A. 300 B.60 C 90 D 450 Sử dụng Cabri kiểm tra kết quả bằng công cụ đo góc.
2.3.4 Sử dụng phần mềm Cabrivào dạy học giải bài tập toán chơng quan hệ vuông góc.
vuông góc.
Trong chơng trình toán phổ thông, bài tập hình học không gian luôn đợc xem là dạng toán khó. Điều này một phần cũng do không có một thuật toán cụ thể nào áp dụng cho tất cả các bài tập dạng toán này. Chính vì vậy việc hớng dẫn cho học sinh phơng pháp suy nghĩ, cách tìm tòi để tìm lời giải là hết sức quan trọng.
Tuy nói rằng, không có một thuật toán cụ thể cho các bài toán hình học không gian, nhng trong quá trình dạy học giải bài tầp toán giáo viên vẫn có thể tổng hợp cho học sinh một số kĩ năng cơ bản. Chẳng hạn nh làm thế nào để xác định hai đờng thẳng vuông góc, đờng thẳng vuông góc với mặt phẳng, hai mặt phẳng vuông góc?; ...
Một điều thờng gặp nữa đó là trong quá trình vẽ hình, cùng một bài toán nh nhau nhng hình vẽ của mỗi lời giải lại không hoàn toàn giống nhau, đôi khi lại có vẻ rất khác nhau. Với khả năng xoay chuyển hình vẽ của Cabri đến một góc độ bất kì, giáo viên có thể dễ dàng đặt mô hình dơí nhiều góc độ khác nhau mà không phải tốn thời gian vẽ thêm hình.
Nh đã giới thiệu sơ qua trong phần trên, phần mềm Cabri có rất nhiều ứng dụng trong việc dạy học giải bài tập toán. Ưu điểm nổi bật của chúng đợc thể hiện rõ
ràng nhất qua các bài toán dựng hình, các bài toán định lợng và các bài toán quỹ tích, bài toán thiết diện, .
2.3.4.1 Sử dụng Cabri trong bài toán Quỹ tích
Bài toán quỹ tích là một trong những dạng toán mà HS thờng gặp rất nhiều khó khăn khi làm. Chẳng hạn ở bớc đầu tiên là HS quan sát hình ảnh bất động do đó chủ yếu phụ thuộc vào khả năng t duy của mỗi HS, cụ thể là phải biết tởng tợng và suy luận logic về đối tợng. Cái khó nhất trong Bài toán quỹ tích theo tôi là HS cha thật tốt khi xem xét mối quan hệ giữa đầu vào, đầu ra. Ngoài ra trong bớc vẽ hình xem xét với các thao tác bằng tay thờng dẫn đến hình vẽ thiếu chính xác, dẫn đến việc phán đoán quỹ tích gặp khó khăn. Nếu nh có thể khắc phục đợc phần lớn các khó khăn trên thì việc giải Bài toán quỹ tích sẽ trở nên đơn giản. Ta xem xét một số Bài toán sau:
Bài 2.1: Cho điểm M di động trên cạnh AD của hình vuông ABCD, và
điểm S di động trên tia Ax vuông góc với mp (ABCD) tại A. Gọi H là trung điểm của SC, H là hình chiếu của I lên CM. Tìm quỹ tích của H.
Hớng dẫn giải.
HĐ1: HS dùng thớc và com pa vẽ hình
Trong trờng hợp này HS chỉ vẽ đợc một số trờng hợp của hình và dự đoán quỹ tích thì rất khó, hay suy luận ra quỹ tích cũng gặp khó khăn chỉ vì quan sát đợc hình ảnh bất động của đối tợng tại một số vị trí. Vì vậy mà HS phải có khả năng t duy và trí tởng tợng cao.
