3.1 Biết ba đỉnh của tam giác
1. Viết phương trình ba cạnh của tam giác 2. Viết phương trình đường cao AH
3. Viết phương trình đường trung tuyến AM 4. Viết phương trình đường phân giác AI
5. Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC 6. Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác ABC Lời giải 3.34.
Tam giác có a= 5; b = 4 ;c= 3. Gọi M, N, P lần lượt là tiếp điểm của đường tròn nội tiếp với các cạnh AB, BC, CA tương ứng. Ta có AM = b+c2−a = 1 BN = a+2c−b = 3 CP = a+2b−c = 2 ⇔ −→ AB = 4−−→ AM −−→ BN = 35−−→ BC −→ AC = 3−→ AP ⇔ M(1; 2) N 45;135 P(0; 1) C A B O N P M
Đường tròn nội tiếp đi qua ba điểm M, N, P nên ta suy ra đường tròn có phương trình (C) :x2+y2−4y+ 3 = 0
3.2 Biết hai đỉnh của tam giác
Ví dụ 3.41. Cho tam giác ABC có A(3; 4)vàB(−1; 2). Điểm H 97;107 là trực tâm của tam giác. Viết phương trình 3 cạnh của tam giác.
Ví dụ 3.42. Cho tam giác ABC có A(3; 4)vàB(−1; 2). ĐiểmG 4 3; 2
là trọng tâm của tam giác. Viết phương trình 3 cạnh của tam giác.
Ví dụ 3.43. Cho tam giác ABC có A(3; 4) và B(−1; 2). Một phương trình đường cao của tam giác d: −3x+ 2y+ 1 = 0 và một phương trình đường trung tuyến d0 :y−2 = 0. Viết phương trình 3 cạnh của tam giác.
Ví dụ 3.44. Cho tam giác ABC cóA(3; 4)và B(−1; 2). GọiE vàF lần lượt là trung điểm của AC và AB. Hai đường thẳng d1 : 3x−y= 0 và d2 :−4x−3y+ 16 = 0lần lượt đi qua E và F. Viết phương trình 3 cạnh của tam giác.
Ví dụ 3.45. Cho tam giác ABC có A(3; 4) và B(−1; 2). Gọi Gtrọng tâm tam giác ABC. Hai đường thẳng d1 :x+ 3y−1 = 0 và d2 : 6x−y−6 = 0 lần lượt đi qua C và G. Viết phương trình 3 cạnh của tam giác.
Ví dụ 3.46. Cho tam giác ABC có A(2;−1) và B(1; 2). Đường thẳng d : 2x−y−2 = 0 là phương trình một đường phân giác trong của tam giác. Viết phương trình 3 cạnh của tam giác.
3.3 Biết một đỉnh của tam giác
Ví dụ 3.47. Cho tam giác ABC có A(−2; 4) và trọng tâm G(1; 2). Điểm B thuôc vào đường thẳng d có phương trình−4x+ 5y+ 7 = 0, điểmC thuôc vào đường thẳngd0 có phương trình 3x−4y = 0. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác.
Lời giải 3.35.
Điểm B thuộc vào đường thẳng có phương trình −4x + 5y + 7 = 0 suy ra tọa độ B có dạng B m;4m5−7
Điểm C thuộc vào đường thẳng có phương trình 3x−4y= 0 suy ra tọa độC có dạng C m;34m. Mặt khác G(1; 2) là trọng tâm tam giác nên ta có
( 1 = −2+3m+n 2 = 4+ 4m−7 5 +34m 3 ⇔ ( m = 4 n = 1 ⇔ ( B(4; 3) C(1;−1)
Ví dụ 3.48. Cho tam giác ABC có A(0; 3) và hai đường trung tuyến của tam giác có phương trình lần lượt là d1 : 3x+ 4y= 1 và d2 :−3x+ 7y+ 1 = 0. Viết phương trình 3 cạnh của tam giác.
