A. 300 B.60 C 90 D 450 Sử dụng Cabri kiểm tra kết quả bằng công cụ đo góc.
2.3.2Sử dụng phần mềm Cabri 3D vào dạy học định lý
Các định lí cùng với các khái niệm Toán học tạo thành nội dung cơ bản của môn Toán, làm nền tảng cho việc rèn luyện kĩ năng bộ môn, đặc biệt là khả năng suy luận và chứng minh.
Theo Nguyễn Bá Kim thì việc dạy học các định lí Toán học nhằm đạt đợc các yêu cầu sau đây
+ Học sinh nắm đợc các hệ thống định lí và những mối liên hệ giữa chúng, từ đó có khả năng vận dụng chúng vào các hoạt động giải toán cũng nh giải quyết các vấn đề trong thực tiễn.
+ Học sinh thấy đợc sự cần thiết phải chứng minh định lí, thấy đợc chứng minh định lí là một yếu tố quan trọng trong phơng pháp làm việc trên lĩnh vực Toán học;
+ Học sinh hình thành và phát triển năng lực chứng minh Toán học, từ chỗ hiểu chứng minh, trình bày lại đợc chứng minh, nâng đến mức độ biết cách chứng minh, theo yêu cầu của chơng trình phổ thông.
Chúng ta muốn học sinh nắm đợc các hệ thống định lí và những mối liên hệ giữa chúng, từ đó có khả năng vận dụng định lý vào các hoạt động giải toán
Gợi động cơ và phát biểu vấn đề
Suy diễn dẫn tới định lí Dự doán và phát biểu định lí
Phát biểu định lí Chứng minh định lí
Vận dụng định lí để giải quyết vấn đề đặt ra
Cũng cố định lí
Con đường có khâu suy đoán Con đường suy diễn
cũng nh giải quyết các vấn đề trong thực tiễn. Vì vậy trong quá trình dạy học định lí chúng ta phải chú ý tới việc xem xét các định lí trong mối liên hệ với các đối tợng và định lí khác.Phải luôn đặt nó trong những mối quan hệ, xem xét nó một cách khách quan, toàn diện để thấy đợc nguồn gốc ra đời, điều kiện tồn tại và ý nghĩa thực tiễn của nó.
Khi học sinh tìm tòi phơng pháp chứng minh định lí các em sẽ thấy đợc tầm quan trọng của việc chứng minh định lí đối với Toán học. Tuy nhiên muốn đạt đợc điều đó trong quá trình dạy học định lí, giáo viên cần hớng cho học sinh tự tìm cách chứng minh định lí (có thể là với những gợi ý của giáo viên) và khai thác định lí dới nhiều hình thức khác nhau, từ đó để thấy đợc những ứng dụng của định lí hoặc tìm ra những tính chất tổng quát hơn.
Theo pietzsch 1980, phơng pháp dạy học định lí phân thành hai con đ- ờng: Con đờng có khâu suy đoán và con đờng có khâu suy diễn và đợc minh họa bằng sơ đồ sau:
Cả hai con đờng dạy học định lí trên, trớc hết là gợi động cơ học tập định lí xuất phát từ nhu cầu nảy sinh trong thực tiễn hoặc trong nội bộ Toán học, bởi theo logic biện chứng một sự vật hiện tợng tồn tại trong trong những điều kiện nhất định, chúng tồn tại và phát triển theo quy luật của phép biện chứng. Mọi sự vật đều luôn vận động và phát triển không ngừng. Đối tợng Toán học trong quá trình vận động nhiều khi nó không còn phù hợp với những yêu cầu thực tiễn hoặc là ngay cả trong nội bộ Toán học nữa nên nó phải đợc thay thế bởi một cái mới phù hợp hơn với những nhu cầu đó. Vì vậy, sẽ dẫn đến sự suy đoán tìm tòi cái mới.
Sau khi có đợc định lí thì việc vận dụng định lí là một khâu mang tính thực tiễn, thực hiện khâu này trong dạy học định lí giúp học sinh thấy đợc ý nghĩa của định lí đối với Toán học nói riêng và ý nghĩa thực tiễn của định lí nói chung.
