(Nguồn gốc thực tiễn và đặc điểm trừu tợng của toán học)
Khoa học toán học có hai đặc điểm cơ bản sau đây:
Một là tính trừu tợng cao độ và tính thực tiễn phổ dụng. Hai là tính lôgic và tính thực nghiệm.
*Tính trừu tợng của toán học do chính đối tợng và phơng pháp của toán học quy
định, nó thể hiện qua hai định nghĩa sau:
+) Toán học là khoa học nghiên cứu về các quan hệ số lợng, hình dạng và logic trong thế giới quan.
+) Toán học là khoa học nghiên cứu về cấu trúc số lợng mà ngời ta có thể trang bị cho một tập hợp bằng một hệ tiên đề (Nguyễn Cảnh Toàn 2001, trang707).
Nh vậy, những quan hệ số lợng đợc hiểu theo một nghĩa rất tổng quát và rất trừu tợng. Chúng có thể diễn tả cả quan hệ logic và quan hệ hình dạng không chỉ trong không gian thực tế 3 chiều mà còn trong không gián n chiều… Quan hệ số lợng không chỉ bó hẹp trong phạm vi tập hợp số mà còn mở rộng với những tập hợp có những phần tử tuỳ ý nh tập hợp ma trận, mệnh đề, phép biến hình…
Trong toán học, cái trừu tợng đợc tách khỏi mọi chất liệu của đối tợng, chỉ giữ lại những quan hệ số lợng dới dạng cấu trúc mà thôi.
Sự trừu tợng của toán học không chỉ là sự trừu tợng hoá những đối tợng vật chất cụ thể mà nó còn trừu tợng hoá những cái trừu tợng đã đạt đợc trớc đó nh những khái niệm vành, trờng, không gian vectơ…
Tính trừu tợng cao độ chỉ che lấp chứ không hề làm mất tính thực tiễn của toán học. Toán học có nguồn gốc từ thực tiễn, toán học ra đời do nhu cầu của thực tiễn và nó phục vụ cho thực tiễn. Số học ra đời do nhu cầu cần đếm,
hình học ra đời do sự cần thiết phải đo ruộng đất bên bờ sông Nin (Ai Cập) sau những trận lụt hàng năm.
• Xuất phát từ những đặc điểm đó của môn toán mà ngay từ tiểu học ngời ta đã dạy cho học trò đi từ cụ thể đến trừu tợng.
VD: Một quả cam và một quả cam là hai quả cam. Một cái bút và một cái bút là hai cái bút.
Từ đó đi đến trừu tợng là: 1 và 1 là 2 hay 1 cộng1 bằng 2 viết: 1+1=2.
ở trung học và đại học cũng vậy, vấn đề dạy học xuất phát từ trực quan, từ những ví dụ cụ thể hay những trờng hợp đặc biệt để đi đến cái tổng quát , cái trừu tợng sẽ làm cho học sinh tiếp thu kiến thức toán học tốt hơn vì nó phù hợp với quy luật nhận thức.
Đó chính là một cơ sở để xây dựng phơng pháp dạy học trực quan trong toán học nói chung và trong hình học không gian nói riêng. Hình học không gian là đối tợng trừu tợng nhất trong hệ thống hình học phổ thông – tính trừu tợng đợc thể hiện đầu tiên và rất rõ nét ở hình biểu diễn các hình hình học không gian . Vì trong không gian các vị trí tơng đối giữa các đối tợng hình học và các quan hệ bằng nhau, quan hệ liên thuộc cũng không còn đúng nh trong hình học phẳng mà các em đã biết.
Ví dụ: Tam giác ABC sau đây là ∆ đều, tuy nhiên ta nhìn thấy AB, BC, AC là không bằng nhau một cách trực quan hay cho tứ diện đều S.ABC. Nhng ta lại “nhìn thấy” tam giác SAC có phần lớn hơn tam giác ABC rất nhiều. Có khi có học sinh lại thắc mắc rằng SA và BC cùng vẽ trong một mặt phẳng – là trên một trang giấy sao lại nói SA và BC chéo nhau đợc?
Ta xét một ví dụ khác, xem hình vẽ bên:
Theo bạn đờng thẳng ∆ và mp(α) có quan hệ với nhau nh thế nào? ∆⊥ mp(α) hay ∆ ⊂ mp(α) ? hay ∆ // mp(α)?
