a. Dạy học tường minh tri thức phương pháp
Dạy học tường minh tri thức phương pháp được phát biểu một cách tổng quát là một trong những cách thể hiện đối với những tri thức được quy định một cách tường minh trong chương trình. Mức độ hoàn chỉnh của tri thức phương pháp cần dạy và mức độ chặt chẽ của quá trình hình thành những tri thức phương pháp đó được quy định trong chương trình và SGK hoặc cũng có khi được giáo viên quyết định căn cứ vào điều kiện cụ thể của lớp học.[27]
Ví dụ: Dạy học khái niệm “Diện tích đa giác”[9]: “Diện tích đa giác” là một khái niệm khó, được dạy ở lớp 8. Lâu nay, GV thường tiến hành diễn giảng nhằm giải thích cho học sinh hiểu định nghĩa có tính chất tiên đề được viết trong sách giáo khoa (cũ) như sau:
Nếu ta đã chọn một đơn vị đo diện tích thì mỗi đa giác có một diện tích. Diện tích đa giác có các tính chất cơ bản sau:
1) Hai tam giác bằng nhau thì có diện tích bằng nhau.
2) Nếu một đa giác được chia thành những đa giác không có điểm trong chung thì diện tích của nó bằng tổng diện tích của những đa giác đó.
Như vậy, người ta có thể đặt tương ứng mỗi đa giác một số dương duy nhất, gọi là diện tích của đa giác đó.
Bằng phương pháp dạy học tích cực, theo sách giáo khoa (mới) bài học này có thể được tiến hành theo các bước sau:
- Bước 1: Gợi động cơ
GV đặt vấn đề: Ở các lớp dưới, ta đã học số đo của một đoạn thẳng (còn
gọi là độ dài đoạn thẳng) và số đo của góc; chẳng hạn: đoạn thẳng AB có độ dài
là 3cm, góc AOB có số đo là 450. Ta cũng đã quen với “diện tích” chẳng hạn
nói: Sân trường em có diện tích khoảng 600m2. Miếng gạch vuông ốp tường có
cạnh bằng 1dm và có diện tích bằng 1dm2.
- Bước 2: Tiến hành hoạt động.
GV: Hoạt động dưới đây giúp ta hiểu: diện tích cũng là một số đo và diện tích có những tính chất gì?
Hình 1.31
Xét các hình A, B, C, D, E vẽ trên lưới kẻ ô vuông, mỗi ô vuông là một đơn vị diện tích (Hình 1.31)
a) Kiểm tra xem có phải diện tích hình A là diện tích 9 ô vuông, diện tích hình B cũng là diện tích 9 ô vuông hay không?
Ta nói: diện tích hình A bằng diện tích hình B.
b) Vì sao ta nói: diện tích hình D gấp 4 lần diện tích hình C ? c) So sánh diện tích hình C với diện tích hình E ?
Qua hoạt động, học sinh làm quen với thuật ngữ “diện tích” (đã được học ở Tiểu học), học sinh thực hiện nhiệm vụ đặt ra dựa vào kinh nghiệm vốn có của mình, tiên hành hoạt động một cách trực quan, mò mẫm, trong đó có sử dụng
C D
A
B
một cách không tường minh các tính chất của diện tích đa giác làm công cụ trong các hoạt động thành phần.
Kết thúc hoạt động, học sinh hiểu được “diện tích” là một số đo. Vì là số đo nên có thể nói “Hai diện tích bằng nhau”, “Diện tích này gấp 4 lần diện tích kia”. Để đo diện tích cần có đơn vị đo diện tích; trong hoạt động này đơn vị đo diện tích là một ô vuông. Mỗi đa giác có một diện tích xác định, nhiều đa giác khác nhau có thể có cùng một diện tích, diện tích đa giác là một số thực dương.
Hoạt động trực quan trên đây tạo dựng cho học sinh một số biểu tượng cần thiết để có thể tiếp cận không khiên cưỡng khái niệm “diện tích đa giác” và cũng từ đó, học sinh thấy nhu cầu phải phát biểu các tính chất của diện tích một cách tường minh, có tính chất lý thuyết.
- Bước 3: Trình bày kiến thức mới :
Về “diện tích đa giác” cùng với ba tính chất của nó, ta biết rằng:
+ Khái niệm diện tích miền đa giác được học ở lớp 8. Ta nói gọn là diện tích đa giác. Đoạn thẳng và đa giác là hai khái niệm khác nhau không thể xem là tương tự. Tuy nhiên, ta có thể xem “độ dài đoạn thẳng” và “diện tích đa giác” là hai khái niệm tương tự nhau. Về mặt sư phạm, trong SGK phổ thông độ dài đoạn thẳng được xem là khái niệm cơ bản (công nhận, không định nghĩa) còn khái niệm diện tích đa giác thì được định nghĩa.
