Theo chủ nghĩa duy vật biện chứng thì “hoạt động nhận thức là quá trình phản ánh thế giới khách quan vào bộ óc con ngời thông qua lăng kính chủ quan”. Nh vậy, chủ nghĩa duy vật thừa nhận thế giới tồn tại độc lập và không lệ thuộc vào ý thức của con ngời, và nó là nguồn gốc duy nhất của nhận thức. Chủ nghĩa duy vật cũng cho ta biết nguồn gốc duy nhất của nhận thức. Chủ nghĩa duy vật cũng cho ta biết điều quan trọng nữa là, đứng trớc những sự vật , hiện tợng khác nhau thì mỗi ngời khác nhau sẽ có sự nhận thức khác nhau; đó là vì: “lăng kính chủ quan” của mỗi ngời phản ánh thế giới khách quan là khác nhau.
Ví dụ nh trong toán học chẳng hạn, đứng trớc một bài toán thì tâm sinh lí khác nhau, trình độ khác nhau sẽ tạo ra một "lăng kính chủ quan" phản ánh khác nhau. Và vì thế các em có nhận xét khác nhau, đa ra hớng giải khác nhau và lời giải cũng sẽ khác nhau tơng đối.
VD: Tìm giá trị min của biểu thức A=|x+1| + |x-2|. Có học sinh nhận xét rằng: |x+1| ≥0, ∀x
|x-2| ≥0, ∀x Vậy A ≥0 suy ra Amin =0. Học sinh khác lại giải nh sau:
Ta có A=|x+1| + |x-2| = |x+1| + |2-x|≥ |(x+1)+(2-x)|=3. Vậy Amin=3 khi x+1=2-x hayx =21.
Học sinh thứ 3 lại giải nh sau:
Ta có A=|x+1| + |x-2| = |x+1| + |2-x| ≥ |(x+1) +(2-x)| =3. Vậy Amin =3 ⇔(x+1)(2-x) ≥ 0 ⇔x ∈[-1;2].
Một học sinh khác lại giải nh sau:
Xét dấu biểu thức A= |x+1| + |x-2| (phá trị tuyệt đối)
X −∞ -1 2 + ∞|x+1| -x-1 0 x+1 x+1 |x+1| -x-1 0 x+1 x+1
|x-2 | 2-x 2-x 0 x-2 A 1-2x 3 3 3 2x-1 Đồ thị biểu diễn A theo x nh sau:
Nhìn vào đồ thị ta thấy A≥3. Dấu "=" xảy ra khi x ∈ [-1;2] Vậy, Amin=3 ⇔x ∈ [-1;2] .
Nh vậy, tuỳ vào trình độ nhận thức khác nhau mà các em có lời giải khác nhau, có em giải đúng, có em giải sai. Tuy có em giải khác nhau song
đáp số vẫn nh nhau. Trong ví dụ trên 2 em đầu giải sai, còn 2 em sau giải đúng.
Hoạt động nhận thức là một quá trình hoạt động đa dạng phong phú và rất phức tạp của não bộ con ngời. Để khái quát quá trình đó Lênin đã diễn tả nh sau: "Từ trực quan sinh động đến t duy trừu tợng, và từ t duy trừu tợng đến thực tiễn - đó là con đờng biện chứng của sự nhận thức thực tại khách quan". Trong đó trực quan sinh động ( hay nhận thức cảm tính ) là giai đoạn đầu tiên của quá trình nhận thức, nó gắn liền với thực tiễn, nó phản ánh trực tiếp khách thể bằng các giác quan và diễn ra với các hình thức cơ bản kế tiếp nhau nh: cảm giác, tri giác và biểu tợng.
T duy trừu tợng (nhận thức lí tính) là giai đoạn của quá trình nhận thức dựa trên cơ sở những tài liệu do trực quan sinh động đem lại. T duy trừu tợng cũng phản ánh hiện thực, nhng là sự phản ánh gián tiếp và khái quát. Dựa trên cơ sở đó, để hình thành một khái niệm hay một định lí hình học nói riêng và dạy học hình học nói chung ta nên đi theo con đờng nhận thức mà Lênin đã vạch ra “Từ trực quan sinh động đến t duy trừu tợng”. Để có đợc trực quan sinh động chúng ta nên cho học sinh quan sát các mô hình, các giáo cụ trực quan, hình vẽ hoặc thực tế xung quanh hoặc kiến thức cũ...có liên quan đến khái niệm và định lý sẽ học.Với trí tò mò, ham hiểu biết học trò sẽ rất muốn quan sát khám phá và đa ra những dự đoán theo gợi ý của giáo viên từ đó đa đến định nghĩa của khái niệm hoặc định lý cần chiếm lĩnh.
Phơng pháp sẽ rất hiệu quả nếu giáo viên chuẩn bị đợc các giáo cụ trực quan sinh động đẹp mắt và dễ cảm nhận bằng việc quan sát hay thử nghiệm của học sinh. Có khi chúng ta đi ngợc lại từ “t duy trừu tợng đến trực quan” để các em kiểm tra sự đúng đắn của lý thuyết trừu tợng vừa học với thế giới trực quan sinh động xung quanh để khắc sâu thêm lý thuyết vừa học và để cho các em tin rằng khái niệm đã học là tồn tại, định lí vừa học là đúng đắn. Nh vậy các em sẽ tin tởng vào khoa học toán học và say mê môn học.