Đồng hoá là quá trình nếu gặp một tri thức mới, tơng tự nh tri thức đã biết, thì tri thức mới này có thể đợc kết hợp trực tiếp vào sơ đồ nhận thức đang tồn tại, hay nói cách khác học sinh có thể dựa vào những kiến thức cũ để giải quyết một tình huống mới. Hay nói một cách khác, quá trình học sinh vận dụng những tri thức đã có, không phải tổ chức lại, cấu trúc laị những tri thức đó, để nhận thức hay giải quyết vấn đề đợc gọi là quá trình đồng hoá. Nếu trong quá trình đồng hoá, những tri thức đã có của học sinh tỏ ra cha đủ để nhận thức, cha đủ để giải quyết vấn đề mới, cần phải có sự thay đổi, điều chỉnh, phải tổ chức lại, cấu trúc lại những tri thức đó, có khi phải đa ra quan niệm mới, cách giải quyết mới thì xem nh sự điều ứng. Hay:
Điều ứng là quá trình, khi gặp một tri thức mới có thể hoàn toàn khác biệt với những sơ đồ nhận thức đang có thì sơ đồ hiện có đợc thay đổi để phù hợp với tri thức mới, để tri thức mới xâm nhập vào tri thức đã có.
Hoạt động điều ứng diễn ra khi vốn tri thức đã có của chủ thể cha tơng hợp với môi trờng tri thức mới cần nhận thức, khi sơ đồ nhận thức đã có và tri thức mới không tơng thích. Khi đó hoạt động điều ứng nhằm tạo lập sơ đồ nhận thức khác để tiếp nhận tri thức mới, tạo sự cân bằng mới.
Ví dụ1: “Cho tứ giác lồi ABCD, hãy kẻ một đờng thẳng đi qua A, chia diện tích tứ giác thành hai phần bằng nhau”.
Bài toán này đợc đặt ra sau khi học sinh đã biết khái niệm diện tích, cách tính diện tích tam giác. Tuy nhiên chỉ với những tri thức đó, học sinh cha thể giải ngay đợc bài toán;
*) Quá trình đồng hoá cha đem lại kết quả.
DA A B C E M
*) Nếu có sự điều ứng:
Diện tích của tam giác ACD sẽ không thay đổi nếu ta dịch chuyển D theo đờng thẳng song song với AC, đến vị trí E trên đờng thẳng BC thì diện tích tứ giác ABCD bằng diện tích tam giác ABE.Sự điều ứng này đem lại một lời giải cho bài toán: Nếu BC lớn hơn CE thì đờng thẳng cần tìm là đờng thẳng nối A với trung điểm M của BE.
Nếu BC nhỏ hơn CE thì sao? *) Tiếp tục hoạt động điều ứng:
Dịch chuyển điểm B theo đờng thẳng song song với AC, tơng tự trờng hợp trên: dịch chuyển B đến vị trí F trên đờng thẳng AD. Khi đó diện tích tứ giác ABCD bằng diện tích tam giác CFD nên đờng thẳng cần tìm là đờng nối C với trung điểm N của DF.
Ví dụ2: Cho điểm M (-2; 3). Trên trục toạ độ Ox tìm hai điểm A, B thoả mãn AB = 4, sao cho MA + MB ngắn nhất.
- Học sinh gặp khó khăn khi đứng trớc bài toán này.
- Phải điều ứng: Lấy M’ sao cho: MM'= 4 và MM’ //Ox⇒ M’( -2; 7) - Bài toán trở thành tìm điểm B trên trục Ox sao cho MB + M’B ngắn nhất. Dạng bài toán này đơn giản hơn.
- Sau đó tìm điểm A khi đã có toạ độ điểm B.
Đặc biệt hoá là chuyển từ việc nghiên cứu một tập hợp đối tợng đã cho sang việc nghiên cứu một tập hợp nhỏ hơn chứa trong tập đã cho.
Ví dụ3: “Cho hai đờng tròn không đồng tâm. Tìm quỹ tích của những điểm M sao cho tổng bình phơng các độ dài đoạn tiếp tuyến kẻ từ M đến hai đ- ờng tròn là không đổi”.
Gọi: hai đờng tròn đồng tâm là ( O1; R1 ) và ( O2 ; R2): A, B là hai tiếp điểm của hai tiếp tuyến kẻ từ M lần lợt tới (O1) và (O2).
Bài toán trở thành: Tìm quỹ tích điểm M sao cho MA2 + MB2 = k2
Phân tích: Do hai điểm A, B thay đổi nên sẽ khác biệt với bài toán quỹ tích đơn giản dựa vào công thức đờng trung tuyến mà chúng ta đã từng gặp. Nh- ng hai bài toán này có liên quan tới nhau hay không?
Dễ thấy rằng, quỹ tích phải đối xứng qua đờng nối tâm O1O2 . Nhng để vậy vẫn khó mà xác định đợc quỹ tích.
Ta xét một trờng hợp đặc biệt của bài toán:
“Khi (O2 ) và (O2 ) suy biến thành hai điểm O1và O2 thì quỹ tích những điểm có tổng bình phơng khoảng cách đến hai điểm O1 và O2 bằng một số không đổi là đờng tròn tâm O - là trung điểm của O1O2 chính là bài toán quỹ tích cơ bản”.
Từ đó, chúng ta dự đoán rằng: quỹ tích phải tìm cũng là đờng tròn tâm I. Chọn hệ trục toạ độ Oxy sao cho Ox trùng với đờng thẳng O1O2; Oy trùng với đờng trung trực của O1O2.