+ Về mặt toán học có thể định nghĩa diện tích đa giác như sau: Diện tích đa giác là hàm S(F) thoả mãn các yêu cầu sau:
.Một là: Hàm S(F) không âm với mọi hình đa giác F.
.Hai là: Nếu hình đa giác F bằng hình đa giác F’ thì S(F) = S(F’).
.Ba là: Nếu hình đa giác F được chia thành các hình đa giác F1, F2 không có điểm trong chung thì S(F) = S(F1) + S(F2).
.Bốn là: Diện tích hình vuông Q có cạnh bằng đơn vị dài thì có diện tích là một đơn vị vuông: S(Q) = 1.
Với định nghĩa này phải chứng minh rằng mỗi đa giác có một diện tích xác định (tồn tại duy nhất). Việc chứng minh này vượt quá trình độ phổ thông.
+ Những khái niệm “độ dài”, “diện tích” đã từ lâu được sử dụng trong hoạt động thực
tiễn của con người, nhưng chúng là những khái niệm toán học phức tạp và mới được
các nhà toán học làm rõ trong thế kỷ vừa qua.
+ Đo trực tiếp diện tích một hình nào đó bằng đơn vị vuông là rất phức tạp, kể cả trường hợp đối với hình chữ nhật. Vì vậy ta tìm cách đo một số kích thước nào đó của hình rồi dùng công thức để tính ra diện tích đó.
Để xây dựng công thức tính diện tích ta dùng ba tính chất của diện tích và đặc biệt là tính chất cộng tính (Nếu F F= ∪1 F , F2 1∩ = φF2 thì S F( ) =S F( ) ( )1 +S F2 ).
Tính chất này được áp dụng nhiều nhất trong lí thuyết cũng như trong thực hành tính toán về diện tích.
- Bước 4: Củng cố, luyện tập:
Bước này HS được yêu cầu tính diện tích của một số hình trên lưới ô vuông tương tự.
b. Thông báo tri thức phương pháp trong quá trình hoạt động.
Ở đây tri thức phương pháp không phải là đối tượng chủ yếu của một tình huống dạy học cụ thể mà chỉ cần được thông báo trong quá trình dạy học. Thông báo này có thể được lặp lại trong nhiều cơ hội khác nhau, ở nhiều thời điểm khác nhau. Đây là những trường hợp thường áp dụng cho các tri thức phương pháp chưa được quy định trong chương trình nhưng phải thoả mãn các yêu cầu: + Những tri thức phương pháp này giúp học sinh dễ dàng thực hiện một số hoạt động quan trọng nào đó được quy định trong chương trình.
+ Việc thông báo những tri thức này dễ hiểu và tốn ít thời gian.
Ví dụ: Cho bài toán: “Cho hình vuông ABCD. Gọi E là điểm nằm trên cạnh AB. Đường thẳng đi qua E, song song với AC, cắt BC tại F. Chứng minh rằng EF vuông góc với BD”.
Câu b) Sắp xếp 6 ý dưới đây một cách hợp lí để có chứng minh của bài toán trên:
(1) Vậy EF vuông góc với BD (2) Ta có EF song song với AC (3) Vậy AC vuông góc với BD
(4) Nếu một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì nó cũng vuông góc với đường thẳng kia
(5) Ta có ABCD là một hình vuông
(6) Trong một hình vuông thì hai đường chéo bằng nhau, và vuông góc với nhau tại trung điểm của mỗi đường.
Câu c) Hãy trình bày lại cách chứng minh một cách gọn hơn.
Đây chính là dạng bài tập chuẩn bị cho việc chứng minh một bài toán như thế nào? Cách trình bày như thế nào? HS học cách CM có căn cứ và hiểu sơ đồ của một chứng minh. Bài toán trên tập dần cho HS từ cách diễn đạt đầy đủ, cần phải có, đến cách trình bày rút gọn. Từ đó HS có phương pháp khi gặp lại các bài toán CM hình hoc.
Hay như “Quy lạ về quen" là một tri thức phương pháp không được quy
định trong chương trình nhưng thoả mãn cả hai yêu cầu trên. Tri thức này có thể được thông báo chohọc sinh trong quá trình họ hoạt đọng ở rất nhiều cơ hội khác nhau, như:
Ví dụ: Để CM hai góc bằng nhau ta có thể quy về : + CM chúng cùng bằng góc thứ ba.
+ CM chúng cùng phụ hoặc cùng bù với một góc nào đó + CM 2 tam giác bằng nhau hoặc đồng dạng chứa 2 góc đó
+ CM 2 đường thẳng song song có 2 góc trên ở vị trí so le trong hoặc đồng vị,.. + CM các cạnh tạo bởi hai góc đó là những đường thẳng tương ứng song song hoặc tương ứng vuông góc.
+ CM chúng là 2 góc nội tiếp cùng chắn một cung hoặc 2 cung bằng nhau trong một đường tròn, ...
