4 Góc giữa các đường thẳng và mặt phẳng
4.1 Góc giữa hai đường thẳng
• Ta tính góc giữa hai đường thẳng cắt nhau lần lượt song song hoặc trùng với hai đường thẳng đã cho.
Ví dụ 6.23. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, SA vuông góc với đáy và AC =SB. Tính góc giữa hai đường thẳng SD và AC.
A B C D S O E 4.2 Góc giữa hai mặt phẳng
• Ta đi tính góc giữa hai đường thẳng cùng cắt và vuông góc với giao tuyến tại một điểm.
Ví dụ 6.24. Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Gọi α là góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (DBC). Tính cosα.
Ví dụ 6.25. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy và SA=a. Gọi α là góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SCD). Tính cosα.
4.3 Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
• Tính góc giữa đường thẳng đó với hình chiếu vuông góc của nó lên mặt phẳng kia.
• Tính góc giữa đường thẳng này với một mặt phẳng khác song song với mặt phẳng đã cho.
• Tính góc giữa mặt phẳng này với một đường thẳng khác song song với đường thẳng đã cho.
• Tính góc αgiữa đường thẳng này với một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia, khi đó900−α là giá trị góc cần tìm.
Ví dụ 6.26. Cho tứ diện đều ABCD, tính góc giữa cạnh AB và mặt phẳng (ACD).
Ví dụ 6.27. Cho hình lập phương ABCD.EFGH cạnh a, M là trung điểm của EF. Tính sinα với α là góc giữa AM và (DBG).
A B C D E F G H L N M 5 Khoảng cách
5.1 Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
• Ta tính đoạn thẳng vuông góc chung của hai đường thẳng đã cho.
• Ta tính khoảng cách từ đường thẳng này đến một mặt phẳng song song chứa đường thẳng kia. Ví dụ 6.28. Cho tứ diện đều ABCD cạnha. Tính khoảng cách giữa AB và DC.
Ví dụ 6.29. Cho hình chóp S.ABCD cạnh a, SA=avà vuông góc với đáy. Tính khoảng cách giữa SB và DC; SC và DB; AB và SC. A B C D S O E G H I
5.2 Khoảng cách giữa điểm tới đường thẳng và mặt phẳng
• Tính khoảng cách từ một đường thẳng chứa điểm này và song song với mặt phẳng kia. Ví dụ 6.30. Cho tứ diện đều ABCD cạnha. Tính khoảng cách từ A đến BCD.
Ví dụ 6.31. Cho tứ diện đều ABCD cạnh a, M và N lần lượt là hai trung điểm của AB và CD; I là trung diểm của MN. Tính khoảng cách từ I đến AB và khoảng cách từ I đến BCD.
5.3 Khoảng cách giữa đường thẳng tới mặt phẳng song song
• Ta tính khoảng cách từ một điểm bất kì thuộc đường thẳng này đến mặt phẳng kia.
• Ta tính khoảng cách từ mặt phẳng song song chứa đường thẳng này tới mặt phẳng kia.
Ví dụ 6.32. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp trong đường tròn có đường kính AD = 2a, có cạnh SA ⊥ (ABCD) và SA = a√
6. Tính khoảng cách từ AB đến (SBC).
Ví dụ 6.33. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, có cạnhAB =a. Đường cao SO ⊥(ABCD) và SO=a. Tính khoảng cách giữa hai đường chéo SC và AB.
5.4 Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song
• Tính khoảng cách từ một điểm bất kì thuộc đường thẳng này đến mặt phẳng kia.
Ví dụ 6.34. Cho hình lăng trụ ABC.DEF có cạnh bên AF = a và góc giữa hai mặt phẳng (ACF D) và (DEF) bằng 600. Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng đáy.
6 Diện tích và thể tích
6.1 Tính diện tích thiết diện
Ví dụ 6.35. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh a. Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SA=a√
3. Gọi (α)là mặt phẳng chứa AB và vuoong góc với mặt phẳng (SCD). a) Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởii mặt phẳng (α), thiết diện là hình gì ?
b) Tính diện tích thiết diện.