Ví dụ 3.49. Cho tam giác ABC có A(0; 3) ; d1 :−3x+ 7y+ 1 = 0 là phương trình một đường trung tuyến và d2 :x+ 2y+ 1 = 0là phương trình một đường cao của tam giác. Viết phương trình 3 cạnh của tam giác.
Ví dụ 3.50. Cho tam giác ABC cóA(0; 2)và d1 :−3x+ 4y−2 = 0, d2 :−5x+y−2 = 0là phương trình hai đường cao của tam giác. Viết phương trình 3 cạnh của tam giác.
Ví dụ 3.51. Cho tam giác ABC cóA(0; 3), trọng tâmG 13; 0 và trực tâm H −7 11;−2
11
. Viết phương trình 3 cạnh của tam giác.
Ví dụ 3.52. Cho tam giác ABC cóA(0; 2), điểmM 0;−3 2
là trung điểmBC và trực tâmH −4 7;−2
7 (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
. Viết phương trình 3 cạnh của tam giác.
Ví dụ3.53. Cho tam giác ABC cóA(0; 2), điểmM −1 2;−2
là trung điểmBC vàd:−x+ 4y+ 6 = 0 là phương trình một đường cao trong tam giác. Viết phương trình 3 cạnh của tam giác.
Ví dụ 3.54. Cho tam giác ABC có A(0; 2) và d1 :−2x+ 2y+ 1 = 0; d2 :x+ 3y+ 1 = 0 là phương trình hai đường phân giác trong của tam giác. Viết phương trình 3 cạnh của tam giác.
3.4 Không biết đỉnh của tam giác
Ví dụ 3.55. Cho tam giác ABC cód1 :x+ 4y−14 = 0;d2 : 7x+y−8 = 0và d3 :−5x+ 7y−10 = 0 là phương trình ba đường trung tuyến của tam giác ứng vớicác đỉnh A, B, C và AB= 3√
2. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác.
A B C E F H Lời giải 3.36.
Điểm A thuộc vào đường thẳng d1 :x+ 4y−14 = 0 suy ra tọa độA có dạng A x;144−x Điểm B thuộc vào đường thẳng d2 : 7x+y−8 = 0 suy ra tọa độ B có dạng B(y; 8−7y) Điểm C thuộc vào đường thẳng d3 :−5x+ 7y−20 = 0 suy ra tọa độ C có dạng C z;5z+207 Tọa độ trung điểm của AB là H x+2y;−x−288y+46∈d3
Tọa độ trung điểm của BC là F y+2z;5z−4914y+76∈d1 Tọa độ trung điểm của CA là E z+2x;−7x+2056z+178
∈d2
Thay tọa độ các trung điểm trên vào phương trình đường trung tuyến tương ứng ta có hệ phương trình sau −5 x+2y + 7 −x−288y+46 −20 = 0 7 x+z 2 + −7x+20z+178 56 −8 = 0 z+y 2 + 4 5z−4914y+76−14 = 0 ⇔ −x−8y+ 6 = 0 7x+ 8z−10 = 0 z−7y+ 4 = 0 ⇒ ( x =−8y+ 6 z =−4 + 7y Mặt khác AB = 3√ 2⇔(x−y)2+ (28y−x−18)2 16 = 18 Ta giải được " (x;y;z) = (−2; 1; 3) (x;y;z) = 103 ;13;−5 3
Ví dụ 3.56. Cho tam giác ABC có d1 :−4x+ 5y−18 = 0; d2 :−6x+y−6 = 0 vàd3 :x+ 2y+ 6 = 0 là phương trình ba đường cao của tam giác ứng với ba đỉnh A, B, C và AB = 2√
5. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác.
A
Ví dụ 3.57. Cho tam giác ABC có d1 : x−√3y+ 2 = 0; d2 : x−√3y−6 = 0 và d3 : x = 2 là phương trình ba đường phân giác trong của tam giác ứng với các đỉnh A, B, C và AB= 8. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác.