Tương tự: Để CM 2 đoạn thẳng bằng nhau ta có thể quy về CM 2 tam giác bằng nhau hoặc CM cùng bằng đoạn thứ 3 nào đó, hoặc CM 2 góc nội tiếp trong một đường tròn (chắn 2 đoạn thẳng đó) bằng nhau,...
c. Truyền thụ ngầm ẩn thông qua việc tập luyện những HĐ ăn khớp với tri thức phương pháp.
Trong trường hợp này tri thức phương pháp không được trình bày một cách tổng quát, tường minh dưới dạng một quy tắc, một thuật toán; nó cũng không được thông báo một cách rõ ràng trong quá trình HĐ. Học sinh lĩnh hội nó một cách ngầm ẩn nhờ vào việc được thực hiện nhiều HĐ tương thích với một chiến lược, một định hướng giải quyết chung. Nói cách khác, đó là những HĐ ăn khớp với tri thức phương pháp đang được nói đến. Mức độ hoàn chỉnh của tri thức phương pháp này rất khác nhau ở mỗi HS vì nó hiện diện ở HS như một kinh nghiệm mà họ tự rút ra được từ nhiều HĐ khác nhau.[23]
Như vậy, cách thức này có thể áp dụng đối với các tri thức phương pháp được quy định rõ hay chỉ ngầm ẩn trong chương trình, SGK.
Để HS lĩnh hội tốt hơn tri thức phương pháp ta đang xét, người GV thường phải tổ chức các HĐ theo một mục đích xác định trước chứ không thể tuỳ tiện. Những tri thức phương pháp này cần được GV vận dụng một cách có ý thức trong việc ra bài tập, trong việc hướng dẫn và nhận xét hay bình luận các HĐ của HS. Nhờ những việc làm đó, HS được làm quen và có thể vận dụng trong quá trình HĐ.
Ví dụ: Hướng dẫn học sinh chứng minh định lí “số đo của góc nội tiếp bằng nửa số đo của cung bị chắn” - lớp 9 – thông qua 5 hoạt động sau:
(a) (b) (c) Hình 1.32
Hoạt động 1. Quan sát góc nội tiếp trong ba hình vẽ sau và nói rõ trong mỗi trường hợp có đặc điểm gì, định lí yêu cầu chứng minh điều gì?
Hoạt động 2. Chứng minh định lí trong trường hợp tâm đường tròn nằm trên một cạnh của góc nội tiếp (hình 1.32a).
Hướng dẫn: Trong trường hợp này góc nội tiếp có số đo nhỏ hơn 900, cung bị
chắn là cung nhỏ, số đo của cung nhỏ bằng số đo của góc ở tâm chắn cung đó. Hãy sử dụng định lí về góc ngoài của tam giác để chứng minh.
Hoạt động 3. Chứng minh định lí trong trường hợp tâm đường tròn nằm bên trong góc nội tiếp (hình 1.32b).
Hướng dẫn: Đưa về trường hợp ở hoạt động 2 rồi cộng góc, cộng cung.
Hoạt động 4. Chứng minh định lí trong trường hợp tâm đường tròn nằm bên ngoài góc nội tiếp (hình 1.32c).
Hướng dẫn: Đưa về trường hợp ở hoạt động 2 rồi trừ góc, trừ cung.
Hoạt động 5. Phát biểu hệ quả của định lí trên trong trường hợp góc nội tiếp là góc vuông.
Như vậy hoạt động 1 giúp học sinh tìm hiểu nội dung định lí, phát hiện
được các trường hợp phải phân biệt trong phép chứng minh, đồng thời nhấn mạnh: định lí nói về quan hệ giữa số đo của góc nội tiếp và số đo của cung bị chắn, chứ không phải với số đo của góc ở tâm cùng chắn một cung. Ta có tính
chất: Mọi góc nội tiếp (nhỏ hơn hoặc bằng 900) có số đo bằng nửa số đo của góc
ở tâm cùng chắn một cung.
Với hoạt động 2 các hình vẽ ở hoạt động 1 là gợi ý: trước hết nên chứng
minh trường hợp tâm đường tròn nằm trên một cạnh của góc nội tiếp.
Với hoạt động 3, trường hợp này (tâm đường tròn nằm bên trong góc nội tiếp) thì góc nội tiếp có thể là nhọn, vuông hay tù. Việc vẽ thêm tia nằm giữa (nằm trên đường kính đi qua đỉnh góc nội tiếp) không gặp khó khăn đối với học sinh.
Với hoạt động 4, đây là trường hợp phức tạp hơn vì phải vẽ thêm góc nội tiếp có cạnh đi qua tâm đường tròn., HS cần tư duy lại và áp dụng các trường hợp ở các hạt động trước đó.
Với hoạt động 5 có thể xem tính chất sau đây là hệ quả của định lí vừa chứng minh: “Mọi góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông và ngược lại, mọi góc vuông nội tiếp chắn nửa đường tròn”