Để trợ giúp HS trong HĐ này thì GV sử dụng các công cụ của phần mềm Cabri để thực hiện vẽ hình thoả mãn yêu cầu bài toán. Cụ thể nh sau: Dùng công cụ hình vuông dựng hình vuông ABCD, sử dụng chức năng vuông góc dựng đờng thẳng
Ax vuông góc với mp(ABCD) tại A, dùng công cụ điểm lấy một điểm S trên Ax, lấy một điểm M trên AD. dùng công cụ trung điểm lấy điểm I của đoạn SC, dùng chức năng vuông góc để dựng các đờng thẳng vuông góc với AC và MC. Đặt thuộc tính vết cho điểm H tính động cho điểm M , S . Dùng công cụ hoạt náo kích hoạt cho điểm M và S chuyển động trên đoạn AD và tia Ax. HS quan sát thấy điểm H để lại vết trên một cung của đờng tròn đờng kính OC(h30b).
HĐ2: Hớng dẫn HS giải.
Để HS nhìn nhận bài toán rõ hơn. GV gợi ý HS chiếu I bên mp (ABCD). Gọi O là hình chiếu của I thì O là trung điểm AC. Vậy O cố định.Ta có OH vuông góc với CH tại H.
Ta nhận thấy H ở trong mặt phẳng (ABCD) cố định, nhìn đoạn OC dới một góc vuông, nên H thuộc vào đờng tròn (V). Mặt khác vì M chuyển động trên đoạn AD nên H chỉ ở trong góc ACD = 450. Cho nên H chỉ ở trên cung OJ của đờng tròn (V) với J là trung điểm CD.
Từ đó ta tìm ra đợc quỹ tích của điểm H là cùng OJ của đờng tròn đờng kính OC nằm trong mp (ABCD).
Bài 2.2: Cho trong mp (P) đờng tròn (V) đờng kính AB. trên đờng thẳng
vuông góc với mp(P) tại A. Lấy điểm cố định C. M là một điểm di động trên (V), H là hình chiếu của A lên CM, tìm quỹ tích những điểm H.
Hớng dẫn giải.
HĐ1: HS sử dụng thớc và Compa vẽ hình, thay đổi một vài vị trí của
điểm M trên đờng tròn (V). Xác định lại vị trí của điểm H, thực hiện vẽ để dự đoán một số lần tuỳ thuộc vào khả năng dự đoán của học sinh. Tuy nhiên việc dự đoán trên giấy gặp nhiều khó khăn do vẽ quá nhiều đờng nét, vẽ không chính xác.
HĐ2: Sử dụng Cabri để vẽ hình và dự đoán quỹ tính.
Sử dụng công cụ của phần mềm để dựng hình vẽ thoả mãn điều kiện bài toán cụ thể.
Dùng công cụ đờng tròn dựng đờng tròn (V) đờng kính AB nằm trong mặt phẳng (P), dựng đờng thẳng cuông góc với(P) tại A bằng công cụ vuông góc, lấy một điểm C trên đờng thẳng vuông góc bằng công cụ điểm, sử dụng công cụ đoạn thẳng dựng đờng thẳng CM và CB, dùng công cụ vuông góc để dựng hình chiếu của A lên CM.
Sử dụng tính động cho điểm M và tạo vết cho điểm H. Để HS quan sát vệt của điểm H để lại khi M chuyển động trên đờng tròn yêu cầu HS dự đoán
quỹ tích của điểm M, với sự hỗ trỡ của phần mềm HS sẽ thấy đợc vệt của điểm H để lại là một đờng tròn trong mp (Q) đi qua A vuông góc với CB tại I.
HĐ3: GV hớng dẫn HS chứng minh dự đoán bằng cách chứng minh:
H thuộc vào mp (Q) qua A và vuông góc với CB tại I và góc AHI = 1V. Thật vậy do. MB ⊥ MA ⇒ MB ⊥ mp (CAM) MB ⊥ CA MB ⊥ HA ⇒ HA ⊥ CB HA ⊥ MC
Vậy tồn tại duy nhất mp (Q) chứa AH và vuông góc với CB gọi I là giao điểm của CB và mp(Q) . I cố định ngoài ra AH vuông góc với mp (CMB), HI thuộc mp(CMB) suy ra góc AHI bằng 900 . Nh thế trong mp(Q) cố định , điểm H nhìn đoạn AI cố định dới một góc vuông. HS chứng minh đợc H ở trên đờng tròn (V') đờng kính AI trong mp (Q).
