Được xõy dựng trờn cơ sở tuyến tớnh húa lõn cận quỹ đạo chuyển động tĩnh cho hệ phương trỡnh vi phõn mụ tả động lực học. Tớn hiệu được tớnh từ khối phản hồi cú luật điều khiển thớch nghi cú thể là giỏn tiếp hoặc trực tiếp để cỏc sai số điều khiển tiệm cận về 0. Ưu điểm của phương phỏp là đơn giản húa việc thiết kế nhờ chuyển đổi hệ điều khiển phi tuyến về hệ điều khiển tuyến tớnh. Tuy nhiờn, nú chưa khảo sỏt hệ khi điều khiển bỏm quỹ đạo. Phương phỏp này quan tõm nhiều đến sự tương tỏc giữa cỏc chuyển động mà chưa chỳ ý đến sự biến thiờn thụng số động học của hệ, do đú, nú khụng thể thỏa món cho cỏc hệ thống cú yờu cầu chất lượng điều khiển cao.
1.3.5. Phương phỏp điều khiển trượt (Sliding Mode Control, SMC) [34][47][48][49]
Điều khiển trượt đầu tiờn được nghiờn cứu bởi Emelyanov et al (1970) và sau đú được Itkis (1976) và Utkin (1977) phỏt triển lờn.
Phương phỏp điều khiển trượt dựng trực tiếp mụ hỡnh động lực học phi tuyến cao của đối tượng điều khiển (vớ dụ như robot). Nội dung của phương phỏp gồm hai bước. Trước tiờn, chọn một mặt trượt bảo đảm sai lệch quỹ đạo luụn tiến về 0. Sau đú, chọn luật điều khiển thớch hợp để đưa trạng thỏi hệ thống kớn luụn về trờn mặt trượt. Phương phỏp này cú độ chớnh xỏc điều khiển
cao, bền vững đối với nhiễu tải và sự thay đổi cỏc thụng số của đối tượng điều
khiển, cấu trỳc đơn giản. Do đú, phương phỏp này thớch ứng với hệ điều khiển chuyển động phi tuyến, tham số thay đổi, cú nhiễu loạn tỏc động... Tuy nhiờn việc ứng dụng vào thực tiễn cũn gặp khú khăn do nú cú một nhược điểm lớn là hiện tượng rung động (gọi là chattering).
1.4. LỰA CHỌN PHƯƠNG PHÁP ĐIỀU KHIỂN
Sau khi phõn tớch ưu nhược điểm của một số phương phỏp đó được nghiờn cứu, tỏc giả luận ỏn nhận thấy phương phỏp điều khiển trượt cú những ưu điểm là cú độ bỏm nhanh và chớnh xỏc cao, bền vững đối với nhiễu tải và sự thay đổi cỏc thụng số của đối tượng điều khiển. Nú khụng đũi hỏi phải biết chớnh xỏc cỏc thành phần của nhiễu, cỏc thành phần khụng mụ hỡnh húa được cũng như thời gian trễ,... nhưng yờu cầu phải biết giới hạn biến thiờn của
chỳng. Điểm hạn chế chớnh của điều khiển trượt là xuất hiện hiện tượng chattering [34].
Phương phỏp điều khiển trượt đó trở thành cụng cụ thiết kế bộ điều khiển bền vững cho đối tượng tuyến tớnh và phi tuyến. Phương phỏp này mềm dẻo trong điều khiển và được ứng dụng vào thực tế với chi phớ thấp. Nú đặc biệt ứng dụng trong điều khiển hệ cơ điện cú cấu trỳc biến đổi. Phương phỏp điều khiển trượt dựng trực tiếp mụ hỡnh động lực học cú tớnh phi tuyến mạnh của đối tượng điều khiển (vớ dụ như robot).
Vấn đề là tỡm cỏch giảm thiểu đỏng kể hiện tượng chattering khụng mong muốn làm ảnh hưởng đến cơ cấu của thiết bị bằng cỏch chọn thuật toỏn ớt phức tạp, dễ điều khiển, khắc phục được hiện tượng chattering và làm nhẵn tớn hiệu điều khiển. Đú là vấn đề mà luận ỏn này đi sõu nghiờn cứu.
