1.4.1. Khái niệm về thuật toán
- Theo nghĩa chặt: Thuật toán là một dãy thứ tự các thao tác được thực hiện trên một số hữu hạn các số liệu và đảm bảo sau một số hữu hạn bước sẽ đạt một kết quả nào đó.[17]
+ Tính hữu hạn: Số bước cần thực hiện, số dữ liệu, số thao tác cần làm trong mỗi bước đều hữu hạn.[17]
+ Tính xác định: Thể hiện tính rõ ràng, không mập mờ và thực thi được của các thao tác qua từng bước.[17]
+ Tính đúng đắn: Với dữ liệu cho trước, sau một số bước hữu hạn thì thuật toán đảm bảo đem lại kết quả và kết quả này là duy nhất.[17]
Ví dụ: Ta đã biết công thức tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác là: r = PS (Với S là diện tích tam giác và p là nửa chu vi của tam giác). Tuy nhiên việc tìm ra công thức tổng quát đó HS cần phải qua một số bước đó là:
Bước 1: Nối tâm O của đường tròn nội tiếp tam giác ABC với các đỉnh của tam giác đó: Nối OA, OB, OC
Hình 1.16
Bước 2: Tính diện tích S của ∆ABC theo diện tích các tam giác nhỏ: ∆AOB,
∆AOC, ∆BOC ta có;
SAOB= r2.c ; SAOC= r2.b ; SBOC= r2.a
Suy ra: S = SAOB+ SAOC + SBOC=ra+rb2 +rc= r(a+2b+c)= r.P Bước 3: Từ S= r.P => r = PS
Như vậy nếu biết diện tích và nửa chu vi của một tam giác thì ta tính được bán kính đường tròn nội tiếp tam giác đó.
- Theo nghĩa rộng: Thuật toán là một dãy hữu hạn các bước được thực hiện theo một thứ tự nhất định để giải quyết một nhiệm vụ nào đó.
Với nghĩa này, các bước cần thực hiện theo thứ tự nhất định có thể không mang đầy đủ những đặc trưng đã nêu theo nghĩa chặt. Như vậy mỗi chỉ dẫn trong một bước có thể chưa mô tả một cách xác định hành động cần thực hiện;
có thể mỗi bước không thực thi được; kết quả thực hiện mỗi bước có thể không duy nhất; việc thực hiện đầy đủ một dãy hữu hạn các bước không đảm bảo chắc chắn đem lại kết quả. Chẳng hạn xét một ví dụ về thuật toán theo nghĩa rộng dưới đây:
Ví dụ: Phương pháp giải bài toán bằng cách lập phương trình. Ta có các bước thực hiện như sau [16]:
+ Bước 1: Chọn ẩn số. đặt điều kiện cho ẩn số và biểu diễn các đại lượng chưa biết qua ẩn số cùng với các đại lượng đã biết.
+ Bước 2: Lập phương trình thể hiện mối liên hệ giữa các đại lượng.
+ Bước 3: Giải phương trình vừa lập được.
+ Bước 4: Đối chiếu điều kiện, kiểm tra kết quả và kết luận.
Trong các bước trên, bước 1 không có kết quả duy nhất vì có thể có nhiều
phương án chọn ẩn khác nhau và do đó phương trình đạt được ở bước 2 cũng sẽ
có nhiều hình thức khác nhau.
1.4.2. Khái niệm phương pháp
Theo từ điển Tiếng Việt [34]: "Phương pháp là cách thức cần thực hiện để giải quyết một kiểu nhiệm vụ nào đó".
Phương pháp có thể được tích luỹ từ trong kinh nghiệm sống hoặc trong quá trình nghiên cứu khoa học cụ thể.
Người ta thường phân biệt 2 loại phương pháp:
+ Phương pháp có tính chất thuật toán: là những phương pháp có đặc trưng của một thuật toán theo nghĩa rộng.
+ Phương pháp có tính chất tìm đoán: Ở trường THCS, không phải lúc nào ta cũng tìm được các phương pháp có tính chất thuật toán hay thuật giải để giải quyết các vấn đề. Khi đó việc nắm được một số chỉ dẫn hay một số lời khuyên “có lý” có thể cho phép tìm được lời giải bài toán đặt ra, vì những ý tưởng và lời khuyên này có thể gợi ra những ý tưởng, những định hướng hợp lý cho việc tìm kiếm lời giải. Trong trường hợp này ta nói rằng đã vận dụng phương pháp có tính chất tìm đoán. Trong thực tiễn giải toán hình học có những bài toán giải
bằng phương pháp tổng hợp cần phải mò mẫm, dự đoán, vẽ các đường phụ phức tạp mới có thể tìm được lời giải. Trong những trường hợp nói trên cần vận dụng các phương pháp có tính chất tìm đoán dựa vào các suy luận có lý; xem xét các trường hợp đặc biệt, các trường hợp riêng, liên tưởng đến các bài toán đã giải mới có thể tìm được lời giải.