Nh chúng ta đã biết sự vật hiện tợng không phải tồn tại trong trạng thái tĩnh mà chúng luôn vận động và phát triển không ngừng vì vậy khi đa ra một định lí và chứng minh đợc nó thì không phải là việc nghiên cứu định lí đó đã xong, mà chúng ta còn phải nghiên cứu nó trong những khía cạnh khác nữa. Nhấn mạnh điều này V. I. Lênin viết: "Muốn biết đợc thực sự một đối tợng phải nắm lấy nó, nghiên cứu tất cả các khía cạnh của nó, hết thảy các mối quan hệ và "mặt gián tiếp". Chúng ta không bao giờ đạt đến điểm ấy một cách hoàn toàn nhng sự đòi hỏi về tính toàn diện ấy sẽ giúp chúng ta tránh đợc sai lầm và cứng nhắc. Đó là một. Hai là, logic biện chứng đòi hỏi phải xem xét đối tợng trong sự phát triển, sự "tự vận động" và biến đổi của đối tợng...". Chẳng hạn khi chứng minh định lí xong chúng ta cho học sinh hoạt động nhận dạng và thể hiện định lí nhằm mục đích cũng cố định lí và qua đó thấy đợc ứng dụng của định lí vừa đợc chứng minh. Hoặc khi làm việc với một định lí chúng ta quan tâm xem xét
định lí trong mối liên hệ giữa cái chung và cái riêng để từ định lí đó mở rộng cho trờng hợp tổng quát hơn hay ta đặc biệt hóa một số giả thiết của bài toán để thấy đợc tính chất riêng của một số đối tợng đặc biệt.
Sử dụng phần mềm Cabri có thể hỗ trợ ta tìm ra những mối liên hệ, suy đoán
Trong bài đờng thẳng vuông góc mp. Tất cả gồm hai định lý và 5 tính
chất, định lý thứ nhất nói về điều kiện để đờng thẳng và mp vuông góc. Định lý 2 là định lý 3 đờng vuông góc. Tính chất 1 và 2 nói về sự xác định đờng thẳng vuông góc với mp. Nhóm 3 tính chất về mỗi liên hệ giữa quan hệ song song và quan hệ vuông góc giữa đờng thẳng và mp. Nói chung có nhiều cách để phát hiện và chứng minh cho một định lý. Chẳng hạn khi dạy định lý về điều kiện để đờng thẳng và mp vuông góc. Ta thực hiện một số HĐ sau:
Định lý 2.1. "Nếu một đờng thẳng d vuông góc với hai dờng thẳng cắt
nhau a và b cùng nằm trong mặt phẳng P thì đờng thẳng d vuông góc với mặt phẳng P."
Xem xét bài toán.
Nếu đờng thẳng d vuông góc với hai đờng thẳng cắt nhau a và b cùng nằm trong mp (P) thì có điều gì xảy ra.
HĐ1: Sử dụng công cụ mp của phần mềm Cabri 3D: để dựng mp (P). Dùng công cụ đờng thẳng dựng 2 đờng thẳng a, b cắt nhau tại O.
Dùng thuộc tính vuông góc dựng đờng thẳng d vuông góc với cả a và b tại 0. Dựng đờng thẳng c đi qua 0. (h17)
HĐ2: Dịch chuyển đờng thẳng c cho học sinh quan sát và dự đoán về
mỗi quan hệ giữa d và c.
Có thể học sinh sẽ dự đoán đợc d vuông góc với c và chứng minh đợc dự đoán nhng không chỉ ra đợc d phải cắt (P) và xét các khả năng a//c và c//b. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Giáo viên hớng dẫn học sinh khẳng định d cắt (P) và xét các khả năng c//a và c//b.
Giáo viên sử dụng phần mềm với thuộc tính ẩn/hiện để hiện một đờng thẳng c bất kỳ trong mp (P).(h18)
Cho học sinh quan sát và dự đoán về mỗi quan hệ giữa d và c. Từ các hoạt động trên giáo viên dẫn dắt để học sinh tiếp cận định lý. giáo viên kiểm tra góc giữa các đờng thẳng d và c bằng công cụ đo góc của phần mềm Cabri.
HĐ3: Chứng minh dự đoán.
Để chứng minh dự đoán trên học sinh có thể đi nhiều con đờng từ định nghĩa hoặc giáo viên gợi ý để học sinh phát hiện ra hớng chứng minh theo các con đờng. Chẳng hạn chứng minh theo con đờng tính vô hớng vectơ theo định nghĩa hoặc con đờng tổng quát: Nghĩa là chứng minh đờng thẳng d vuông góc với mp ta cần chứng minh đờng thẳng d vuông góc mõi đờng thẳng nằm trong mp (P). Cụ thể giáo viên hớng dẫn học sinh chỉ ra các mối liên hệ giữa d và c, a và c, b và c bằng cách sử dụng Cabri để thay đổi vị trí của đờng thẳng c.
Nếu đờng thẳng c// a hoặc c//b thì do d vuông góc a và d vuông góc b nên d vuông góc c.
Nếu c không song song với a và b, thì từ 0 kẻ d’// d và kẻ c’//c ta chỉ cần cm: d’ vuông góc với c’. Thật vậy trên c’ lấy điểm c khác 0 trên d’ về hai phía của 0 ta lấy hai đoạn 0M = 0M'.