1.5. CƠ SỞ Lí THUYẾT ĐIỀU KHIỂN TRƯỢT (SLIDING MODE CONTROL, SMC) [34][47][48][49]
1.5.1. Nguyờn lý điều khiển trượt
Ta xem xột hệ động học sau [34]: x(n)= a(X) + B(X).u (1.26) trong đú đại lượng vụ hướng x là đầu ra, đại lượng vụ hướng u là nguồn tớn hiệu điều khiển đầu vào và [ (n 1)]T
x ... x x
X= & − là vectơ trạng thỏi. Trong phương trỡnh (1.26), hàm a(X) (thụng thường là phi tuyến) khụng được biết chớnh xỏc, nhưng phạm vi sai lệch của a(X) bị chặn và biết được suy từ hàm
liờn tục đó biết của x. Tương tự, hệ số khuếch đại điều khiển B(X) cũng khụng được biết chớnh xỏc, nhưng biết dấu và biết giới hạn suy từ hàm liờn tục theo x. Chẳng hạn, thụng thường, quỏn tớnh của hệ thống cơ khớ chỉ được xỏc định đối với mức độ chớnh xỏc nào đú và cỏc mụ hỡnh ma sỏt chỉ mụ tả phần nào đú của cỏc lực ma sỏt mà thụi.
Nhiệm vụ bài toỏn điều khiển là xỏc định trạng thỏi X để X bỏm sỏt trạng thỏi mong muốn Xd với [ (n 1)]T
d d
d
d x x ... x
X = & − khi a(X) và B(X) khụng được biết chớnh xỏc.
Trạng thỏi bỏm cú thể thực hiện bằng cỏch sử dụng tập điều khiển hữu hạn u, với trạng thỏi ban đầu Xd(0) phải là:
Xd(0) ≡ X(0) (1.27)
Cho x~=x −xd là sai lệch chuyển đ ng của biến x và gọi ộ
[ (n 1)]T
d x~ x~ ... x~ X
X
X~ = − = & −
là vộctơ sai lệch chuyển động. Ngoài ra, ta định nghĩa bề mặt biến thiờn theo thời gian s(t) trong khụng gian trạng thỏi R(n) bằng phương trỡnh vụ hướng S(X;t) = 0 trong đú :
S(X;t) = ) x~ dt
d
( +λ n −1 (1.28)
với là một hằng số dương. Vớ dụ nếu λ n = 2 thỡ x~
x ~ S= &+λ
tức S là tổng mức ảnh hưởng của sai lệch vị trớ và sai lệch vận tốc. Nếu n = 3 thỡ x~ x~ 2 x ~
S=&&+ λ&+λ2 .
Với điều kiện ban đầu (1.27), bài toỏn chuyển đ ng Xộ ≡Xd tương đương với trạng thỏi giữ nguyờn trờn s(t) với mọi t > 0. Thật vậy, S≡0 mụ tả một phương trỡnh vi phõn tuyến tớnh với nghiệm duy nhất là ~ ≡ . Như vậy, bài x 0 toỏn chuyển động vộctơ n chiều Xd chuyển thành bài toỏn giữ lượng vụ hướng S bằng 0.
Chớnh xỏc hơn, bài toỏn chuyển động vộctơ n chiều trờn Xd (tức bài toỏn chuyển động n bậc đối với x) cú thể thay thế bởi bài toỏn ổn định bậc 1 đối với S. Thật vậy, từ (1.28), ta thấy biểu thức của S chứa x~ nờn chỉ cần lấy vi phõn của S một khi đầu vào u xuất hiện.
Ngoài ra, giới hạn trờn S cú thể chuyển trực tiếp sang giới hạn trờn vectơ sai lệch chuyển động X~ và do đú đại lượng vụ hướng S mụ tả việc đo lường tớnh năng chuyển động của hệ điều khiển. Cụ thể, giả sử rằng X~(0)= (ảnh 0 hưởng của điều kiện đầu khỏc 0 cú thể được thờm vào x~ một cỏch tỏch biệt), chỳng ta cú: ε λ ≤ ≥ ∀ ⇒ Φ ≤ ≥ ∀t 0, S(t) t 0, x~(i)(t) (2 )i (1.29) i = 0,..., n-1
với ε = /Φ λn-1. Thật vậy, theo (1.28), sai lệch chuy n động ể ~ đạt được từ S x thụng qua một dóy cỏc bộ lọc băng thụng thấp bậc một (hỡnh 1.4), trong đú p = (d/dt) là toỏn tử Laplace).
