Theo từ điển Tiếng Việt [34]: "Phương pháp là cách thức cần thực hiện để giải quyết một kiểu nhiệm vụ nào đó".
Phương pháp có thể được tích luỹ từ trong kinh nghiệm sống hoặc trong quá trình nghiên cứu khoa học cụ thể.
Người ta thường phân biệt 2 loại phương pháp:
+ Phương pháp có tính chất thuật toán: là những phương pháp có đặc trưng của một thuật toán theo nghĩa rộng.
+ Phương pháp có tính chất tìm đoán: Ở trường THCS, không phải lúc nào ta cũng tìm được các phương pháp có tính chất thuật toán hay thuật giải để giải quyết các vấn đề. Khi đó việc nắm được một số chỉ dẫn hay một số lời khuyên “có lý” có thể cho phép tìm được lời giải bài toán đặt ra, vì những ý tưởng và lời khuyên này có thể gợi ra những ý tưởng, những định hướng hợp lý cho việc tìm kiếm lời giải. Trong trường hợp này ta nói rằng đã vận dụng phương pháp có tính chất tìm đoán. Trong thực tiễn giải toán hình học có những bài toán giải
bằng phương pháp tổng hợp cần phải mò mẫm, dự đoán, vẽ các đường phụ phức tạp mới có thể tìm được lời giải. Trong những trường hợp nói trên cần vận dụng các phương pháp có tính chất tìm đoán dựa vào các suy luận có lý; xem xét các trường hợp đặc biệt, các trường hợp riêng, liên tưởng đến các bài toán đã giải mới có thể tìm được lời giải.
Ví dụ: Cho tam giác ABC. Xác định vị trí điểm M nằm trong tam giác ABC sao cho: AM . BC + BM .CA + CM . AB đạt giá trị nhỏ nhất.
Nhận xét: Xem xét nội dung bài toán HS thường nghĩ tới việc phải xét bài toán
trong 3 trường hợp: ∆ABC nhọn; ∆ABC vuông và ∆ABC tù. Nhưng thật khó
để xác định M sao cho tổng các tích trên nhỏ nhất. GV có thể dùng 4 bước để giải một bài toán của G.Polya nhằm kích thích HS suy nghĩ và tìm cách giải. HS có thể liên tưởng đến một bài toán quen thuộc đó là: “Xác định vị trí của một điểm trong tam giác sao cho tổng khoảng cách từ điểm đó tới 3 đỉnh của tam giác là nhỏ nhất”.
Tuy nhiên có sự khác biệt ở đây là: Bài toán này không chỉ đơn thuần liên quan tới tổng khoảng cách của các đoạn thẳng mà nó còn liên quan tới cả tích các đoạn thẳng khác nữa. Như vậy việc xác định M trong tam giác là khó. HS cần hướng tới việc kẻ thêm đường phụ để làm xuất hiện và tạo điều kiện so sánh từng tích trong tổng trên với những đường kẻ thêm ( chú ý rằng: 3 tích này có hình thức tương tự nhau). Có thể là các đường vuông góc được không?
Trường hợp 1: Nếu ∆ ABC có 3 góc nhọn, GV gợi ý HS vẽ thêm BB1 và CC1 tương ứng vuông góc với đường thẳng AM
Ta có: SAMB+ SAMC = 21 AM.BB1 +12 CM.CC1 = 21 AM (BB1 +CC1)≤12
AM.BC
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi AM ⊥ BC.
Tương tự: SBMC+SBMA≤21 BM.AC. Dấu “=” xảy ra khi BM⊥AC
B1 M C1 C B A Hình 1.17 Cộng từng vế 3 bất đẳng thức trên ta có: 2(SAMB+SBMC+SCMA)≤21 (AM.BC+BM.CA+CM.AB) => AM.BC+BM.CA+CM.AB≥ 4.SABC
Vậy: Min (AM.BC+BM.CA+CM.AB) = 4.SABC AM⊥BC
<=> BM ⊥CA => M là trực tâm của ∆ABC. CM ⊥ AB
Trường hợp 2:(Hình 1.18). Nếu tam giác ABC vuông, chẳng hạn ∠ A = 900 Dễ thấy M trùng với A. Khi đó: MA= 0; MB = AB; MC = AC
=>Min(AM.BC+BM.CA+CM.AB)=2.AB.AC = 4.SABC
Hình 1.18
Trường hợp 3: Nếu tam giác ABC có một góc tù, chẳng hạn góc A > 900.
HS có thể liên tưởng và áp dụng ngay trường hợp 2 vào đây bằng cách vẽ
tia Ax⊥AC (với Ax nằm trong nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng AC chứa
GV: Như vậy ta đã di chuyển: thay vì xét trong tam giác ABC ta sẽ xét trong tam giác vuông APC có điểm M nằm trong (chính là trường hợp 2).
x P M C B A Hình 1.19
Thật vậy: Xét điểm M nằm trong tam giác APC. Vì ∆ABP cân tại A
=> ∠APB=∠ABP
Ta có: ∠MPB ≥ ∠APB = ∠ABP ≥ ∠MBP => MB≥MP
=> ∠CPB>∠CBP => CB>CB’
Do đó: AM.BC+BM.CA+CM.AB≥AM.CP+MP.CA+CM.AP≥4SAPC
Mà 4SAPC=2AP.AC=2AB.AC không đổi.
Vậy : Min (AM.BC+BM.CA+CM.AB)= 2.AB.AC khi M≡ A.
1.4.3. Một số dạng tri thức phương pháp thường gặp trong HĐ dạy học hình học ở trường THCS
(a). Những tri thức phương pháp định hướng cho hoạt động nhận thức
+Những tri thức phương pháp tiến hành những hoạt động toán học cụ thể, như: Nhận dạng 1 loại hình nào đó, vẽ hình theo yêu cầu, ghi giả thiết- kết luận , xác định hình chiếu hay hình đối xứng của một đoạn thẳng,…
+ Những tri thức phương pháp tiến hành những hoạt động toán học phức hợp như : định nghĩa, chứng minh, xác định giao của một đường thẳng với một mặt phẳng,…
+ Những tri thức phương pháp tiến hành hoạt động trí tuệ phổ biến trong môn Toán như: Hoạt động phân chia các trường hợp…
+ Những tri thức phương pháp tiến hành những hoạt động trí tuệ chung như: so sánh, khái quát hoá, trừu tượng hoá…
+ Những tri thức về phương pháp tiến hành những hoạt động ngôn ngữ, lôgic như: thiết lập mệnh đề đảo của một mệnh đề cho trước, liên kết hai mệnh đề thành tuyển hay hội của chúng…
(b) Nếu xét về nội dung cơ bản thì tri thức phương pháp thường có hai dạng: + Những tri thức phương pháp có tính chất thuật toán,
+ Những tri thức phương pháp có tính chất tìm đoán.
(c) Nếu xem xét tri thức phương pháp dưới hình thức các yếu tố cần hình thành phương pháp cho HS ta có thể nghĩ đến như:
+ Ý tưởng về phương pháp giải + Tri thức quy trình
+ Tri thức lý thuyết biến thành tri thức phương pháp + Các bài toán phụ trở thành tri thức phương pháp mới