3. Cơ sở lý thuyết
3.2. Mô hình ARCH
Trong mô hình hồi quy OLS cổ điển hay mô hình ARIMA thì phương trình của chúng ta luôn được phân làm hai phần, một phần là giá trị trung bình và một phần là cú shock được đại diện bằng nhiễu hay ta còn gọi là ut. Mô hình OLS thì yêu cầu kỳ vọng ut phải bằng 0, phương sai của ut không đổi và hiệp phương sai của ut không đổi. Còn mô hình ARIMA thì yêu cầu ut phải dừng. Bản thân ut là một yếu tố quan trọng trong mô hình hồi quy vì tính chất đại diện đặc biệt của nhiễu, phương sai của ut đại diện cho độ lệch bình phương của giá trị thực và giá trị hồi quy. Nếu chuỗi thời gian của chúng ta là một biến tỷ suất sinh lợi hay giá của một loại tài sản thì câu hỏi đặt ra là làm cách nào mà
chúng ta có thể dự báo rủi ro của chuỗi đó trong khi chúng ta có thể dự báo được giá trị trung bình hay nói cách khác là làm cách nào chúng ta có thể dự báo được phương sai của ut. Đó chính là vấn đề mà ARCH ra đời đã giải quyết.
Engel (1982) là người đầu tiên tìm ra mô hình ARCH. Để có thể dự báo được phương sai của ut thì ông đặt ra một giả định là phương sai của ut là phương sai có điều kiện và sự thay đổi của ut được mô tả bằng một hàm hồi quy trong đó phương sai của ut ( ) phụ thuộc vào bình phương các giá trị trễ ut trong quá khứ. Chúng ta có phương trình sau:
= α0+ α1u2t-1+ α2u2t-1+…+ αku2t-k + εt (1)
Từ phương trình (1) thì chúng ta hoàn toàn có thể dự báo được giá trị phương sai của nhiễu và từ đó xác định được mức rủi ra của biến đang xét.
Qui trình thực hiện ARCH
Quy trình thực hiện ARCH gồm có các bước cơ bản sau:
Bước 1: Dùng ARIMA để xác định phương trình trung bình tốt nhất.
Bước 2: Sau khi có đươc mô hình dự báo giá trị trung bình tốt nhất thì chúng ta tiến hành lọc lấy nhiễu của mô hình hồi quy. Sau khi có các giá trị nhiễu thì chúng ta tiến hành kiểm định tính ARCH. Kiểm định tính ARCH được mô tả như sau:
Chúng ta ước lượng phương trình (1)
= α0 + α1u2t-1+ α2u2t-1+…+ αku2t-k+ εt Chúng ta kiểm định giả thuyết sau:
H0 :α1= α2=… = αn=0 H1: α21 +α22+…+ α2n>0 Chúng ta có 2 cách để kiểm định Cách 1: dùng thống kê F Ta sẽ tính các giá trị sau: SSR0=∑ ( − )
= 1
= ̂
Trong đó giá trị ̂ là giá trị ước lượng của εt Sau đó tính:
F =
− − 2 − 1
So sánh giá trị F vừa tìm được với giá trị Fα(m, n - 2m - 1)trong đó α là m ức ý nghĩa. Nếu lớn hơn là bác bỏ và ngược lại.
Cách 2: Dùng thống kê chi bình phương
Ta có thể tính giá trị = . So sánh với giá trị . Nếu lớn hơn là bác bỏ và ngược lại.
Các phần mềm kinh tế lượng ví dụ như Eview cung cấp cho chúng ta các giá trị F tính toán cũng như giá trị R2. Chúng ta chỉ tiến hành so sánh với mức ý nghĩa chúng ta đã chọn từ trước.
Bước 3: Sau khi kiểm định tính ARCH nếu không có hiệu ứng ARCH thì chúng ta dừng lại, nếu có hiệu ứng ARCH thì chúng ta tiến hành chạy mô hình ARCH để dự báo rủi ro. Lúc đó chúng ta sẽ có 1 hệ hai mô hình như sau:
Yt= c +∑ + (3)
= α0+ α1u2t-1+ α2u2t-1+…+ αku2t-k + εt (4)
Trong đó phương trình (3) là phương trình ư ớc lượng giá trị trung bình và phương trình còn lại ước lượng giá trị phương sai của nhiễu. Chúng ta cũng có thể dùng mô hình ARIMA để tìm nhiễu nếu biến của chúng ta chỉ có 1 giá trị duy nhất. Dùng phương pháp
OLS để ước lượng (4) và chọn trễ sao cho mô hình là phù hợp nhất để các hệ số hồi quy có ý nghĩa thống kê. Sau khi tìm được phương trình (4) tốt nhất thì chúng ta có thể tiến hành dự báo phương sai của nhiễu thông qua phương trình (4) và giá trị trung bình thông qua phương trình (3). Từ đó chúng ta có thể dự báo được giá trị trung bình của thời điểm tiếp theo và sai số với mức ý nghĩa đã ch ọn trước.