Ví dụ 6.36. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thang vuông tại A và B với AB = BC = 2a. Cạnh SA = 2a và vuông góc với mặt phẳng ABCD. Gọi M là một điểm trên cạnh AB với AM = x, (0< x < a)và (α) là mặt phẳng qua M vuông góc với AB.
a) Xác định thiết diện của hình chóp cắt bỏi mặt phẳng (α), thiết diện là hình gì ? b) Tính diện tích thiết diện theo a và x
Ví dụ 6.37. Cho tứ diện SABC có ABC là tam giác đều cạnh a và cạnh SA = 2a vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi (α) là mặt phẳng qua B và vuông góc với SC.
a) Xác định thiết diện của hình chóp cắt bỏi mặt phẳng (α). b) Tính diện tích thiết diện.
6.2 Tính thể tích khối đa diện
Ví dụ 6.38. Cho tứ diện ABCD có các cạnh bằng a. a) Tính thể tích tứ diện ABCD.
b) Tính bán kính hình cầu ngoại tiếp của tứ diện. c) Tính bán kính hình cầu nội tiếp của tứ diện.
Ví dụ 6.39. Cho tứ diện SABC có các cạnh bên SA = SB = SC = a và SAB[ = 1200,BSC[ = 600,ASC[ = 900.
a) Chứng minh tam giác ABC vuông. b) Tính thể tích tứ diện SABC.
c) Tính bán kính hình cầu nội tiếp của tứ diện SABC.
Ví dụ 6.40. Cho hình chóp tam giác đều SABC có đường cao SO = 1 đáy ABC có cạnh bằng 2√
6. Điểm M, N là trung điểm của cạnh AC ,AB tương ứng. Tính thể tích hình chóp SAMN và bán kính hình cầu nội tiếp hình chóp đó.
6.3 Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất
Ví dụ 6.41. Cho hình chóp tam giác SABC có SA=a, BC =b, các cạnh còn lại bằng 1. a) Tính thể tích hình chóp theoa, b.
b) Với giá trị nào của x, y thì thể tích hình chóp là lớn nhất.
A B S a C b D E
Ví dụ 6.42. Trong mặt phẳng(P)cho tam giác ABC vuông tạiA, AB =c, AC =b. Trên đường thẳng vuông góc với (P) tại A lấy điểm S sao cho SA=h. M là một điểm trên cạnh SB. Gọi I, J lần lượt là các trung điểm của BC và AB.
a) Tính độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng SI và AB.
b) Tính tỉ số thể tích các hình chóp BMIJ và BSCA khi độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường AC và MJ đạt giá trị lớn nhất. A B S C I b c h J M
Ví dụ 6.43. Cho hai tia Ox, Oy trên mặt phẳng (α). Đoạn SO = a vuông góc với mặt phẳng (α). Các điểm M, N chuyển động trên Ox, Oy sao cho ta luôn có OM +ON =a
a) Tìm giá trị lớn nhất thể tích tứ diện SOMN.
b) Tìm quỹ tích tâm I của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SOMN. Chứng minh rằng khi tứ diện có thể tích lớn nhất thì nó lại có bán kính mặt cầu ngoại tiếp nhỏ nhất.
O x y x y O D M N M1 N1 I1 M2 N2 I2
Ví dụ 6.44. Cho tam giác đều OAB có cạnh AB=a. Trên đường thẳng d đi qua O và vuông góc với mặt phẳng (OAB) lấy một điểm M với OM =x. Gọi E, F lần lượt là các hình chiếu vuông góc của A lên MB và OB. Đường thẳng EF cắt d tại N.
a) Chứng minhAN ⊥BM
b) Tìm x để thể tích tứ diện ABMN nhỏ nhất, tính giá trị nhỏ nhất đó.
O B A M E F N
Ví dụ 6.45. Cho tứ diện SABC có các góc phẳng ở đỉnh S vuông. a) Chứng minh rằng √3SABC ≥SSAB +SSBC +SSAC
b) Biết rằng SA = a, SB +SC = k không đổi. Đặt SB = x. Tính thể tích của tứ diện SABC theo a, x, k và xác định SB, SC để tứ diện SABC có thể tích lớn nhất.