A
B C
Ví dụ 3.58. Cho tam giác ABC có d1 :−x+y= 0;d2 :−x+ 3y = 0 là phương trình hai đường phân giác góc B và C của tam giác và M 1
2;−1
là tọa độ trung điểm của BC. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác.
Ví dụ 3.59. Cho tam giác ABC có phương trình hai cạnhAB :−x+ 2y−5 = 0vàAC : 4x−y−8 = 0. Điểm H 97;107 là trực tâm của tam giác. Tìm tọa độ ba đỉnh của tam giác.
Để thi đại học có kết quả tốt nhất các em hãy tham khảo các chuyên đề Giải phương trình, Giải hệ phương trình, Bất đẳng thức và các chuyên đề tiếp theo !
Chương 4
Phương Trình Lượng Giác
1 Các công thức lượng giác cơ bản
Quan hệ giữa các hàm lượng giác
• sin2x+ cos2x= 1 • tanx.cotx= 1 ;∀x6=kπ 2, k∈Z • 1 + tan2x= cos12x ;∀x6= π2 +kπ, k ∈Z • 1 + cot2x= sin12x ;∀x6=kπ, k ∈Z Công thức cộng
sin(x+y) = sinxcosy+ cosxsiny cosx+ sinx=√ (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
2 cos x− π 4
=√
2 sin x+π4 sin(x−y) = sinxcosy−cosxsiny cosx−sinx=√
2 cos x+ π4=−√2 sin x− π 4
cos(x+y) = cosxcosy−sinxsiny tanx+ tany= cossin(xxcos+y)y cos(x−y) = cosxcosy+ sinxsiny tanx−tany= cossin(xxcos−y)y tan(x+y) = 1tan−tanx+tanxtanyy cotx+ coty = sinsin(xysin+x)y tan(x−y) = 1+tantanx−xtantanyy cotx−coty= sinsin(xysin−xy)
Công thức nhân đôi Công thức nhân 3 Công thức hạ bậc CT phân đôi sin 2x= 2 sinxcosx sin 3x= 3 sinx−4 sin3x cos2x= 1+cos 22 x Đặt t= tanx2 cos 2x= 2 cos2x−1 cos 3x= 4 cos3x−3 cosx sin2x= 1−cos 22 x sinx= 1+2tt2
cos 2x= 1−2 sin2x tan 3x= 3 tan1−3 tanx−tan2x3x tan2x= 11+cos 2−cos 2xx cosx= 11+−tt22
cos 2x= cos2x−sin2x sin3x= 34sinx− 1
4sin 3x tanx= 1−2tt2
tan 2x= 1−2 tantan2xx cos3x= 34cosx+14cos 3x
Công thức đối Công thức bù Công thức phụ Hơn kém π cos(−x) = cosx sin(π−x) = sinx cos π2 −x= sinx sin(x+π) =−sinx sin(−x) = −sinx cos(π−x) =−cosx sin π2 −x= cosx cos(x+π) =−cosx tan(−x) = −tanx tan(π−x) =−tanx tan π2 −x= cotx tan(x+π) = tanx
Công thức tổng thành tích Công thức tích thành tổng
cosx+ cosy= 2 cosx+2y cosx−2y cosxcosy= 12 (cos(x−y) + cos(x+y)) cosx−cosy=−2 sin x+2ysinx−2y sinxsiny= 12 (cos(x−y)−cos(x+y)) sinx+ siny= 2 sinx+2ycosx−2y sinxcosy= 12 (sin(x−y) + sin(x+y)) sinx−siny= 2 cosx+2ysinx−2y
2 Các dạng phương trình cơ bản
2.1 Phương trình dạng sinx=a Có 3 trường hợp xảy ra
• Nếu |a|>1thì phương trình vô nghiệm.
