1.3.3.1 Tri thức về phơng pháp tìm đoán nhằm phát hiện và giải quyết vấn đề
Trong sơ đồ dạy học theo lý thuyết kiến tạo, “dự đoán” là việc làm của học sinh trong quá trình giải quyết nhiệm vụ học tập chứ không phải là “thầy làm thay trò”. Dự đoán theo đúng nghĩa của nó có vai trò cực kỳ quan trọng trong tất cả các pha dạy học toán: dạy học khái niệm; dạy học định lý; dạy học giải bài tập toán...
G.Polya đã phát biểu: “Toán học đợc coi nh là một môn khoa học chứng minh. Tuy nhiên, đó mới là một khía cạnh của nó. Toán học hoàn chỉnh đợc trình bày dới hình thức hoàn chỉnh, đợc xem nh chứng minh thuần tuý, chỉ bao gồm các chứng minh. Nhng Toán học trong quá trình hình thành gợi lại mội kiến thức khác của nhân loại trong quá trình hình thành. Bạn phải dự đoán về một định lý Toán học trớc khi bạn chứng minh nó. Bạn phải dự đoán về ý nghĩa của chứng minh trớc khi tiến hành chứng minh chi tiết”. G.Polya đánh giá, trong số những hoạt động trí tuệ trong giải toán, dự đoán chiếm một vị trí trung tâm.
Sơ đồ tổng quát về hoạt động trí tuệ trong giải toán:
Kết hợp Bổ sung Nhóm lại Nhận biết Nhớ lại Động viên Tổ chức Tách biệt Dự đoán
Ngay sau khi đọc kỹ đề bài toán, ngời giải cố gắng dự đoán phạm vi đi tìm lời giải, phạm vi này có thể còn mơ hồ, thậm chí có thể còn phần nào không đúng. Trên cơ sở của dự đoán ấy ta có thể có đợc cái toàn thể ban đầu, cái tổng hợp...
Dự đoán đợc hiểu theo một nghĩa rất rộng mà trong đó rất quan trọng đó là đoán ra phơng hớng giải quyết bài toán. Chẳng hạn nh quan sát hình thức bài toán ta thấy các con số, các ký hiệu hơi phức tạp thì nhiều khi nếu đoán đợc rằng bài toán ấy sẽ đợc giải theo con đờng không mẫu mực, tìm cách đánh giá chứ không phải là biến đổi theo cách thông thờng; việc dự đoán đôi khi lại đóng vai trò then chốt trong quá trình tìm kiếm lời giải.
Để có năng lực dự đoán vấn đề học sinh cần đợc rèn luyện các kỹ năng xem xét các đối tợng toán học, các quan hệ toán học trong mối quan hệ giữa cái chung và cái riêng, trong mối quan hệ nhân quả, phát hiện những bớc chuyển hoá về lợng sẽ dẫn đến sự thay đổi về chất; xem xét đối tợng toán học trong sự mâu thuẫn và thống nhất giữa các mặt đối lập; xem xét một đối tợng toán học đồng thời xem xét phủ định của đối tợng đó; kỹ năng thực hiện các thao tác t duy phân tích - tổng hợp; đặc biệt hoá - khái quát hoá; năng lực liên tởng các đối tợng.
Trong quá trình kiến tạo kiến thức, không phải lúc nào chúng ta cũng đi đúng hớng, cũng đa ra những dự đoán đúng. Tính đúng sai của các dự đoán còn cần phải đợc kiểm nghiệm bằng chứng minh rồi mới khẳng định đợc. Nhng dù thế nào đi nữa thì dự đoán cũng có vai trò thúc đẩy sự phát triển của Toán học. Chẳng hạn khi dạy học giải bài tập Toán:
“Cho hai đờng tròn (O1 ) và (O2). Tìm quỹ tích của những điểm M sao cho tổng bình phơng các độ dài đoạn tiếp tuyến kẻ từ M đến hai đờng tròn là không đổi”
Khi giảng dạy bài toán này, giáo viên có thể hớng dẫn cho học sinh đặc biệt hoá bài toán khi xét hai đờng tròn suy biến thành hai điểm O 1 và O 2 . Khi đó bài toán trở thành: “Tìm quỹ tích điểm M sao cho MO2
1 +MO 2
2
trung điểm của O1O2 . Từ đó dự đoán quỹ tích trong bài toán cần tìm là đờng tròn tâm O là trung điểm của đoạn O1O2 .
Kinh nghiệm giải Toán đúc rút cho chúng ta một số con đờng thông dụng để dự đoán:
- Dự đoán bằng đặc biệt hoá; - Dự đoán bằng tơng tự hoá; - Dự đoán bằng tổng quát hoá;
- Dự đoán bằng quy nạp (xuất phát từ cái riêng để dự đoán cái chung). Ngày nay, cùng với sự phát triển của công nghệ tin học đã cho ra đời rất nhiều phần mềm hỗ trợ dạy học có thể giúp ích rất nhiều trong việc dự đoán và kiểm tra các giả thuyết nh phần mềm G.Sketchpad, phần mềm Cabri...