Ví dụ: Cho tam giác ABC. Xác định vị trí điểm M nằm trong tam giác ABC sao cho: AM . BC + BM .CA + CM . AB đạt giá trị nhỏ nhất.
Nhận xét: Xem xét nội dung bài toán HS thường nghĩ tới việc phải xét bài toán
trong 3 trường hợp: ∆ABC nhọn; ∆ABC vuông và ∆ABC tù. Nhưng thật khó
để xác định M sao cho tổng các tích trên nhỏ nhất. GV có thể dùng 4 bước để giải một bài toán của G.Polya nhằm kích thích HS suy nghĩ và tìm cách giải. HS có thể liên tưởng đến một bài toán quen thuộc đó là: “Xác định vị trí của một điểm trong tam giác sao cho tổng khoảng cách từ điểm đó tới 3 đỉnh của tam giác là nhỏ nhất”.
Tuy nhiên có sự khác biệt ở đây là: Bài toán này không chỉ đơn thuần liên quan tới tổng khoảng cách của các đoạn thẳng mà nó còn liên quan tới cả tích các đoạn thẳng khác nữa. Như vậy việc xác định M trong tam giác là khó. HS cần hướng tới việc kẻ thêm đường phụ để làm xuất hiện và tạo điều kiện so sánh từng tích trong tổng trên với những đường kẻ thêm ( chú ý rằng: 3 tích này có hình thức tương tự nhau). Có thể là các đường vuông góc được không?
Trường hợp 1: Nếu ∆ ABC có 3 góc nhọn, GV gợi ý HS vẽ thêm BB1 và CC1 tương ứng vuông góc với đường thẳng AM
Ta có: SAMB+ SAMC = 21 AM.BB1 +12 CM.CC1 = 21 AM (BB1 +CC1)≤12
AM.BC
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi AM ⊥ BC.
Tương tự: SBMC+SBMA≤21 BM.AC. Dấu “=” xảy ra khi BM⊥AC
B1 M C1 C B A Hình 1.17 Cộng từng vế 3 bất đẳng thức trên ta có: 2(SAMB+SBMC+SCMA)≤21 (AM.BC+BM.CA+CM.AB) => AM.BC+BM.CA+CM.AB≥ 4.SABC
Vậy: Min (AM.BC+BM.CA+CM.AB) = 4.SABC AM⊥BC
<=> BM ⊥CA => M là trực tâm của ∆ABC. CM ⊥ AB
Trường hợp 2:(Hình 1.18). Nếu tam giác ABC vuông, chẳng hạn ∠ A = 900 Dễ thấy M trùng với A. Khi đó: MA= 0; MB = AB; MC = AC
=>Min(AM.BC+BM.CA+CM.AB)=2.AB.AC = 4.SABC
Hình 1.18
Trường hợp 3: Nếu tam giác ABC có một góc tù, chẳng hạn góc A > 900.
HS có thể liên tưởng và áp dụng ngay trường hợp 2 vào đây bằng cách vẽ
tia Ax⊥AC (với Ax nằm trong nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng AC chứa
GV: Như vậy ta đã di chuyển: thay vì xét trong tam giác ABC ta sẽ xét trong tam giác vuông APC có điểm M nằm trong (chính là trường hợp 2).
x P M C B A Hình 1.19
Thật vậy: Xét điểm M nằm trong tam giác APC. Vì ∆ABP cân tại A
=> ∠APB=∠ABP
Ta có: ∠MPB ≥ ∠APB = ∠ABP ≥ ∠MBP => MB≥MP
=> ∠CPB>∠CBP => CB>CB’
Do đó: AM.BC+BM.CA+CM.AB≥AM.CP+MP.CA+CM.AP≥4SAPC
Mà 4SAPC=2AP.AC=2AB.AC không đổi.
Vậy : Min (AM.BC+BM.CA+CM.AB)= 2.AB.AC khi M≡ A.