Gọi y1 là tớn hiệu ra của bộ lọc thứ nhất, ta cú:
∫ −λ − = t 0 ) T t ( 1(t) e S(T)dT y Từ S ≤Φ, ta cú: ∫ − ≤Φλ λ Φ = Φ ≤ t −λ − −λ 0 t ) T t ( 1(t) e dT (1 e ) y .
Chỳng ta cú thể lý luận tương tự như vậy cho bộ lọc thứ hai và cho đến đầu ra thứ n-1 là yn−1 =~x. Ta được: =ε
λ Φ ≤ n−1
x~ .
Tương tự, ~ là kết quả của dóy cỏc khối được trỡnh bày trờn hỡnh 1.5. x(i) Từ kết quả trước, z1 n−1−i
λ Φ
≤ trong đú z1 là tớn hiệu ra của bộ lọc thứ (n-i-1). x~ y1 1 p λ+ 1 p λ+ 1 p λ+ S … n-1 khối
Hỡnh 1.4 – Biểu thị giới hạn của x~
) ( ~i x 1 p λ+ p λ1+ p λp+ p λp+ S z1 …. ….
n-i-1 khối i khối
Ta cú thể biểu diễn: λ + λ − = λ + λ − λ + = λ + p 1 p p p p
nờn dóy cỏc khối của hỡnh 1.5 được hiểu: ε λ = λ λ + λ Φ ≤ −− i i i 1 n ) i ( 1 (2 ) x~
là giới hạn của (1.29). Cuối cựng, trong trường hợp ~x(0)≠ , cú thể đạt đến 0 giới hạn (1.29) một cỏch tiệm cận, tức trong khoảng thời gian xỏc định
λ −1 n
. Như vậy, cú thể thay bài toỏn chuyển động vộctơ n chiều bằng bài toỏn ổn định bậc 1. Để giữ giỏ trị vụ hướng S = 0 cú thể giải quyết được bằng cỏch chọn luật điều khiển u trong (1.26) sao cho ở bờn ngoài s(t) ta cú:
S S dt d 2 1 2 ≤−η (1.30)
trong đú là hằng số dương. Một cỏch cơ bản, η (1.30) cho thấy rằng khoảng cỏch đến bề mặt s, được tớnh bằng S2,giảmxuống theo quỹ đạo hệ thống. Vỡ thế nú buộc mọi quỹ đạo hệ thống hướng tới bề mặt s(t) như minh họa trong hỡnh 1.6 dưới đõy. Một khi đó nằm trờn bề mặt, cỏc quỹ đạo hệ thống sẽ duy trỡ trờn bề mặt đú. Núi cỏch khỏc, khi điều kiện (1.30) hay cũn gọi là điều kiện trượt được thỏa món, sẽ tạo cho bề mặt một tập hợp bất biến. Hơn thế nữa, (1.30) cũn ngụ ý rằng nhiễu hoặc cỏc yếu tố động học khụng xỏc định được cú thể được giảm bớt chừng nào cũn giữ được bề mặt là một tập hợp bất biến. Trờn hỡnh 1.6, cỏc quỹ đạo ngoài bề mặt đều di chuyển hướng về bề mặt s. Mặt s(t) nghiệm đỳng (1.30) được gọi là mặt trượt, cũn sự di chuyển của trạng thỏi hệ thống trờn bề mặt này được gọi là chế độ trượt.
Một khớa cạnh khỏc của tập bất biến s(t) là một khi cỏc quỹ đạo hệ thống nằm trờn đú, chỳng được xỏc định bằng phương trỡnh sau:
) x~ 0 dt
d
( +λ n−1 = (1.31)
Núi cỏch khỏc, bề mặt s(t) vừa được xem là địa điểm, vừa là động lực học và cho phộp thay thế bậc n bằng bậc một.
