Cho X là biến ngẫu nhiờn và( , , … , )là mẫu ngẫu nhiờn thu được về biến X.
Bài toỏn kiểm định: Với mức cho trước, kiểm định cỏc giả thuyết sau:
Bài toỏn 1: Giả thuyết : = / Đối thuyết : ≠ .
Bài toỏn 2: Giả thuyết : = / Đối thuyết : > .
Bài toỏn 3: Giả thuyết : = / Đối thuyết : < .
Bài toỏn 1 được gọi là bài toỏn kiểm định hai phớa, bài toỏn 2 và bài toỏn 3 được gọi là bài toỏn kiểm định một phớạ
Ta giải cỏc bài toỏn trờn trong ba trường hợp sau:
Trường hợp 1: ~ ( , ) và đó biết, là tham số chưa biết.
Lời giải bài toỏn 1:
: =
: ≠ ( )
Tiờu chuẩn kiểm định: = √
Giả sử, đỳng, tức là = .Người ta chứng minh được rằng tiờu chuẩn T cú phõn phối chuẩn tắc.
Ta cú:
| | > / = ⟺ 1 − | | < / = ⟺ − / < < /
= 1 −
Vỡ tiờu chuẩn U cú phõn phối chuẩn tắc nờn:
− / < < / = Φ / − Φ − / = 2Φ / − 1 = 1 −
Do đú, ta cú Φ / = 1 − . Từ đõy, tra bảng phõn phối chuẩn tắc ta sẽ tỡm được giỏ trị cụ thể của / .
Đặt = | | > / . Đõy chớnh là miền cú xỏc suất nhỏ hơn hoặc bằng . Như vậy, với việc xỏc định được phõn phối của U và mức ý nghĩa cho trước, ta luụn xỏc định được miền tiờu chuẩn hay bỏc bỏ giả thuyết.
Từ mẫu ngẫu nhiờn thu được về biến X, tớnh giỏ trị của tiờu chuẩn Ụ Sau đú, ta so sỏnh | | với / .
Kết luận:Nếu | | > / thỡ ta bỏc bỏ giả thuyết.Ngược lại, ta chấp nhận giả thuyết.
Vớ dụ 1: Một người khẳng định năng suất trung bỡnh của giống lỳa A là 6,0 tấn/hạ Tuy nhiờn, khi trồng loại lỳa này trờn 100 thửa ruộng thỡ thấy rằngnăng suất trung bỡnh 6,5tấn/hạ Giả sử, năng suất lỳaA cú phõn phối chuẩn với phương sai là 4. Với mức ý nghĩa 5%, khẳng định đưa ra cú đỏng tin khụng?
Giải:
Gọi X là năng suất của lỳa Ạ Theo giả thiết, ~ ( , 4).
Bài toỏn đặt ra: với mức ý nghĩa = 5%, kiểm định giả thuyết:
: = 6,0 : ≠ 6,0
Với = 5%, tra ngược bảng phõn phối chuẩn tắc tại mức 0,975 ta tỡm được giỏ trị / = 1,96.
Từ mẫu và giả thiết, ta cú = 6,5; = 4. Do đú, giỏ trị của tiờu chuẩn kiểm định là:
= − √ =6,5 − 6,02 √100 = 2,5
Ta cú | | = 2,5 > 1,96. Như vậy, mẫu điều tra được rơi vào miền bỏc bỏ giả thuyết. Kết luận đưa ra là bỏc bỏ giả thuyết, tức là năng suất trung bỡnh của lỳa A khỏc 6,0 tấn/ha hay khẳng định đưa ra chưa hợp lớ.
Lời giải bài toỏn 2:
Với cỏch làm hoàn toàn tương tự, bài toỏn 2 được giải như sau: Tiờu chuẩn kiểm định:
= − √
Với mức cho trước, ta tỡm một số ( ) thỏa món: ( > ) = .
Nếu giả thuyết đỳng người ta chứng minh được tiờu chuẩn U cú phõn phối chuẩn tắc. Do đú, ta cú:
( > ) = 1 − ( < ) = 1 − Φ( )
Mặt khỏc, ( > ) = = 1 − Φ( ). Tra bảng phõn phối chuẩn tắc ta nhận được giỏ trị của .
Đặt = { > } đõy chớnh là miền bỏc bỏ giả thuyết của bài toỏn 2. Từ mẫu quan sỏt được, tớnh giỏ trị của tiờu chuẩn Ụ
Kết luận: Nếu giỏ trị của tiờu chuẩn U rơi vào miền ta sẽ bỏc bỏ . Nếu ngược lại, ta chấp nhận nú.
Vớ dụ 2: Tiờu chuẩn khai thỏc gỗ keo Tai Tượng của một nhà mỏy là đường kớnh 1m30 phải từ 30cm trở lờn. Tại một lõm trường trồng loại keo này, khi đo đường kớnh 1m30 của 50 cõy thỡ đường kớnh trung bỡnh là 32cm. Giả sử, đường kớnh cú phõn phối chuẩn với phương sai là 25cm. Loại keo của lõm trường này đó đạt tiờu chuẩn khai thỏc chưa, với mức 10%?
Giải:
Gọi X là đường kớnh cõy keọ Ta cú ~ ( , 25). Bài toỏn đặt ra:
: = 30
: > 30 ( = 10%)
Tiờu chuẩn kiểm định:
= − √
Với = 10%, ta cú = 1,65.
Với mẫu thu được, giỏ trị của tiờu chuẩn kiểm định là:
Kết luận:
Vỡ = 2,82 > 1,65 nờn ta bỏc bỏ giả thuyết, tức là đường kớnh trung bỡnh của cõy keo Tai Tượng tại lõm trường được khảo sỏt lớn hơn 30 cm.