• Nếu |a| ≤1 và a=sinα thì ta áp dụng công thức nghiệm sau sinx=a⇔sinx= sinα⇔
"
x= α+k2π
x= π−α+k2π ;k ∈Z
• Nếu |a| ≤1 nhưng không tìm thấy giá trị α nào trong bảng lượng giác để a= sinα thì ta áp dụng công thức nghiệm sau
sinx=a⇔ "
x= arcsina+k2π
x= π−arcsina+k2π ;k ∈Z
Ví dụ 4.1. Giải các phương trình sau
a) sinx= 3 b) sinx= 12 c) sinx= 13 Lời giải 4.1.
a) Phương trình sinx= 3 vô nghiệm vì ta có |3|>1 b) Ta có sinπ6 = 12 do đó sinx= 1 2 ⇔sinx= sinπ 6 ⇔ " x= π6 +k2π x= π− π 6 +k2π ⇔ " x= π6 +k2π x= 56π +k2π ;k∈Z c) Vì 1
3 không có trong bảng lượng giác nên ta áp dụng công thức nghiệm sau sinx= 1 3 ⇔ " x= arcsin13 +k2π x= π−arcsin13 +k2π ;k ∈Z 2.2 Phương trình dạng cosx=a Có 3 trường hợp xảy ra (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
• Nếu |a| ≤1 và a=cosα thì ta áp dụng công thức nghiệm sau cosx=a⇔cosx= cosα⇔
"
x= α+k2π
x= −α+k2π ;k∈Z
• Nếu |a| ≤1nhưng không tìm thấy giá trị α nào trong bảng lượng giác để a= cosα thì ta áp dụng công thức nghiệm sau
cosx=a⇔ "
x= arccosa+k2π
x= −arccosa+k2π ;k ∈Z
Ví dụ 4.2. Giải các phương trình sau
a) cosx=−2 b) cosx= √ 2 2 c) cosx= −2 3 Lời giải 4.2.
a) Phương trình cosx=−2 vô nghiệm vì ta có | −2|>1 b) Ta có cosπ4 = √ 2 2 do đó cosx= √ 2 2 ⇔cosx= cosπ 4 ⇔ " x= π 4 +k2π x= −π 4 +k2π ;k ∈Z c) Vì −2 3
không có trong bảng lượng giác nên ta áp dụng công thức nghiệm sau
cosx= −2 3 ⇔ " x= arccos −2 3 +k2π x= −arccos −2 3 +k2π ;k ∈Z 2.3 Phương trình dạng tanx=a Có hai trường hợp xảy ra
• Nếu a= tanα thì ta áp dụng công thức nghiệm sau
tanx=a⇔tanx= tanα⇔x=α+kπ;k ∈Z
• Nếu không tìm thấy giá trị α nào trong bảng lượng giác để tanα = a thì ta áp dụng công thức nghiệm sau
tanx=a⇔x= arctana+kπ;k ∈Z
Ví dụ 4.3. Giải các phương trình sau a) tanx=√ 3 b) tanx= 12 Lời giải 4.3. a) Ta có √3 = tanπ3 do đó tanx=√ 3⇔tanx= tanπ 3 ⇔x= π 3 +kπ;k ∈Z
b) Không có giá trịα nào trong bảng lượng giác thỏa mãntanα= 12 do đó tanx= 1
2 ⇔x= arctan1
2+kπ;k ∈Z
2.4 Phương trình dạng cotx=aCó hai trường hợp xảy ra Có hai trường hợp xảy ra
• Nếu a= cotα thì ta áp dụng công thức nghiệm sau
cotx=a⇔cotx= cotα⇔x=α+kπ;k ∈Z
• Nếu không tìm thấy giá trị α nào trong bảng lượng giác để cotα = a thì ta áp dụng công thức nghiệm sau
cotx=a⇔x=arccota+kπ;k ∈Z
Ví dụ 4.4. Giải các phương trình sau
a) cotx= 1 b) cotx= 13 Lời giải 4.4.