Cuối cựng, việc thỏa món điều kiện (1.30) đảm bảo rằng nếu điều kiện (1.27) khụng được kiểm chứng chớnh xỏc, nghĩa là X(t = 0) khụng trựng với Xd(t = 0), thỡ tớn hiệu điều khiển sẽ chạm đến bề mặt s(t) trong một khoảng thời gian xỏc định nhỏ hơn S(t=0) /η. Thật vậy, cho rằng S(t = 0) > 0, và tc là thời gian yờu cầu để chạm đến bề mặt s = 0. Tớch phõn (1.30) từ t = 0 đến tc ta cú: 0 − S(t = 0) = S(t = tc) – S(t = 0) ≤ −η(tc – 0)
Điều đú cú nghĩa là: tc ≤ S(t=0)/η.
Với S(t = 0) < 0, ta cú kết quả tương tự. Do vậy: tc ≤ S(t=0) /η. s(t)
Ngoài ra, định nghĩa (1.28) cho thấy khi đó ở trờn bề mặt, mỗi chuyển động cú xu hướng tiến về 0 theo tốc độ hàm mũ với hằng số thời gian (n-1)/λ (từ dóy (n-1) bộ lọc cú hằng số thời gian 1/λ).
Một hệ thống thỏa món điều kiện trượt (1.30) cú hành vi được minh họa trong hỡnh 1.7 dưới đõy, với n = 2. Trờn mặt trượt cú hệ số gúc - λ và chứa điểm (biến đổi theo thời gian) [ ]T
d d
d x x
X = & . Bắt đầu từ bất kỳ điểm xuất phỏt ban đầu nào đú, quỹ đạo trạng thỏi chạm đến mặt trượt trong khoảng thời gian nhỏ hơn S(t=0) /η , sau đú sẽ trượt dọc theo mặt trượt và hướng đến xd với tốc độ hàm mũ, với hằng số thời gian 1/λ.
Túm lại, từ phương trỡnh (1.28) chọn một hàm S, sau đú chọn luật điều khiển u trong (1.26) sao cho S2 duy trỡ một hàm Lyapunov của hệ thống kớn, bất chấp sự thiếu chớnh xỏc của mụ hỡnh và sự cú mặt của nhiễu loạn. Trỡnh tự thiết kế do đú sẽ bao gồm 2 bước:
+ Bước một, chọn luật điều khiển u thỏa món điều kiện tr ợt (1.30). ư Hỡnh 1.7 – Trạng thỏi của hệ thống thỏa món điều kiện trượt
0 e
Thời gian tớn hiệu điều khiển chạm vào mặt phẳng trượt S = 0 xd(t) e& Mặt phẳng trượt x(t)
Tuy nhiờn, do sự thiếu chớnh xỏc của mụ hỡnh và sự cú mặt của nhiễu loạn, luật điều khiển sẽ trở nờn khụng liờn tục khi đi ngang qua bề mặt s(t). Vỡ chuyển mạch điều khiển là khụng hoàn hảo nờn dẫn đến hiện tượng rung động (chattering) như minh họa ở hỡnh 1.8.
Hiện tượng chattering cú thể giải thớch như sau: theo (1.30) ta cú thể biểu diễn S.S<0. Giả sử rằng tớn hiệu điều khiển bắt nguồn ở phần mặt trượt S < 0 . (nghĩa là S>0), luật điều khiển u hướng tớn hiệu vào mặt trượt, khi chạm đến .
mặt trượt do sự thiếu chớnh xỏc của mụ hỡnh và nhiễu... nờn tớn hiệu điều khiển văng ra khỏi mặt trượt và qua phần mặt trượt S > 0. Để thỏa món điều kiện S.S <0 thỡ . S phải đổi dấu (. S<0), tớn hiệu điều khiển lại hướng về mặt . trượt và qua phần mặt trượt S > 0. Hiện tượng được tiếp diễn cho đến khi trạng thỏi hệ thống tiến về giỏ trị đặt xd gọi là hiện tượng chattering.
Rừ ràng chattering là hiện tượng khụng mong muốn trong thực tế vỡ nú liờn quan cỏc đến hoạt động điều khiển cú tớnh phi tuyến cao và hơn thế nữa là nú cũn kớch thớch những thành phần động lực học tần số cao vốn bị chủ ý
Hỡnh 1 8 Hiện tượng chattering
S = 0 xd(t) e Chattering x(t) S < 0 S > 0 e&
sao lóng khi mụ hỡnh húa (vớ dụ như cỏc kiểu cấu trỳc khụng được mụ hỡnh, thời gian trễ, v.v…).