Bài toỏn 3 được giải quyết tương tự như Bài toỏn 1 và Bài toỏn 2 với cựng tiờu chuẩn kiểm định.
Miền bỏc bỏ giả thuyết được xỏc định như sau: Ta tỡm số thỏa món
( < − ) = . Dựa vào phõn phối chuẩn tắc của tiờu chuẩn kiểm định miền bỏc bỏ giả thuyết là:
= {( , , … , ): < − }
Trong đú, được tra từ bảng phõn phối chuẩn tắc với mức 1 − .
Trường hợp 2: ~ ( , ), là tham số cần kiểm định và chưa biết, cỡ mẫu nhỏ (n<30).
Ta vẫn xột ba bài toỏn kiểm định giả thuyết: Bài toỏn 1; Bài toỏn 2 và Bài toỏn 3 với cựng mức .
Lời giải bài toỏn 1:
Ta phỏt biểu lại bài toỏn 1:
: =
: ≠ ( )
Tiờu chuẩn kiểm định được sử dụng:
= − √ ℎ = − √ − 1
Trong đú, là ước lượng khụng chệch, vững và hiệu quả cho ; là phương sai mẫụ
Ta chứng minh được rằng khi đỳng thỡ tiờu chuẩn T cú phõn phối Student với bậc tự do là n-1. Do vậy, miền bỏc bỏ giả thuyết được tỡm như sau:
Với cho trước, ta tỡm số ( − 1) thỏa món | | > ( − 1) = . Vỡ T cú phõn phối Student với n-1 bậc tự do nờn ( − 1) chớnh là phõn vị mức
của phõn phối nàỵ Vậy miền bỏc bỏ là:
Trong đú, ( − 1) được tra ở bảng phõn phối Student n-1 bậc tự do và mức .
Từ mẫu quan sỏt được, tớnh , hoặc và giỏ trị của tiờu chuẩn T:
= − √ ℎ = − √ − 1
- So sỏnh | | với ( − 1).
- Kết luận:Nếu | | > ( − 1) thỡ ta bỏc bỏ giả thuyết, ngược lại ta tạm thời chấp nhận giả thuyết đặt rạ
Vớ dụ 3:Nhiệt độ thỏng 6 đo được tại một địa phương ở nhiều điểm quan trắc khỏc nhau là: 25; 26; 28; 34; 37; 39; 34; 30; 26; 36; 38; 39 và 35 (thang đo độ C). Giả sử, nhiệt độ là biến cú phõn phối chuẩn. Với mức 5% cú thể khẳng định rằng nhiệt độ trung bỡnh trờn địa phương này vào thỏng 6 là 350C khụng?
Giải:
Gọi X là nhiệt độ tại địa phương đú. Ta cú ~ ( , ). Bài toỏn đặt ra:
: = 35
: ≠ 35 ( = 5%)
Từ mẫu ta tớnh được: = 32,9; = 27,4; = 13
Và = √ = , , √13 = −2,09
Tra bảng phõn phối Student bậc tự do 12 mức 2,5% Ta được , (12) = 2,17.
Vậy | | = 2,09 < 2,17.
Ta chấp nhận giả thuyết, tức là, cú thể coi nhiệt độ trung bỡnh vào thỏng 6 tại địa phương này là 350C. Ở vớ dụ này, ta thấy rằng mặc dự trung bỡnh mẫu và giả thuyết chờch lệch khỏ lớn 2,10C nhưng giả thuyết khụng bị bỏc bỏ là vỡ cỡ mẫu nhỏ và độ lệch mẫu lớn.
Tương tự như trong trường hợp 1, Bài toỏn 2 và Bài toỏn 3 cú miền bỏc bỏ giả thuyết lần lượt là:
Trong đú, ( − 1)được tra ở bảng phõn phối Student n-1 bậc tự do, mức .
Trường hợp 3:Cỡ mẫu lớn (n>30), trong trường hợp này, ta khụng cần giả thiết về tớnh chuẩn của biến.
Trong trường hợp này, ta ước lượng phương sai chưa biếtcủa biến từ mẫu là . Sau đú, thay = và giải ba bài toỏn kiểm định giả thuyết như trường hợp 1. Điều này đạt được vỡ tiờu chuẩn = √ cú phõn phối xấp xỉ phõn phối chuẩn tắc khi cỡ mẫu đủ lớn. Người ta thường chọn cỡ mẫu n >30 được cho là mẫu lớn vỡ khi cỡ mẫu lớn hơn 30 thỡ sai số khi xấp xỉ khỏ nhỏ.
Vớ dụ:
, (35) = 1,689 ; , (50) = 1,675; , (100) = 1,66; (0,05) = 1,644
Vớ dụ 4:Chiều cao của một số sinh viờn đo được cho ở bảng sau:
Chiều cao (m) 1,40-1,50 1,50-1,55 1,55-1,60 1,60-1,65 1,65-1,70 1,70-1,80
Số sinh viờn 7 25 30 34 18 10
Với mức 5%, cú thể khẳng định chiều cao trung bỡnh của sinh viờn lớn hơn 1,55m được khụng?
Giải:
Gọi X là chiều cao sinh viờn. Bài toỏn kiểm định là:
: μ = 1,55
: μ > 1,55 ( = 5%)
Dựa vào mẫu ta tớnh được: = 1,60; = 0,07; = 124
Và = √ = , , , √124 = 7,57
Với mức = 5%, tra bảng phõn phối chuẩn tắc, ta được (0,05) = 1,65. Vỡ = 7,57 > 1,65 nờn ta bỏc bỏ giả thuyết, tức là chiều cao trung bỡnh của sinh viờn lớn hơn 1,55m.