Phương trỡnh động lực học phi tuyến được biểu diễn về một dạng tuyến tớnh với cỏch đặt cỏc tham số động lực học hằng như sau:
π =
+ +
=H(q).q C(q,q).q g(q) Y(q,q,q).
u && && &&& , (1.18) trong đú π là vộctơ (p x 1) cỏc tham số hằng, liờn quan đến mụmen quỏn tớnh của đối tượng điều khiển, Y là ma trận (n x p) biểu diễn như là hàm theo vị trớ, vận tốc và gia tốc của đối tượng điều khiển.
Luật điều khiển được chọn:
σ + + +
=H(q).qr C(q,q).qr g(q) Kd
u && && , (1.19)
trong đú Kd là ma trận xỏc định dương. q q q q q
qr&= d&+Λ~, &&r =&&d +Λ~&. (1.20) Λ là ma trận đường chộo xỏc định dương.
q~ q qr − d =Λ = σ & & . (1.21) Từ (1.18), (1.19) và (1.14), ta suy ra: 0 K ). q , q ( C ). q ( H σ&+ &σ+ dσ= . (1.22)
Khi cỏc tham số khụng được biết chớnh xỏc, luật điều khiển được viết lại như sau [38]:
u=Hˆ(q).q&&r+Cˆ(q,q&).q&r+gˆ(q)+Kdσ =Y(q,q&,qr,q&r).πˆ +Kdσ (1.23) với Hˆ,Cˆ,gˆ,πˆ là cỏc giỏ trị ước lượng của phương trỡnh động lực học ngược.
Thế (1.23) vào (1.18), ta được: [H~(q).q ~C(q,q).q ~g(q)] K ) q , q ( C ). q (
H σ&+ &σ+ dσ=− &&r+ &&r+
trong đú vộctơ sai lệch của tham số là π~=πˆ−π và tham số của mụ hỡnh được xỏc định bởi H~=Hˆ −H,C~ =Cˆ −C,g~=gˆ−g.
Dựa vào tiờu chuẩn ổn định Lyapunov, ta cú thể xỏc định luật điều khiển thớch nghi để cập nhật cỏc tham số ước lượng:
σ =
π&ˆ K−π1YT(q,q&,q&r,q&&r) (1.25) với Kπ là ma trận đối xứng xỏc định dương, quyết định tốc độ hội tụ cỏc tham số về giỏ trị xỏc định khụng đổi của chỳng.
Như vậy, mụ hỡnh động lực học u=H(q).q&&r +C(q,q&).q&r +g(q) được điều khiển theo quy luật u =Y(q,q&,qr,q&r).πˆ +Kd(q~&+Λq~) sẽ đảm bảo hệ thống ổn định và hội tụ về σ = 0, q~ =& 0 và πˆ khụng đổi. Luật điều khiển này được hỡnh thành dựa trờn 3 yếu tố:
+ Thành phần Y.πˆ mụ tả tớn hiệu điều khiển theo kiểu động lực học ngược, bảo đảm một sự bự xấp xỉ cỏc ảnh hưởng phi tuyến và làm phõn ly từng khớp chuyển động;
+ Thành phần Kdσ đưa ra kiểu điều khiển PD tuyến tớnh, ổn định theo sai lệch quỹ đạo;
+ Vộctơ tham số tớnh toỏn πˆ được cập nhật theo luật thớch nghi đảm bảo bự cỏc thành phần thay đổi của mụ hỡnh động lực học.
Phương phỏp điều khiển động lực học ngược thớch nghi giải quyết được nhược điểm chớnh của phương phỏp điều khiển động lực học ngược, bảo đảm được độ chớnh xỏc trong điều khiển khi cú sự tồn tại của nhiễu tải và sự thay đổi cỏc thụng số của mụ hỡnh. Sở dĩ như vậy là vỡ trong phương phỏp này, tuy ta khụng xột đến ảnh hưởng của nhiễu bờn ngoài, ảnh hưởng của thành phần động lực học khụng mụ hỡnh húa được nhưng bộ điều khiển vẫn xem đú là việc ước lượng cỏc tham số khụng tương đương. Từ đú, bộ điều khiển sẽ được suy giảm những ảnh hưởng này bằng việc thay đổi cỏc thụng số của mụ hỡnh.
Kết quả là sai lệch quỹ đạo của hệ chuyển động được hạn chế đến mức tối thiểu. Tuy nhiờn, phương phỏp điều khiển động lực học ngược thớch nghi cũng cú nhược điểm là thời gian tớnh toỏn lớn.