+ Bước hai, luật điều khiển khụng liờn tục u đó được chọn trong bước một được làm nhẵn một cỏch thớch hợp để cú sự dung hũa tối ưu giữa dải thụng điều khiển và tớnh chớnh xỏc của quỹ đạo.
1.5.2. Ứng dụng bộ điều khiển trượt cho hệ nhiều đầu vào nhiều đầu ra 1.5.2.1. Hệ phương trỡnh động lực học của hệ tay mỏy phi tuyến Động lực học cho tay mỏy phi tuyến cú dạng:
H(q)q&&+C(q,q&)q&+g(q)=τ, (1.32) trong đú τ là tớn hiệu đầu vào biểu thị mụmen tỏc dụng lờn cỏc tay mỏy, H(q) là ma trận quỏn tớnh (n x n) (đối xứng dương), C(q,q&)q& là vộctơ của lực Coriolis, g(q) là vectơ mụmen trọng lực. Vectơ q là gúc quay và vectơ q& là vận tốc gúc, nhiệm vụ điều khiển là tớnh toỏn cỏc đầu vào để hệ thống đạt được quỹ đạo đặt đó định trước.
Trong trường hợp nhiều đầu vào, điều kiện trượt (1.30) theo cụng thức i i 2 i S S dt d 2 1 ≤−η với η i> 0, i = 1, 2, ..., n,
được thỏa món lần lượt cho mỗi bậc tự do i, với Si = &q~i +λi~qi. Người ta cũng cú thể giải thớch S2 trong (1.30) như là bỡnh phương khoảng cỏch đến mặt phẳng s = 0, vộctơ S được định nghĩa như sau:
S = &~q +Λq~ (1.33)
trong đú Λ là ma trận đối xứng xỏc định dương.
S =~q&+Λq~ =q&−q&r (1.34) trong đú
q~ q
q&r = &d +Λ
Vộctơ vận tốc qui chiếu q& được thành lập bằng cỏch dịch chuyển cỏc r vận tốc mong muốn q& theo sai số vị trớ qd ~ . Phương trỡnh (1.34) thể hiện rằng cỏc tớnh chất liờn quan đến năng lượng chuyển động (được biểu thị qua thành phần vộctơ vận tốc q&) được chuyển thành cỏc tớnh chất liờn quan đến điều khiển quỹ đạo (được biểu thị qua thành phần vộctơ sai số vận tốc S). Tương tự như trường hợp đầu vào đơn, vộctơ S chuyển tải thụng tin về tớnh bị chặn
và hội tụ của q và q&, bởi vỡ định nghĩa (1.34) của S cú thể được xem là phương trỡnh vi phõn bậc 1 ổn định theo q~ . Do vậy, giả sử ta cú điều kiện bị chặn ban đầu, việc chỉ ra tớnh bị chặn của S cũng là chỉ ra tớnh bị chặn của q~ và q~& và vỡ vậy cũng là của q và q&. Một cỏch tương tự, nếu S tiến đến 0 khi t tiến đến vụ cựng thỡ cỏc vộctơ q~ và q~& cũng vậy.
Vấn đề bảo toàn năng lượng được xột đến với mụmen trọng lực bờn ngoài g(q), cụng thức bảo toàn năng lượng cú thể viết thành như sau:
] q H q [ dt d 2 1 ) g (
q&T τ− = &T & (1.35)
Tớnh đạo hàm ở vế phải, ta sẽ cú: q H q 2 1 q H q ) g (
qT&τ− = &T &&+ &T &&
và mở rộng số hạng qH && sử dụng động học hệ thống (1.32), sau khi đơn giản húa cỏc số hạng đầu vào (τ − g), ta kết luận rằng đối với mọi q& thỡ:
0 q ) C 2 H (
q&T &− &= (1.36)
Kết quả này cho thấy ma trận (H −& 2C) là đối xứng lệch - được xem là biểu thức ma trận bảo toàn năng lượng. Thật vậy, trong khi vộctơ Coriolis và mụmen hướng tõm qC& và vộctơ vận tốc khớp q& được định nghĩa là những đại lượng vật lý thỡ ma trận C khụng được xem là như vậy mà được định nghĩa như sau: ∑ ∑ = = ∂ ∂ − ∂ ∂ + ∂ ∂ = n 1 k k i jk j ik n 1 k k