1.3.3.2. Tri thức phơng pháp để kiểm nghiệm
Theo G.Polya, trong quá trình dạy học hãy cố gắng thôi thúc cho học sinh “phát huy óc tò mò và sáng kiến”, “mở ra trớc mắt họ những khả năng rộng lớn” để làm quen với mọi tình huống đa dạng thờng gặp trong quá trình học tập, quá trình nghiên cứu khoa học. Tạo lập cho học sinh có thói quen khi giải quyết xong một bài toán nào đó dành thời gian để suy nghĩ, nghiền ngẫm về lời giải bài toán, về phơng pháp giải. Tự đặt cho mình những câu hỏi bổ ích: “Khâu nào trong quá trình giải bài toán là quan trọng nhất? Khó khăn chủ yếu ở chỗ nào? Có phơng pháp giải nào khác không? Bài toán gốc của bài toán này là gì? Các dữ kiện cho trong bài có gì đặc biệt không? Nếu thay đổi điều kiện liệu bài toán có thể giải đợc không? Bài toán tổng quát của bài toán này là gì?...Việc nghiền ngẫm và tìm câu trả lời cho những câu hỏi này giúp học sinh có thể tự kiểm nghiệm kiến thức, tự xây dựng nên các kiến thức mới về phơng pháp cũng nh tạo ra đợc các bài toán mới”.
Để khẳng định tính chính xác hay bác bỏ một giả thuyết đặt ra trong quá trình hình thành kiến thức mới yêu cầu ngời học sinh phải lập luận có căn cứ chính xác. Yêu cầu này đòi hỏi từng bớc trong lời giải phải có cơ sở lập luận,
phải dựa vào các định nghĩa, định lý, công thức... đã học, đặc biệt phải đảm bảo thoả mãn điều kiện nêu trong giả thuyết.
1.3.3.3. Tri thức phơng pháp trong hoạt động nhằm điều chỉnh các hoạt động thích nghi
Khi có một nhiệm vụ nhận thức đặt ra đối với chủ thể của hoạt động, các sơ đồ nhận thức đợc huy động để giải quyết nhiệm vụ đó. Nếu sau khi kiểm nghiệm có sự tơng ứng, tơng thích giữa nhiệm vụ với các sơ đồ nhận thức - ta nói rằng có một sự đồng hoá xảy ra. Kết quả: nhiệm vụ nhận thức đợc giải quyết, phạm vi áp dụng sơ đồ nhận thức đợc mở rộng thêm - có sự thích nghi; sự thích nghi là quá trình thiết lập lại sự cân bằng mới, phù hợp nhng ở mức độ cao hơn sau khi một sự cân bằng bị phá vỡ.
Ví dụ giải bài toán:
Cho hàm số f(x) = x2 + ax + b ∀x∈R
Chứng minh rằng: f(x) + f’(x) + f”(x) > 0 ∀x ∈ R. Tri thức dự đoán: + Hàm số bậc hai
+ Biệt thức ∆
+ Xét dấu ∆
+ Tính đạo hàm Tri thức kiểm nghiệm:
f’(x) = 2x + a f’’(x) = 2 f(x) + f’(x) + f”(x) = x 2 +(a+2)x + (b + a) (*) Ta có f(x) >0 ∀x ⇔ < − = ∆ > 0 4 0 1 2b a f Xét: ∆* = (a+2)2- 4(a+ b + 2) <∆f<0 → (đpcm) Cho bài toán mới:
Cho f(x) = x 4 +ax3+bx2 +cx+d Giả sử f(x) > 0 với mọi x.
Chứng minh rằng g(x) = f(x) + f’(x) + f”(x) + f’”(x) + f( )4 (x) > 0 với mọi x.
Nếu có dùng phơng pháp nh ở trên sơ đồ nhận thức trên thì đều không dùng đợc để giải.
Có thể có sự điều ứng diễn ra.
Có một giá trị x
0 sao cho:
+) f(x) đạt giá trị nhỏ nhất tại x0. +) Tại x0 hàm số có cực tiểu
Hàm số bậc 4 có một điểm vừa đạt cực tiểu vừa có giá trị NN,
∃ x * sao cho: g(x * ) là giá trị NN g có cực tiểu tại x * Chỉ cần chứng minh g(x* ) > 0. g’(x) = ( f(x) + f’(x) + f”(x) + f’”(x) + f( )4 (x) )’ = f’(x) + f”(x) + f’”(x) + f( )4 (x) = g(x) - f(x) 0 = g’(x* ) = g(x * ) - f(x * ). Vậy g(x * ) = f(x* ) > 0 (đpcm).
1.3.4. Quá trình tổ chức dạy học Toán ở trờng phổ thông theo lí thuyếtkiếntạo