Hình19
Hình20 Hình21
Khi đó a,b đều là trung trực của đoạn MM' nên AM=AM', BM=BM'. Suy ra Δ MAB bằng Δ M'AB (ba cạnh tơng ứng bằng nhau) do đó hai tam giác MBC và M'BC có một góc và 2 cạnh kề tơng ứng bằng nhau nên bằng nhau suy ra CM = CN. Tam giác CMM' cân tại c nên trung tuyến CO cũng là đờng cao. Vậy d’ vuông góc c’, suy ra d vuông góc c. Đó là điều phải chứng minh.
Nhận xét: Trong 3 HĐ trên thì HĐ2 Cabri đã giúp học sinh tạo niềm tin
vào dự đoán của mình và từ đó học sinh tìm ra cách chứng minh cho định lý.
Định lý 2.2: “cho một đờng thẳng a không vuông góc vói mp(P) và đ- ờng thẳng b nằm trong mp (P). khi đó điều kiện cần và đủ để b vuông góc với a là b vuông góc với hình chiếu a của a trên (P’ )’’. [4. tr 101].
Xem xét bài toán: cho hình lập phơng ABCD a’b’c’d’ a. Tìm hình chiếu của A’C lên mp (ABCD)
b. Có nhận xét gì về mối quan hệ giữa AB, BD và A’C phát biểu dự đoán cho bài toán tổng quan.
HĐ1: Vẽ hình đo và dự đoán góc giữa các cặp đờng thẳng AC, BD và
A’C (AC là hình chiếu của A’C lên mp (ABCD).
Học sinh dùng thớc để dựng hình lập phơng ABCD A’B’C’D’ dựng hình chiếu của A’C lên mp (ABCD) xác định góc giữa các cặp đờng thẳng AC, BC và AC’ và đo góc giữa các cặp đờng thẳng AC, BD, A’C(h20). HS cảm
nhận đợc rằng góc giữa các cặp cạnh AC, BD, A’C vuông góc. Tất yếu bằng việc cảm nhận thì học sinh cha chắc chắn lắm. Giáo viên sử dụng Cabri để vẽ hình và thực hiện các phép đo góc bằng công cụ đo góc của phầm mềm. cho quan sát bằng hình ảnh trực quan. Học sinh nhận thấy góc giữa các cặp cạnh ac và BD, BD và A’C (h21)băng 900. khi đó học sinh tin tởng vào dự đoán của mình là BD vuông góc A’C. Từ đó học sinh dự đoán bài toán tổng quát.
HĐ2: Chứng minh dự đoán bài toán tổng quát." đờng thẳng a không vuông góc với mặt phẳng (P ) có một đờng thẳng b nằm trong mặt phẳng (P). khi đó b vuông góc với a khi và chỉ khi b vuông góc với hình chiếu của a trên (P).
Giáo viên hớng dẫn học sinh vẽ hình (h22) xác định hình chiếu của a lên mp (P) . Hớng dẫn HS xét mối quan hệ a, a', b trong trờng hợp a thuộc mặt phẳng(P).
Hiển nhiên a trùng a’ nên b vuông góc a' suy ra b vuông góc a. Trờng hợp a không thuộc mp(P).
Hớng dẫn học sinh tìm ảnh của a lên mp(P) (với mấu chốt là tạo phơng chiếu AB) tức AB thuộc mp(P) từ đó xét mối quan hệ a, a’, b. HS nhận thấy đ- ợc nếu b vuông góc với a thì b vuông góc với mặt phăng(a,a') do đó b vuông góc với a. Ngợc lại, nếu b vuông góc với a' thì b vuông góc với mặt phẳng(a,a') do dó b vuông góc với a.
HĐ 3: Phát biểu định lí.
Với sự hỗ trợ của phần mềm Cabri. Giáo viên cho điểm A, B chuyển động tự do trong không gian. Điểm M chuyển động tự do trong mặt phẳng P. Dùng chuột dịch chuyển các điểm A, B, M để quan sát sự thay đổi của các đờng thẳng a, b, a'. Kết quả cho thấy đờng thẳng a, b luôn vuông góc với nhau. GV dẫn dắt HS phát biểu định lý.
Định lý 2.3: “Gọi S là diện tích của đa giác H trong mp (P) và S là diện tích’
hình chiếu H của H trên mp (P ) thì S =S. cos’ ’ ’ ϕ. Trong đó ϕ là góc giữa hai
mp (P) và (P ).’ ”
Định lý này thoạt nhìn thì nó mang ý nghĩa công cụ tính toán nhiều hơn, tuy nhiên có rất nhiều bài toán có thể ứng dụng định lý này rất hiệu quả (nhất là các bài toán tính góc giữa hai mặt phẳng để học sinh nhận thấy đợc các ứng dụng nh vậy. Khi dạy định lý trên ta không đa ra mô hình của định lý 1 cách đơn độc mà sử dụng một mô hình của một bài toán có sử dụng định lý để giải. chẳng hạn ta xét bài toán sau:
Cho hình chóp s.abc có SA vông góc (ABC) gọi ϕ là góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (SBC) chứng minh rằng sabc = SSBC . cosϕ. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
HĐ2: Học sinh vẽ hình và tính diện tích tam giác sabc và tam giác SSBC . Học sinh tính tỷ số SBC ABC S S , và thấy đợc SBC ABC S S = Cos ϕ.