Bài 2.3: Cho hình vuông ABCD nằm trong mặt phẳng (P). Qua A dựng
đờng thẳng Ax vuông góc với mp (P). M là điểm trên Ax đờng thẳng qua M, vuông góc với mp (MCB) cắt mp (P)
tại S. đờng thẳng qua M, vuông góc với mp (MCD) cắt mp (P) tại R.
a) Chứng minh A, B, R thẳng hàng; A, D, S thẳng hàng.
b) Tìm quỹ tích trung điểm I của đoạn RS khi M di chuyển trên Ax. HĐ1: Vẽ hình và nhận dạng
Để giúp HS trong HĐ này giáo viên có thể sử dụng Cabri trợ giúp nh sau: Dùng công cụ của phần mền Cabri vẽ hình thoả mãn yêu cầu bài toán (h32a). Cụ thể là: Dựng hình vuông ABCD bằng công cụ hình vuông của phần mềm, dùng công cụ đoạn thẳng dựng đoạn thẳng Ax vuông góc với mp(P), lấy một điểm M trên Ax, sử dụng công cụ vuông góc dựng các đờng thẳng đi qua M vuông góc với các mặt phẳng (MBC) và mp(MCD),dùng chức năng điểm giao lấy giao điểm mpP và các mp(MBC) và (MCD), dùng chức năng trung điểm dựng điểm I là trung điểm cua đoạn RS.
Dùng chức năng đờng thẳng kiểm chứng D,A,S và B,A,R thẳng hàng, đặt thuộc tính vệt cho điểm I và tính động cho điểm M dùng công cụ hoạt náo kích hoạt cho M chuyển động trên đờng thẳng Ax, HS quan sát trên màn hình thấy vết của điểm I để lại có hình dạng là một đờng thẳng. Từ đó HS dễ dàng dự đoán đợc
quỹ tích của điểm I là một nữa đờng thẳng (H32b)
HĐ2: Hớng dẫn HS chứng minh. Để HS nhìn nhận bài toán đợc rõ hơn. GV gợi ý .
HS chứng minh AS = AR. Từ đó suy ra RS//BD.
Thật vậy ta có tam giác MBR vuông tại M có MA là đờng cao: AR = AB AM2 (1) AS = AD AM2 (2)
Mà AB = AD (ABCD là hình vuông), từ (1) và (2) suy ra: AR = AS suy ra RS//BD. Ta nhận thấy RS di chuyển luôn luôn có phơng không đổi, nên trung điểm I của RS trên đờng thẳng Ax' phần kéo dài của CA về phía A.
hỡnh 33a hỡnh 33b
Vậy khi M chạy trên nửa đờng thẳng Ax thì I chạy trên nửa đờng thẳng Ax'.
Bài 2.4: Cho tam diện Sxyz đỉnh S, có ba mặt đều vuông. Trên Sx, Sy lấy
lần lợt hai điểm di động A và B sao cho SA + SB = a (không đổi) và trên St lấy điểm C. Tìm quỹ tích tâm 0 của hình hộp có các cạnh SA, SB, SC.
Hớng Dẫn giải:
HĐ1: Học sinh dùng thớc và Compa để vẽ hình.
Thay đổi một số vị trí của điểm A và B để rồi xác định lại tâm của hình hộp. Thực hiện vẽ để dự đoán quỹ tích của điẻm 0. Qua một số lần thực hiện HS nhận thấy 0 chuyển động trên mặt đờng thẳng. Tuy nhiên việc HS dự đoán gặp nhiều khó khăn vì HS không thể vẽ đợcnhiều vị trí, HS vẽ hình không chính
xác.