(O1): ( x+ a)2 +y2 = R1 2 (O2): (x –a)2+y2 = R2 2 Điểm M (xM ; yM ); 2a = O1O2 Ta có : MA2= MO2 1 - R2 1 = (xM + a)2+ y2 M - R2 1 MB2= MO2 2- R2 2 = (xM - a)2+ y2 M - R2 2 Do đó: MA2+ MB2= k2 ⇔x2 M + y2 M = 4 ) ( 2 2 2 1 22 2 2 1 R k OO R + + − Nếu 4 ) ( 2 2 2 1 22 2 2 1 R k OO R + + − > 0 thì quỹ tích cần tìm là đờng tròn tâm O; bán kính R = 4 ) ( 2 2 2 1 2 2 2 2 1 R k OO R + + − .
Việc xét trờng hợp đặc biệt: (O1); (O2) là các đờng tròn - điểm không những giúp chúng ta dự đoán đúng quỹ tích , tìm đợc lời giải bài toán mà còn trả lời đợc câu hỏi đặt ra ở đầu bài: Quỹ tích tổng bình phơng là đặc biệt hoá của quỹ tích này.
Tơng tự hoá là một kiểu giống nhau nào đó; có thể nói tơng tự là giống nhau nhng ở mức độ xác định hơn. Trong quá trình nghiên cứu khoa học, nhiều ý tởng, giả thuyết có đợc nhờ sự tơng tự với một kết quả đã đợc công nhận trớc đó.
Đối với học sinh, tơng tự đóng vai trò quan trọng trong việc rèn luyện t duy sáng tạo của ngời học. Để giải một bài toán, chúng ta thờng nghĩ về một bài toán tơng tự dễ hơn và tìm cách giải bài toán ấy. Sau đó để giải bài toán ban đầu, ta lại dùng bài toán tơng tự dễ hơn đó làm mô hình.
Ví dụ 4: “Cho tứ diện vuông OABC vuông tại O. Gọi chân đờng cao của tứ diện hạ từ O là H. Chứng minh rằng: 1 2 12 12 1 2 OC OB OA OH = + + ”
Bằng cách thay đổi các biểu tơng tự hình học không gian thành hình học phẳng ta có bài toán tơng tự dễ hơn:
“Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi chân đờng cao hạ từ A. Chứng minh rằng:
1 2 12 12
ACAB AB
AH = + ”
Khái quát hoá là chuyển khái niệm, các tính chất nào đó từ tập hợp này sang tập hợp rộng hơn, hay mở rộng khái niệm, tính chất ngay trên tập đó. Dùng trí óc tách ra cái chung trong các đối tợng, hiện tợng, sự kiện.
Theo Nguyễn Ngọc Khuê: “Sự phát triển đi lên của toán học là một quá trình khái quát. Những hiểu biết lẻ tẻ dần dần đợc thống nhất lại một quá trình khái quát. Mỗi lần đạt đợc sự khái quát hoá nh vậy, không những chúng ta có một công cụ lợi hại hơn để chứng minh những hiểu biết cũ theo một cách nhìn thống nhất mà còn là công cụ để sáng tạo cái mới.”
Muốn khái quát hoá thờng phải so sánh nhiều đối tợng, hiện tợng, sự kiện với nhau từ đó rút ra các đặc điểm chung, đặc điểm bản chất để phát hiện vấn đề.
Hoạt động biến đổi đối tợng thể hiện trong tiến trình chủ thể t duy làm bộc lộ đối tựơng của hoạt động (nh các khái niệm toán học, các quy luật về mối liên hệ giữa các đối tợng toán học, các quan hệ giữa chúng); và cũng có thể thấy đợc các ý tởng hoạt động biến đổi đối tợng hiện rõ trong tiến trình biến đổi liên tục hình thức tồn tại của đối tợng cho đến khi hệ thống tri thức đã có của học sinh dễ dàng huy động để chủ thể có thể xâm nhập vào đối tợng; hiểu chúng, giải thích và vận dụng chúng với t cách là sản phẩm thực sự của hoạt động.
Đối tợng trong hoạt động nhận thức lúc đầu tồn tại độc lập với chủ thể học sinh. Khi đối tợng đợc làm bộc lộ là nhu cầu, động cơ của chủ thể thì đối t- ợng hớng chủ thể vào hoạt động làm bộc lộ rõ dần sản phẩm của đối tợng - tri thức mới.
Nh vậy hoạt động biến đổi đối tợng là quá trình chủ thể dùng hành động trí tuệ, các thao tác t duy dựa trên các tri thức kinh nghiệm đã có để xâm nhập vào đối tợng nghiên cứu thông qua biến đổi cấu trúc của đối tợng, bao gồm các mối liên hệ, quan hệ chứa trong đối tợng nhằm biến đổi đối tợng thành sản phẩm.
Ví dụ5: Khi học sinh tiếp cận với bài toán:
“Tính tổng sau: Pn = 1 + 2x + 3x2 + ....+ nx n−1 ”
Học sinh gặp phải khó khăn vì kiến thức đã có của họ cha gắn kết với cái mới, đối tợng cha đợc bộc lộ.
Quá trình biến đổi:
*) Nếu xét khả năng x = 1 Ta có: Pn = 1 + 2 + 3+....+ n = 2 )1 (n+ n *) Nếu x ≠1 Xét tổng phụ sau: Sn = x + x2 + ....+ xn−1+ xn = 1 ) 1 ( − − x x x n Pn = S' n = 1 ' 1 −− + x x xn = 2 1 )1 ( )1 ( 1 − + − ++ x x n nxn n
Nh vậy quá trình hoạt động biến đổi đối tợng đã làm thay đổi hình thức bài toán, làm bộc lộ đối tợng để từ đó học sinh có thể dùng kiến thức đã có để giải quyết bài toán. (Tổng phụ Sn là tổng n số hạng trong cấp số nhân có U1= x; công bội q = x).