phổ thông
2.1.2.1. Về kiến thức
Từ cách trình bày trong SGK về nội dung các phép biến hình đề ra các yêu cầu sau về phơng diện kiến thức:
* Học sinh cần nắm đợc khái niệm và các tính chất của phép đối xứng trục là kiến thức nền tảng để trình bày các phép dời trong mặt phẳng; mọi phép dời hình đều là hợp thành của nhiều nhất ba phép đối xứng trục.
Có thể phân tích mục đích yêu cầu trên qua các ví dụ sau:
Mặc dù không trình bày tờng minh, phép quay đợc hiểu trong SGK Hình học 11 là tích của hai phép đối xứng trục (có trục cắt nhau) là một phép quay quanh giao điểm của hai trục, hợp thành của hai phép quay có thể là một phép tịnh tiến (Tập hợp các phép quay không làm thành một nhóm).
Tích hai phép đối xứng qua hai trục song song là một phép tịnh tiến. Phép đối xứng tâm là tích của hai phép đối xứng qua hai trục vuông góc. Đặc biệt cần nắm vững “Dạng chính tắc của phép dời hình là một phép tịnh tiến, một phép quay, hoặc một phép đối xứng tâm, đối xứng trục”.
* Học sinh cần nắm các khái niệm về các phép dời cụ thể, phép vị tự, phép đồng dạng Đặc biệt chú trọng nắm vững các tính chất (các bất biến của các phép dời cụ thể).
a, Đối với chủ đề phép biến hình chung
Về kiến thức mức độ cần đạt của học sinh là nắm đợc định nghĩa phép biến hình
Về kỹ năng, học sinh có thể dựng đợc ảnh của một điểm qua phép biến hình đã cho.
Chẳng hạn:
Trong mặt phẳng, xét phép chiếu vuông góc lên đờng thẳng d. Dựng ảnh của điểm M qua phép chiếu đó.
Học sinh có thể định hớng xem phép chiếu đó có là phép biến hình không? Đặc biệt chú trọng nắm vững các tính chất (các bất biến của các phép dời cụ thể):
Các bất biến chung của các phép dời và các bất biến riêng của phép dời cụ thể.
Phép tịnh tiến có những tính chất mà mọi phép dời hình khác đều có nh: - Qua phép tịnh tiến, ba điểm thẳng hàng biến thành ba điểm thẳng hàng không làm thay đổi thứ tự giữa chúng. Từ đó:
- Qua phép tịnh tiến ảnh của một đờng thẳng là đờng thẳng; ảnh của một đoạn thẳng là một đoạn thẳng; tia biến thàmh tia; góc biến thành góc bằng nó; đờng tròn biến thành đờng tròn bằng nó.
Tuy nhiên có một số tính chất của phép tịnh tiến mà không phải ở mọi phép dời hình khác đều có. Chẳng hạn:
- Qua phép tịnh tiến mọi phơng đều bất biến, nghĩa là phép tịnh tiến biến đờng thẳng a bất kỳ thành đờng thẳng a’ thì hoặc a’// a hoặc a’≡ a .
Tính chất vừa nêu chỉ có ở phép đối xứng tâm hoặc sau này xét phép vị tự.
b) Đối với từng phép dời cụ thể:
Điều quan trọng của việc xét bất biến riêng là ở chỗ, khi gặp các bài toán cần nghiên cứu mối liên hệ phụ thuộc giữa các yếu tố, có chứa các bất biến riêng của phép dời cụ thể nào đó thì ngời ta thờng sử dụng phép dời đó để giải.
Ví dụ 1: Chẳng hạn xét bài toán trong SGK Hình học 11-NC: “Cho đờng tròn ( C ) tâm O và dây cung AB cố định. Gọi điểm M là điểm di động trên đ- ờng tròn. Tìm quỹ tích các trực tâm H của tam giác ABM”.
Nếu ứng dụng phép tịnh tiến ta có cách giải sau:
(+) Phân tích dẫn tới cách giải sử dụng phép tịnh tiến:
Ta xét mối liên hệ giữa điểm H cần tìm quỹ tích và điểm M đã biết quỹ đạo của nó là đờng tròn (C). Ta thấy mỗi một điểm M tơng ứng duy nhất với một điểm H.
Điểm H di động theo M nhng phơng của đờng thẳng MH không thay đổi, luôn vuông góc với đờng thẳng AB cố định.
Nhận xét trên gợi cho chúng ta hớng tới tìm cách sử dụng phép tịnh tiến để giải và tìm cách chứng tỏ rằng v MH = trong đó v là véctơ xác định. H B O M O' A K
Thật vậy, xét đờng kính AK của (C); khi đó KB ⊥ AB nên KB //MH ( hình vẽ).
Dễ dàng kiểm tra tứ giác BKMH là hình bình hành. Từ đó ta có : MH =KB =v.
Vậy H là ảnh của M qua phép tịnh tiến Tv ; nên H có quỹ tích là đờng tròn (C’) tâm O’ ảnh của đờng tròn (C) tâm O qua phép tịnh tiến Tv.
Đặc biệt đối với bài toán này, có thể giải bằng cách sử dụng phép đối xứng trục hoặc đối xứng tâm:
Nếu ứng dụng phép đối xứng trục ta có cách giải:
(+) Phân tích dẫn tới cách giải sử dụng phép đối xứng trục:
- Trờng hợp AB không là đờng kính.
- Xác định rõ: đoạn thẳng AB cố định, với mỗi điểm M tơng ứng duy nhất một điểm H là trực tâm của tam giác MAB.