1.4.3. Một số dạng tri thức phương pháp thường gặp trong HĐ dạy học hình học ở trường THCS
(a). Những tri thức phương pháp định hướng cho hoạt động nhận thức
+Những tri thức phương pháp tiến hành những hoạt động toán học cụ thể, như: Nhận dạng 1 loại hình nào đó, vẽ hình theo yêu cầu, ghi giả thiết- kết luận , xác định hình chiếu hay hình đối xứng của một đoạn thẳng,…
+ Những tri thức phương pháp tiến hành những hoạt động toán học phức hợp như : định nghĩa, chứng minh, xác định giao của một đường thẳng với một mặt phẳng,…
+ Những tri thức phương pháp tiến hành hoạt động trí tuệ phổ biến trong môn Toán như: Hoạt động phân chia các trường hợp…
+ Những tri thức phương pháp tiến hành những hoạt động trí tuệ chung như: so sánh, khái quát hoá, trừu tượng hoá…
+ Những tri thức về phương pháp tiến hành những hoạt động ngôn ngữ, lôgic như: thiết lập mệnh đề đảo của một mệnh đề cho trước, liên kết hai mệnh đề thành tuyển hay hội của chúng…
(b) Nếu xét về nội dung cơ bản thì tri thức phương pháp thường có hai dạng: + Những tri thức phương pháp có tính chất thuật toán,
+ Những tri thức phương pháp có tính chất tìm đoán.
(c) Nếu xem xét tri thức phương pháp dưới hình thức các yếu tố cần hình thành phương pháp cho HS ta có thể nghĩ đến như:
+ Ý tưởng về phương pháp giải + Tri thức quy trình
+ Tri thức lý thuyết biến thành tri thức phương pháp + Các bài toán phụ trở thành tri thức phương pháp mới
1.4.4. Mối liên hệ giữa tri thức sự vật và tri thức phương pháp
Trong quá trình dạy hình học ở trường THCS tri thức sự vật và tri thức phương pháp có mối liên hệ hữu cơ với nhau.
Trước hết đó là sự thống nhất: Tri thức sự vật và tri thức phương pháp là hai yêu cầu cơ bản cần phải đạt được khi kết thúc một quá trình dạy học (chẳng hạn dạy học xong một tiết học, hay một chương…).
Về mặt khác nhau, nói chung tri thức sự vật thường được trình bày khá tường minh, ngoài bài giảng của thầy giáo HS còn có thể tìm hiểu thêm ở sách giáo khoa và các tài liệu tham khảo khác; Còn tri thức phương pháp thường nằm ở dạng ẩn tàng, HS chưa thật hiểu được, nắm được nên dễ dẫn đến không thể vận dụng được: tại sao lại chứng minh như vậy, trình bày như vậy là theo cách suy nghĩ nào?
1.4.5. Vai trò và ý nghĩa của việc truyền thụ tri thức phương pháp trong dạy học hình học THCS
Tri thức phương pháp có vai trò và ý nghĩa đặc biệt quan trọng trong dạy học hình học THCS vì:
a)Tri thức phương pháp giúp HS hiểu được sự hình thành và phát triển của tri thức sự vật, hiểu rõ hơn bản chất của tri thức sự vật; là cơ sở định hướng trực tiếp cho hoạt động.
Chúng ta thường nghe có câu nói rằng “phương pháp là những cái gì còn
lại khi chúng ta đã quên đi những kiến thức đã học”. Nghĩa bóng của câu nói này đã đủ nói lên vai trò không thể thiếu của tri thức phương pháp trong học vấn của HS, cũng như mục đích của dạy học nói chung là dạy học phương pháp.
Đứng trước một vấn đề cụ thể, nếu có được hệ thống các tri thức phương pháp đầy đủ, HS sẽ dễ dàng tiến hành nhiều hoạt động tìm tòi, khám phá các tri thức mới.
Ví dụ : Để chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng có thể tổng kết cho học sinh sử dụng các phương pháp chủ yếu sau:
- Sử dụng góc kề bù.
- Chứng minh BA; BC cùng song song với một đường thẳng.
- Chứng minh ABC là ảnh của ba điểm thẳng hàng qua một phép dời hay một phép đồng dạng.
- Chứng minh tọa độ của điểm C thoả mãn phương trình của đường thẳng AB.
b) Tri thức phương pháp góp phần quyết định trong việc hình thành, bồi dưỡng các thao tác tư duy của HS, trên cơ sở đó rèn luyện cho HS khả năng sáng tạo toán học.
Ví dụ; Yêu cầu HS ở THCS hãy chia một cái dây ( không giãn) trong những trường hợp sau:
- Chia thành 4 phần bằng nhau - Chia thành 5 phần bằng nhau
Nhận xét: Đây là một bài toán rất đơn giản nhưng lại ẩn chứa trong đó khá nhều kiến thức thú vị. Chẳng hạn như:
Cách 1: Gập 2 đầu dây lại trùng với nhau 2 lần như vậy ta chia được đoạn thẳng có 4 phần bằng nhau.