HĐ2: Sử dụng phần mềm Cabri để dự đoán quỹ tích. Sử dụng công cụ
vuông góc và đờng thẳng để vẽ tam diên Sxyz, đỉnh là S. Sử dụng công cụ điểm lấy các điểm A, B,C trên các Sx, Sy, Sz. Dùng công cụ song song, dựng hình chữ nhật SADB. Dùng công cụ đoạn thẳng nói các điểm DC. Dùng công cụ đo góc kết hợp với công cụ đờng thẳng để vẽ đờng thẳng đi qua D và cắt Sx 1 góc 450 dùng chức năng trung điểm để dựng trung điểm O của đoạn CD, dùng chức
năng giao điểm để lấy giao giữa các đờng thẳng (h33a). Dùng công cụ hoạt náo tạo tính động cho điểm A và B, gán cho O thuộc tính vết kích hoạt cho điểm A, B chuyển động. HS quan sát trên màn hình Cbari thấy khi A, B chuyển động trên Sx, Sy điểm O để lại vết là một đoạn thẳng (h33b). Do vậy HS dự đoán quỹ tích của O là một đoạn thẳng.
HĐ3: Chứng minh dự toán quỹ tích.
HS dự đoán quỹ tích của O là một đoạn thẳng để HS hiểu rõ hơn GV h- ớng dẫn HS qua D vẽ A0B0 tạo với sx một góc 450 chứng minh A0B0 cố định để có quỹ tích D.
Thật vậy: Ta có SA0 = SB0 =>∆ AA0D vuông tại A có góc AA0D = 450 mà AD = SB => SA0 = SA + AA0 = SA + SB = a => A0, B0 cố định.
HS chứng tỏ trung điểm O của đoạn thẳng CD của đoạn thẳng CD chính là tâm của hình hộp chữ nhật.
Thật vậy. D là đỉnh của hình chữ nhật có hai cạnh SA và SB , thì CD là một đờng chéo của hình hộp có ba cạnh SA , SB, SC vì O là tâm của hình hộp nên O là trung điểm của CD. GV hớng dẫn HS tìm quỹ tích điểm D rồi suy ra quỹ tích điểm O. Sử dụng phần mềm Cabri để kích hoạt cho D chuyển động. HS quan sát trên màn chiếu nhận thấy O ở trên đờng trung bình A'OB'O của tam giác CA0B0.
Một số bài toán vận dụng.
Bài toán 2.5: Cho tứ diện SABH có ba mặt vuông tại H; mặt phẳng (P)
thay đổi song song với AB và SH, lần lợt cắt HA, HB, SB, SA tại M; N; K; L . Tìm quỹ tích tâm O của tứ giác M, N, K, L.
Bài toán 2.6: Trên nửa đờng tròn (V) đờng kính AB = 2R. Lấy điểm C tuỳ ý. Vẽ CH vuông góc AB tại H. I là trung điểm của CH. Trên nửa đờng thẳng lx vuông góc với mp (CAB) tại I, lấy điểm S sao cho ASB = 1v
Tìm quỹ tích tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABI, khi C chạy trên đờng tròn (V)
Bài toán 2.7: Trong mặt phẳng (P) cho đờng tròn (v) đờng kính AB = 2R. Tâm O . S là điểm đối xứng của (O) qua A. Dựng đờng thẳng Sz vuông góc với mp (P) trên đó lấy điểm T với ST = 2R. M là điểm chạy trên (V) . D là trung điểm của TM. Tìm quỹ tích của D; hình chiếu của D'; hình chiếu của D lên mp (P)
2.3.4.2 sử dụng Cabri 3D trong bài toán tiết diện.
Bài toán thiết diện là một trong những dạng toán mà HS thờng gặp rất nhiều khó khăn khi làm. Chẳng hạn ở bớc đầu tiên là HS quan sát và vẽ hình chủ yếu phụ thuộc vào khả năng t duy của mỗi HS, cụ thể là phải biết tởng tợng và suy luận logic về đối tợng. Cái khó nhất trong bài toán thiết diện theo tôi là HS cha thật tốt khi xem xét mối quan hệ giữa các đối tợng.Ngoài ra trong bớc vẽ hình xem xét với các thao tác bằng tay thờng dẫn đến hình vẽ thiếu chính xác, dẫn đến việc tìm các hình tính của tiết diện gặp nhiều khó khăn. Để giúp HS trong HĐ này GV sử dụng phần mềm Cabri để minh hoạ, thể hiện qua một số bài toán sau.