A S a C c B E H
Ví dụ 6.46. Cho đường tròn tâm O bán kính R. Xét hình chóp SABCD có SA vuông góc với mặt phẳng đáy ( S và A cố định ), SA=h cho trước, đáy ABCD là một tứ giác tùy ý nội tiếp đường tròn đã cho. a) Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SABCD.
b) Hỏi ABCD là hình gì để thể tích hình chóp đạt giá trị lớn nhất.
D S A C B O E I Monday, June 17, 2013 at 17:31
Chương 7
Phương Trình Mũ Và Logarit
1 Phương trình mũ
1.1 Phương trình mũ cơ bản Ví dụ 7.1. Giải phương trình sau
2x+ 2x+1+ 3.2x+2+ 5.2x+3 = 110 Lời giải 7.1. Tập xác địnhD=R.
2x+ 2x+1+ 3.2x+2+ 5.2x+3 = 110⇔2x+ 2.2x+ 12.2x+ 40.2x = 110
⇔55.2x = 110⇔2x= 2 ⇔x= 1 Ví dụ 7.2. Giải phương trình sau
9x2+x+1 = 273x−1 Lời giải 7.2. Tập xác địnhD=R. 9x2+x+1 = 273x−1 ⇔32(x2+x+1) = 33(3x−1) ⇔2(x2+x+ 1) = 3(3x−1)⇔2x2−7x+ 5 = 0⇔ " x = 1 x = 5 2
Ví dụ 7.3. Giải phương trình sau
3x−3.3x+1+ 3x+2 = 7x+ 7x+3−48.7x+1 1.2 Phương trình giải bằng phương pháp đặt ẩn phụ
Ví dụ 7.4. Giải phương trình sau
4x+ 2x+2−5 = 0
Lời giải 7.3. Tập xác địnhD=R. Đặt t = 2x, chú ý t >0, khi đó phương trình đã cho trở thành t2+ 4t−5 = 0⇔ " t = 1 t =−5 (loại) t = 1⇔2x = 1⇔x= 0 95
Ví dụ 7.5. Giải phương trình sau 32x−8.3x+ √ x+4−9.9 √ x+4 = 0 Lời giải 7.4. Tập xác địnhD=R. Chia hai vế cho 32x ta được
32x−8.3x+ √ x+4−9.9 √ x+4 = 0⇔ −9.9 √ x+4−x−8.3 √ x+4−x+ 1 = 0 Đặt t= 3 √ x+4−x, chú ý t >0, phương trình đã cho trở thành −9t2−8t+ 1 = 0⇔ " t =−1 (loại) t = 19 t = 1 9 ⇔3 √ x+4−x = 1 9 ⇔√x+ 4−x=−2⇔√x+ 4 = x−2⇔x= 5 Vậy x= 5 là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho.
Ví dụ 7.6. Giải phương trình sau
3sin2x+ 2.3cos2x= 5 Lời giải 7.5. Tập xác địnhD=R.
3sin2x+ 2.3cos2x = 5 ⇔3sin2x+ 2.31−sin2x = 5⇔3sin2x+ 6 3sin2x = 5 Đặt t= 3sin2x, chú ý t >0, khi đó phương trình đã cho trở thành
t+6 t −5 = 0 ⇔ " t = 2 t = 3 ⇔ " 3sin2x = 2 3sin2x = 3 ⇔ " sin2x =log32 sin2x = 1 ⇔ x =±arcsin√ log32 + 2kπ x =π±arcsin√ log32 + 2kπ x = π2 +kπ k ∈Z
Ví dụ 7.7. Giải phương trình sau
(2−√3)x+ (√
3 + 2)x = 4 Lời giải 7.6. Tập xác địnhD=R.
Đặt t= (√
3 + 2)x ⇒(2−√3)x = 1t, khi đó t >0. Phương trình đã cho trở thành t+ 1 t = 4 ⇔t2−4t+ 1 = 0⇔ " t = 2−√3 t = 2 +√ 3 ⇔ " x =−1 x = 1 Ví dụ 7.8. Giải phương trình sau