Cách 2: Dùng thước thẳng có chia khoảng cách để chia
Câu a HS có thể giải quyết nhanh bằng 2 cách như vậy. Tuy nhiên sang câu b HS thấy dường như chỉ có thể dùng thước thẳng có chia khoảng cách mà thôi. Tuy nhiên nếu HS chịu khó suy nghĩ một chút các em có thể liên tưởng đến hình ảnh các đoạn song song cách đều, ta có một cách chia khác như sau:
Đặt 2 đầu của dây cần chia (kéo căng dây) sao cho 2 đầu dây nằm trên đường thẳng 1 và đường thẳng thứ 6 (vì với 6 đường thẳng song song cách đều ta có 5 khoảng cách cách đều giữa chúng ) ta chia được cái dây thành 5 đoạn bằng nhau (hình 1.20).
Hình 1.20
Với phương pháp chia như thế này HS có thể chia dây thành bao nhiêu đoạn cũng được
Ví dụ: (lớp 8): Cho ∆ABC cân tại A. Vẽ các đường cao BH và CK. Cho biết BC=a, AB=AC=b. Tính độ dài đoạn thẳng HK.
Nhận xét: Với bài toán này chúng ta có thể truyền thụ tri thức phương pháp thông qua việc phân tích dẫn dắt để HS tìm kiếm lời giải như sau:
GV: Em có nhận xét gì về mối quan hệ của KH và BC ? của KB và HC ? (Mong
đợi: KH//BC; KB=HC)
GV: Từ KH//BC ta có thể suy ra điều gì? (Mong đợi:∆AKH và∆ABC đồng dạng).
Hình 1.21
GV: Như vậy bài toán đã cho BC=a, AB=b, nếu biết được AH thì sẽ tính được KH. Ta tính AH như thế nào?
( Mong đợi: Muốn tính AH thì phải tính được HC vì AH=AC-HC= b- HC ) GV: Mà HC là một cạnh của tam giác vuông HBC. Như vậy cần thiết phải tìm được một tam giác vuông khác đồng dạng với HBC.
Đến đây HS thấy cần thiết và lôgic phải kẻ thêm đường phụ: đường cao
AI. Chúng ta sẽ tính được HC qua 2 tam giác đồng dạng: ∆IAC và∆HBC.
Việc tính toán tiếp theo trở nên đơn giản hơn.
Trong quá trình dạy học hiện nay chúng tôi thấy rằng học sinh chỉ chú ý đến việc tìm lời giải cho một bài toán mà ít khi chú ý đến việc khai thác các bài toán đó . Học sinh coi việc giải xong một bài toán là xong do vậy tính linh hoạt trong tư duy rất kém , ít suy nghĩ tìm cách mở rộng và khai thác các bài toán đó . Do đó trong quá trình hướng dần cho học sinh lĩnh hội tri thức và rèn các kỹ năng thực hành chúng ta phải cố gằng bỗi dưỡng kỹ năng mở rộng và khai thác các bài toán đã có cho học sinh. Để thấy rõ hơn chúng ta cùng đi xét một số bài toán sau trong chương trình hình học lớp 8.
Bài toán 1:
Cho hình chữ nhật ABCD, kẻ AH vuông góc với BD tại H . Gọi M là trung
điểm của BH . Chứng minh rằng : N là trung điểm của CD => góc AMN= 900
Giải:
* N là trung điểm của CD => góc AMN= 900
Ta có I là trung điểm của AH
⇒ MI là đường trung bình của tam giác AHB
⇒ MI = 1 2AB ⇒MI // DN và MI = ND ⇒tứ giác MNDI là hình bình hành ⇒DI // MN (1) Ta có AB ⊥AD, MI//AB ⇒ MI ⊥AD
⇒ I là trực tâm của tam giác AMD
⇒DI ⊥AM (2)
Hình 1.22 Từ (1) và (2) ta có AM ⊥ MN => góc AMN= 900
* Góc AMN= 900=> N là trung điểm của DC
Cách dựng hoàn toàn tương tự ta cũng có I là trực tâm của tam giác ADM
⇒ MNDI là hình bình hành ⇒IM = DN Mà ta cũng có IM = 1 2 AB = 1 2DC ⇒DN =1
2DC . Vậy N là trung điểm của CD
Bây giờ ta đi xét dạng tổng quát của bài toán này như thế nào ? Ta phân tích ở
tính chất M là trung điểm của BH hay BM 1
HM = từ đó ta đề xuất bài toán tổng
quát như sau :
Bài toán 1-1: Cho hình chữ nhật ABCD, kẻ AH vuông góc với BD tại H. Diểm M chia đoạn BH theo tỷ số k. Chứng minh rằng: N chia cạnh CD theo tỷ số k
khi và chỉ khi góc AMN= 900
* N chia cạnh CD theo tỷ số k => góc AMN= 900