Bài toán 2.9. Cho hình lăng trụ OAB.O'A'B' có đáy OAB là tam giác
vuông tại O với OA = a, OB = b cạnh bên OO' = h. Mặt phẳng (P) đi qua O và vuông góc với AB'.
Chỉ rõ cách dựng tiết diện của mp (P) cắt hình lăng trụ. Tiết diện là hình gì? Tính diện tích tiết diện.
HĐ1: Hớng dẫn giải.
Giáo viên hớng dẫn học sinh vẽ hình bằng thớc và êke theo yêu cầu bài toán. Học sinh dựng mp (P) đi qua O vuông góc với AB' . Nhng rất khó khăn để nhận dạng tiết diện của mặt phẳng (P) cắt hình lăng trụ là hình gì? để nhận dạng đợc tiết diện là hình gì đòi hỏi học sinh phải có khả năng t duy và trí tởng tợng tốt. Bởi vì về mặt trực quan thì hình tiết diện bị che khuất bởi khối đa diện.
HĐ2: Để giúp đỡ học sinh trong HĐ này, giáo viên sử dụng phần mền
Cabri để thực hiện.
Sử dụng công cụ tam giác dựng hình OAB dùng công cụ dựng hình lăng trụ, dựng hình lăng trụ có đáy (OAB), dùng chức năng vuông góc dựng mp đi qua O vuông góc với AB' (h24a). Dùng chức năng cắt đa diện và thuộc tính ẩn hiện để thực hiện khi đó giao giữa mp (P) và hình lăng trụ đợc hiện rõ (h24b)
.học sinh quan sát trên màn hình và nhận thấy thiết diện là một hình thang vuông.
GV dịch chuyển điểm O cho HS quan sát, HS nhìn thấy thiết diện lúc này không phải là một hình thang mà là một tam giác bằng sự trợ giúp của phần mền nh vậy, học sinh nhận thấy hình tính của thiết diện thay đổi và tìm cách CM(h25).
Giáo viên sử dụng công cụ đo diện tích để đo diện tích của hình tiết diện cho HS quan sát.
HĐ3: Giáo viên hớng dẫn học sinh lập luận.
Hình 24a
Hình 24b
Giao tuyến của mp (P) và mp (OAB) chính là đờng cao OK của tam giác OAB.
Giao tuyến của mp (P) và mp (BAB') là KO1 vuông góc với AB' và cắt AA' tại I. So sánh AI với AA' để xác định hình tính của tiết diện .
Thật vậy: mp (P) vuông góc với AB'. AB’ thuộc mp (ABB'A')
Suy ra mp (P) vuông góc với mp (ABA'B') theo giao tuyến KO1. KO1 vuông góc với AB' tại O1. mp (P) vuông góc mp (ABB'A'), mp (AOB) vuông góc với mp (AB B'A') và giao mp (P) và mp (AOB) là OK suy ra OK vuông góc với AB.
Vậy OK là một cạnh của tiết diện vì OK là đờng cao của tam giác OAB vuông tại O nên K thuộc đoạn AB, yêu cầu HS tính AI theo a và h. so sánh AI và AH để xác định hình tính của thiết diện.
AI > AA' thì a > h lúc đó IK cắt A'B' tại K', IO cắt A' O' tại J, ta đợc K'J là giao tuyến của mp (P) và mp )(A'O'B'), vậy K'J là cạnh thứ ba của tiết diện, K'J//OK suy ra JO là cạnh thứ t của tiết diện.
Nếu AI <AA' tức là a < h, lúc đó I thuộc AA' tiết diện là tam giác OKI Học sinh tính diện tích tiết diện.
Bài toán 2.10.
Cho hình thang ABCD vuông tại A và D. Có AB = AD = a; DC = 2a, trên