Giáo viên sử dụng Cabri 3D để dựng hình sử dụng công cụ đo diện tích để đo diện tích ΔABC . Đo diện tích ΔSBC, dùng công cụ đo góc giữa hai mặt
phẳng (ABC) và mp (SBC) kết quả cho thấy: Cos ϕ =
SBCABC ABC
SS S
ta có thể thay đổi vị trí của điểm A, S : Cho học sinh quan sát thì thấy Cos ϕ thay đổi diện tích
tam giác (ABC), (SBC) thay đổi thoả mãn Cos ϕ =
SBCABC ABC
SS S
. Khi đó học sinh tin t-
ởng vào dự đoán của mình là
SBCABC ABC S S = Cos ϕ. Từ đó HS tìm cách chứng minh dự đoán.(h23)
HĐ3: Chứng minh dự đoán : Không khó khăn khi HS áp dụng công thức
tính diện tích tam giác để tính diện tích ∆ABC. Còn nếu gặp khó khăn trong khi Hình23
Hình 24
chứng minh thì giáo viên hớng dẫn chứng minh AH = SH.Cosϕ. HS là đờng cao tam ΔABC suy ra SABC = BC AH BC.SH
21 1 .
2
1 = = SSBC.Cosϕ.
Từ đó mở rộng kết quả của ví dụ trên ta có định lý tổng quát sau:
HĐ4: Phát biểu định lý.
Nhận xét: ở HĐ2 và HĐ3 có sự hỗ trợ của phần mềm Cabri 3D đã giúp học sinh phát hiện ra định lý và tìm cách chứng minh định lý. Tuy nhiên việc áp dụng phần mềm có những u điểm và nhợc điểm. Nếu ta sử dụng phần mềm một cách hợp lý, đúng lúc thì sẽ làm tăng hiệu quả của bài giảng giúp học sinh phát triển t duy biết nhìn nhận bài toán dới nhiều góc độ nhất là dới góc độ của sự vận động. Còn nếu ta lạm dụng những tính năng của phần mềm làm mất đi trí sáng tạo, tạo ra môi trờng lời nhác chọc sinh.
Định lý 2.4: " Nếu một mặt phẳng chứa một đờng thẳng vuông góc với
một mặt phẳng khác thì hai mặt phẳng đó vuông góc với nhau"
HĐ1: Xem xét bài toán.
Cho hình tứ diện ABCD có AB, AC, AC đôi một vuông góc. hãy chỉ ra các đờng thẳng lần lợt vuông góc với các mặt phẳng (ABC), (ACD), (ABD) từ đó suy ra các mặt ấy đôi một vuông góc.
HĐ2: Học sinh vẽ hình và dự đoán góc giữa các cạnh AB, AC, AD với
các mặt phẳng (ABC) , (ACD), (ABD). Xác định góc giữa các cạnh đó với các mặt phẳng đến đây giáo viên sử dụng Cabri trợ giúp học sinh vẽ lại hình và thực hiện các phép đo góc giữa các cạnh AB, AC, AD với các mp (ABC), (ACD) (ABD) bởi thuộc tính đo góc. Kết quả cho thấy AD thuộc mp (ABC); AB vuông góc (ADC), AC vuông góc mp( ADB).(h24)
Giáo viên có thể đo thêm một số góc giữa các cạnh và mặt phẳng khác. Từ những hình ảnh cụ thể học sinh dự đoán các cạnh AB, AD, AC, vuông góc với các mặt phẳng(ADC), mp(ABC), mp(ADB) từ đó HS sẽ dự đoán đợc mối quan hệ giữa các mặt phẳng đó.
HĐ3: Chứng minh dự đoán. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Giáo viên sử dụng thuộc tính đo góc để kiểm tra góc giữa các mp (ABC), mp (ADC), mp (ADB). Yêu cầu học sinh kiểm tra dự đoán đó bằng lập luận logic, thông qua sự hớng dẫn của GV, học sinh chứng tỏ góc giữa hai đờng thẳng lần lợt vuông góc với hai mp. Thì vuông góc với nhau . Cụ thể.
Đờng thẳng AB thuộc mp (ABC). AB vuông góc AD và AB vuông góc AC. Suy ra AB vuông góc (ADC).
Đờng thẳng AD thuộc mp (ADC). AD vuông góc AB và AD vuông góc AC . Suy ra AD vuông góc với mp ( ABC).