Hoặc bạn hãy quan sát hình bên và cho biết điểm S lồi lên hay lõm xuống.
Một ví dụ về liên thuộc nh sau: Bạn hãy cho biết hai điểm M và N điểm nào nằm trong, điểm nào nằm ngoài mp(α)?
Tóm lại hình học không gian là rất trừu t-
ợng, khó tởng tợng và khó hiểu (nhận xét của học sinh trung học phổ thông). Chính vì thế trực quan đóng vai trò rất quan trọng giúp học sinh chiếm lĩnh kiến thức mới.
3. Trình độ t duy trừu t ợng của học sinh còn thấp.
Trớc khi học hình học không gian, học sinh đang làm quen với việc nghiên cứu các hình học trong mặt phẳng. Mỗi hình đều có thể biểu diễn tờng minh phản ánh trung thực hình dạng và có thể cả về kích thớc bằng hình vẽ trên mặt giấy. Mọi quan hệ nh quan hệ liên thuộc, thứ tự, song song, vuông góc và bằng nhau,… đều đợc biểu diễn một cách trực quan. Nay học hình học không gian, hình vẽ không phản ánh trung thực các quan hệ đó nữa. Chính vì thế từ hình vẽ trên mặt phẳng giấy ( Bảng đen) các em phải tởng tợng, hình dung ra trong không gian. Nếu có hình dung tởng đúng thì mới có hình vẽ đúng và giải đúng các bài toán không gian. Nhng đã có rất nhiều học sinh vì t duy trừu tợng còn hạn chế nên gặp phải rất nhiều sai lầm trong khi vẽ hình
biểu diễn và hiểu sai về hình biểu diễn. Ta xét một số sai lầm mà học thờng mắc phải thông qua các ví dụ sau:
VD1: Cho 4 điểm A, B, C, D không cùng nằm trên một mặt phẳng, điểm I thuộc đoạn AB, J thuộc đoạn CD. Xác định giao tuyến của (ABJ) và (CDI)
Có học sinh giải nh sau:
Gọi E, F lần lợt là giao điểm của ID và AJ và của IC và BJ suy ra giao tuyến là EF.
Sai ở chỗ em cho rằng hai đờng chéo nhau AJ và ID cắt nhau tại E (tơng tự IC và BJ cắt nhau tại F) vì hình biểu diễn của các cặp đờng chéo nhau này nhìn nh là cắt nhau vậy. Đó là do các em cha có kỹ năng xác định giao tuyến của 2 mặt và cha hiểu cách vẽ hình biểu diễn.
VD2: Giao điểm của đờng thẳng và mặt phẳng (nếu có) là hoàn toàn xác định, nhng vì cha nắm vững nên sẽ có hình biểu diễn sai nh sau:
Trong đó MM’//NN”, M’, N’ ∈(P) ⇒ sai vì M’, N’, A không thẳng hàng (M’, N’, A thẳng hàng mới đúng)
VD3: Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình bình hành .Một mp(α) cắt SA, SB, SC, SD lần lợt tại M, N, P, Q.
Chứng minh rằng: SMSA +SCSP =SNSB +SQSD
Có học sinh đã lấy 4 điểm M, N, P, Q bất kì trên SA, SB, SC, SD dẫn đến không tìm ra lời giải.
Ta phải dựng M, N, P, Q bằng cách lấy 3 điểm M, N, P bất kì trên SA, SB còn điểm Q phải là điểm giao của SD với mặt phẳng (MNP). Từ đó suy ra
SQSD SD SN SB SP SC SM SA + = + (vì đều =2SOSI )
VD4: Học sinh cũng có thể gặp khó khăn trong bài toán đơn giản sau vì cha nắm vững cách xác định giao tuyến và không hiểu đợc hình biểu diễn.
“ Cho hai hình bình hành ABCD, ABEF không đồng phẳng.
Gọi O là trung điểm AE, M ∈CD sao cho MC = 2MD. Xác định giao tuyến của (MOA) và (DAF).”
Nếu sử dụng mô hình trực quan chúng ta sẽ khắc phục đợc những khó khăn đó của học sinh. Đây chính là một trong những cơ sở để chúng ta xây dựng phơng pháp trực quan trong dạy học hình học.