Giả sử đờng MH cắt đờng tròn (C) tại H’.Nh vậy với mỗi điểm M ∈ (C), khác với A và B thì ta xác định đợc điểm H ∈(C). Gọi MM’ là đờng kính của đờng tròn (C) thì M’A//BH (vì cùng vuông góc với MA) và M’B // AH (vì cùng vuông góc với MB). Nên M’BHA là hình bình hành. Suy ra AB đi qua trung điểm của M’H; mặt khác AB // M’H’ (vì cùng vuông góc với MH) nên AB cũng đi qua trung điểm của HH’.
Do đó H đối xứng với H’ qua AB; Vậy ta có phép đối xứng trục ĐAB : H → H’
H’ → H (do H’ thuộc (C) nên H thuộc (C’)) C(O; r) → C’ (O’; r)
Vậy quỹ tích trực tâm H nằm trên đờng tròn (C’) ảnh của đờng tròn (C) qua phép đối xứng trục ĐAB. H B A O M O' M' H'
Nếu ứng dụng phép đối xứng tâm ta có cách giải sau: (+) Phân tích dẫn tới cách giải sử dụng phép đối xứng tâm:
Xác định dữ kiện không đổi, cố định: AB; trung điểm I của AB; tâm O. Dữ kiện di động: M; H
Muốn xuất hiện phép đối xứng tâm cần xác định tâm đối xứng. Dựng đờng kính MH’ của đờng tròn (C).
Dễ dàng chứng minh tứ giác AHBH’ là hình
bình hành. Gọi I là trung điểm của AB suy ra I là giao của hai đờng chéo của hình bình hành. Do đó I là
trung điểm của HH’ hay tồn tại phép đối xứng tâm ĐI : H’ → H
(C) → (C‘) .
Điểm H’ luôn nằm trên (C) nên H nằm trên (C’); là ảnh của (C) qua phép đối xứng tâm ĐI .
Có thể nêu cho học sinh nguyên tắc tổng quát để áp dụng các phép biến hình vào việc giải các bài toán quỹ tích: Bài toán đòi hỏi tìm quỹ tích của các điểm M thoả mãn một tính chất nào đó. Nếu ta chứng minh đợc rằng mỗi điểm M là ảnh của một điểm N qua một phép F xác định thì bài toán quy về việc tìm quỹ tích của các điểm N. Nếu quỹ tích N là hình H thì quỹ tích M là hình H’, ảnh của hình H qua phép F.
Quay trở lại bài toán:
Nếu ta gọi G là trọng tâm tam giác MAB thì ta có OH =3OG.
Nh vậy mỗi điểm H là ảnh của một điểm G qua phép vị tự tâm O tỉ số k = 3, và ta chỉ cần tìm quỹ tích điểm G.
Lại chú ý rằng nếu I là trung điểm AB thì IG=
31 1
IM ,
Nên G là ảnh của M qua phép vị tự tâm I tỉ số 31 .
IH H O O' A B M H'
Tóm lại: quỹ tích G là đờng tròn (C’) ảnh của đờng tròn (C) qua phép vị tự V13
I và quỹ tích H là đờng tròn (C”) ảnh của (C’) qua phép vị tự V3
O.
Chúng ta nghiên cứu tìm thêm các ví dụ khác để khẳng định việc nắm các bất biến riêng là nắm các kiến thức cốt lõi của việc nghiên cứu phép dời hình ở trờng phổ thông, nó có tác dụng tạo cơ sở định hớng tìm tòi giải các bài toán.
Ngoài các bất biến riêng chúng ta cần quan tâm khai thác các tính chất khác không phải là bất biến nhng đặc thù cho từng phép cụ thể nhằm tại cơ sở khai thác các ứng dụng của các phép dời cụ thể.
Chẳng hạn, tính chất sau đây chỉ đặc thù đối với phép quay: “Qua phép quay QαO đờng thẳng a biến thành a’, khi đó góc giữa hai đờng thẳng a và a’bằng α nếu α nhọn và bù với α nếu α tù”.
Khi xét tính chất trên chúng ta chỉ quan tâm độ lớn của góc quay, không quan tâm chiều của góc quay.
Từ tính chất nêu trên chúng ta xác định tri thức về ứng dụng của phép quay:
Để chứng minh góc giữa hai đờng thẳng a và b bằng α thì ngời ta chứng minh bằng cách chỉ ra có một phép quay Q có tâm là điểm O nào đó và góc quay bằng α .
Chúng ta có thể thể hiện tính chất trên nhờ kết quả dựng ảnh của đờng thẳng a qua phép quay Qα
O và tính chất suy từ định nghĩa phép quay: Gọi H là hình chiếu của O trên đờng thẳng a;
QαO: H → H’
O → O’
Vì qua phép quay trên góc giữa hai đờng thẳng đợc bảo toàn, nên đờng thẳng a vuông góc với OH có ảnh là đờng thẳng a’ vuông góc với OH’ tại H. Giả sử I là giao điểm của hai đờng thẳng và góc quay 0°≤α≤90° . Khi đó tứ giác OHIH’ là tứ giác nội tiếp nên suy ra góc giữa a và a’ bằng α .
Ví dụ 2: Chúng ta xét ứng dụng kết quả trên vào cách giải dạng toán chứng minh góc giữa hai đờng thẳng bằng α sau đây:
“Cho tam giác ABC , dựng về phía ngoài tam giác đó hai tam giác đều AMB và CAN. Chúng minh rằng góc giữa hai đờng thẳng MC và BN bằng 60°
”.
Kiến tạo: Dùng phép quay
Tri thức: Có tam giác đều nên xuất hiện góc có số đo 60°. Góc quay bảo toàn,
Phơng pháp: phân tích, vận dụng kết quả nêu trên, ta có :
Thực hiện phép quay Q60°