng là phần nguyờn của:
+ +
Dựa vào phõn phối này, ta sẽ đưa ra được miền bỏc bỏ giả thuyết.
Trường hợp 3: Phương sai của biến chưa biết và mẫu cú kớch thước lớn
( > 30; > 30), trong trường hợp này cú thể bỏ qua tớnh chuẩn của biến. Đối với trường hợp này, ta tỡm ước lượng khụng chệch cho phương sai của biến X và cho phương sai của biến Ỵ Sau đú, thay bằng và bằng và giải cỏc bài toàn kiểm định giả thuyết như trường hợp 1.
Vớ dụ 1:Khảo sỏt chiều cao của 28 cõy keo và 29 cõy Lỏt Hoa giống được ươm trồng với cỏc điều kiện khỏ giống nhau, ta được kết quả: Chiều cao trung bỡnh và phương sai mẫu của cỏc cõy keo và cõy Lỏt Hoa lần lượt là 0,75m với phương sai 0,25 và 0,5m với phương sai 0,2. Với mức ý nghĩa 5%, cú thể núi rằng chiều cao của cõy keo lớn hơn cõy Lỏt Hoa khụng? Giả thiết, chiều cao cõy cú phõn phối chuẩn.
Giải:
Gọi X và Y lần lượt là chiều cao của cõy Keo và cõy Lỏt Hoạ
Theo giả thiết: ~ ( ; ) và ~ ( ; ) với ; chưa biết. Ta cú: = 0,75; = 0,25; = 0,5; = 0,2; = 28; = 29.
Bài toỏn đặt ra:
: =
: > ( = 5%)
Phương sai chung:
=( − 1) + ( − 1)
+ − 2 =
27.0,25 + 28.0,2
27 + 28 = 0,22 Tiờu chuẩn kiểm định:
= −
+ =
0,75 − 0,5
0,47.0,26 = 2,08
Tra bảng phõn phối Student 55 bậc tự do mức 5%, ta cú . (55) = 2,00.
Như vậy, T=2,08> . (55) nờn ta bỏc bỏ giả thuyết, nghĩa là chiều cao của cõy keo là lớn hơn.