Một trong những thao tác t duy của học sinh luôn đợc rèn luyện và sử dụng khi học tập Toán Học là tơng tự hoá. Cũng giống nh sự dự đoán trong phơng pháp qui nạp toán học, phép tơng tự cho ta những nhận định cha hẳn đúng, nhng những nhận định, suy luận, dự đoán kết quả là rất cần thiết khi học toán. Để kiểm định sự đúng, sai thì chúng ta phải chứng minh bằng lập luận logic của Toán Học. Khi học hình học không gian, học sinh gặp rất nhiều khó khăn tuy các em đã đợc trang bị kiến thức hình học phẳng đầy đủ - lúc đó phép tơng tự sẽ giúp rất nhiều cho việc dạy học hình học không gian.
Chúng ta cùng xét một số ví dụ sau:
VD1: Trớc hết ta liệt kê một số khái niệm tơng tự trong hình học phẳng và hình học không gian:
VD2: Khi chuyển đổi ngôn ngữ trong mặt phẳng sang ngôn ngữ trong không gian chúng ta sẽ có đợc một hệ thống khái niệm và định lý trong không gian t- ơng tự nh trong phẳng.
Chẳng hạn:
+) Trong mặt phẳng ta có a ⊥b ⇔ (a∧,b) =900 Trong không gian ta cũng có a ⊥b ⇔ (a∧,b) =900
Hình học phẳng
- Đờng thẳng trong mặt phẳng (không gian 2 chiều) - tam giác trong mặt phẳng - hình bình hành.
- Hình đa giác(tứ giác trở lên) - Khái niệm diện tích.
- Giao điểm của 2 đờng thẳng. - Khái niệm thẳng hàng
Hình học không gian
- Mặt phẳng trong không gian (không gian 3 chiều) - Tứ diện trong không gian - Hình hộp
- Khối đa diện - Khái niệm thể tích
- Giao tuyến của 2 mặt phẳng - Khái niệm đồng phẳng
+)Trong mặt phẳng cho tam giác AOB vuông tại O, OH là đờng cao ta có: 2 2 2 1 1 1 OB OA OH = +
Trong không gian ta có định lý tơng tự:
Cho tứ diện OABC có có 3 cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc. Kẻ OH ⊥mp(ABC), H∈ mp(ABC) ta có: 2 2 2 2 1 1 1 1 OC OB OA OH = + +
+) Trong mặt phẳng ta có định lí Pitago: Cho tam giác ABC vuông tại A ta có BC2= AB2+AC2.
Trong không gian ta có định lí: Cho tứ diện ABCD có AB, AC, AD đôi một vuông góc, ta có:
22 2 2 2 ACD ABD ABC BCD S S S S∆ = ∆ + ∆ + ∆
VD3: Phép tơng tự không chỉ dừng lại ở sự tơng tự giữa hình học phẳng và hình học không gian, mà nó còn có cả sự tơng tự trong không gian với nhau rất có ý nghĩa - chẳng hạn, khi thay một đối tợng này bằng một đối tợng khác trong một khái niệm hay trong một định lý thì ta sẽ có một khái niệm hay một định lý mới tơng tự. Ta xét các ví dụ sau:
“Qua một điểm O cho trớc, có một mặt phẳng duy nhất vuông góc với một đ- ờng thẳng cho trớc”.
Nếu thay mặt phẳng và đờng thẳng cho nhau ở định lý 1 ta sẽ đợc định lý 2 nh sau:
“Qua một điểm O cho trớc, có một đờng thẳng duy nhất vuông góc với một mặt phẳng cho trớc”.
Vậy để hình thành định lý 2 sau khi học xong định lý 1, giáo viên chỉ cần đặt câu hỏi:
“ Nếu thay từ “mặt phẳng” và “đờng thẳng” trong định lý 1 cho nhau thì nội dung của nó có còn đúng không? Hãy chứng minh điều đó?”
Làm nh vậy học sinh sẽ phải suy nghĩ và tự phát hiện ra định lý 2 - Điều đó tạo hứng thú học tập cho các em.
*) Tính chất 1: “ Cho hai đờng thẳng song song, mặt phẳng nào vuông góc với đờng thẳng này thì cũng vuông góc với đờng kia”.
Nếu thay thế “đờng thẳng” và “mặt phẳng” ở tính chất 1 cho nhau ta sẽ có đợc tính chất 2 nh sau:
“ Cho 2 mặt phẳng song song. Đờng thẳng nào vuông góc với mặt phẳng này thì cũng vuông góc với mặt phẳng kia” (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
(aP)//⊥ba}⇒ (P)⊥b (Pd)//((PQ)) ⇒d⊥(Q)
⊥ ⊥
*) Tính chất 3: “Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đờng thẳng thì song song với nhau”.
Đổi “mặt phẳng” cho “đờng thẳng” ta có tính chất 4 nh sau:
“ Hai đờng thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau” ≠⊥ ⊥ ) ( ) ( ) ( ) ( Q P d QP d ⇒ (P)//(Q) ≠ ⊥⊥ b a Q b P a ) ( ) ( ⇒ a//b.
VD4: Ta biết rằng “nếu một đờng thẳng có chiều dài là S thì hình chiếu của nó có chiều dài là S' bằng tích của S với Cosin của góc ϕ giữa đờng thẳng chứa đoạn thẳng và đờng thẳng chiếu”.
S'=A'B'=AB. Cosϕ = S. Cosϕ
Nếu thay danh từ "đoạn thẳng" bằng "tam giác" " chiều dài" bằng " diện tích" " đờng thẳng" bằng "mặt phẳng" Ta sẽ có đợc một định lý nh sau:
" Nếu một tam giác có diện tích S thì hình chiếu của nó có diện tích là S' bằng tích của S với Cosin của góc ϕ giữa mặt phẳng chứa tam giác và mặt phẳng
chiếu".
S∆ABC'=S∆ABC.Cosϕ.
*) Tổng quát hơn, nếu ta thay "tam giác" bằng "đa giác" vào định lí trên thì ta cũng sẽ có một khẳng định đúng - đó là hệ quả của định lý: " Nếu S là diện tích của một đa giác phẳng, S' là diện tích của đa giác chiếu và ϕ là góc giữa mặt phẳng của đa giác và mặt phẳng chiếu thì ta có: S'=S.Cosϕ".
Vd5: Từ một định lý quen thuộc trong phẳng là " Trong một tam giác, ba đờng cao đồng quy tại một điểm, điểm đó gọi là trực tâm của tam giác đó." Bằng phép tơng tự hãy phát biểu định lý đó trong không gian?
Có một vấn đề mà học sinh băn khoăn là: Trong một tứ diện bất kỳ, bốn đờng cao có đồng quy hay không? Hay tứ diện phải có đặc điểm gì thì bốn đờng cao mới đồng quy?
Để giải quyết băn khoăn đó, ta xét hai tứ diện đặc biệt sau: a) Tứ diện đều: có bốn đờng cao đồng quy