a) Ta có 1 = cotπ4 do đó
cotx= 1 ⇔cotx= cotπ (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
4 ⇔x= π
4 +kπ;k∈Z
b) Không có giá trịα nào trong bảng lượng giác thỏa mãncotα= 13 do đó cotx= 1
3 ⇔x=arccot1
3+kπ;k ∈Z
2.5 Các phương trình lượng giác thường gặp Ví dụ 4.5. Phương trình đưa về cùng hàm lượng giác
a) sinx−cosx= 0 b) tanxtan 3x= 1 Lời giải 4.5.
a) Ta chuyển về cùng hàm sin
sinx−cosx= 0 ⇔sinx= cosx⇔sinx= sin
π 2 −x ⇔ " x= π2 −x+k2π x= π− π 2 −x +k2π ⇔ " 2x= π2 +k2π x= π 2 +x+k2π ⇔x= π 4 +kπ;k ∈Z
b) Ta chuyển về cùng hàm tan. Điều kiện của phương trình là
(
x6= π2 +kπ
3x6= π2 +kπ . Ta có tanxtan 3x= 1⇔tanx= cot 3x⇔tanx= tanπ
2 −3x⇔x= π
2−3x+kπ ⇔x= π 8+k
π
Ví dụ 4.6. Giải phương trình bằng cách nhóm nhân tử
a) sinx+ sin 3x+ sin 5x= 0 b) tanx+ tan 2x= tan 3x b) sinx+ sin 2x= sin 3x Lời giải 4.6.
a) Ta nhóm các hạng tử một cách phù hợp như sau
sinx+ sin 3x+ sin 5x= 0
⇔(sinx+ sin 5x) + sin 3x= 0
⇔2 sin 3x.cosx+ sin 3x= 0
⇔sin 3x(2 cosx+ 1) = 0 ⇔ " sin 3x = 0 cosx =−1 2 ⇔ x =kπ3 x = 23π +k2π x =−2π 3 +k2π ;k ∈Z
b) Điều kiện bài toán
x6= π2 +kπ 2x6= π2 +kπ 3x6= π 2 +kπ Ta áp dụng công thức cộng
tan 3x= tan(2x+x) = tanx+ tan 2x
1−tanxtan 2x ⇔tanx+ tan 2x= tan 3x(1−tanxtan 2x) Do đó phương trình đã cho tương đương
tan 3x(1−tanxtan 2x) = tan 3x⇔tanxtan 2xtan 3x= 0 ⇔ tanx = 0 tan 2x = 0 tan 3x = 0 ⇔ x =kπ x =kπ2 x =kπ3 k ∈Z c) Sử dụng phương pháp nhóm hợp lí và các công thức
sin 2x= 2 sinxcosx sin 3x−sinx= 2 cos 2xsinx cos 2x−cosx=−2 (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
sin3x 2 sin x 2 Ta có
sinx+ sin 2x= sin 3x⇔2 sinxcosx= sin 3x−sinx⇔2 sinxcosx= 2 cos 2xsinx
⇔2 sinx(cos 2x−cosx) = 0⇔ −4 sinxsin3x 2 sin x 2 = 0 ⇔ sinx = 0 sin32x = 0 sinx2 = 0 ⇔ x =kπ x =k23π x =k2π k ∈Z
3 Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx
• Nếu a2+b2 < c2 thì phương trình đã cho vô nghiệm.
• Nếu a2+b2 ≥c2 thì ta chia hai vế cho√a2+b2 Ta được phương trình a
√
a2 +b2sinx+√ b
a2+b2 cosx= √ c
a2+b2
⇔cosαsinx+ sinαcosx= √ c
a2+b2
⇔sin(x+α) = √ c
a2+b2
Trong đóα là góc thỏa mãn cosα= √ a
a2+b2 và sinα= √ b
a2+b2 Khi đó phương trình đã được đưa về dạng cơ bản !
Ví dụ 4.7. Giải phương trình sau
sinx+√
3 cosx= 1 Lời giải 4.7. Ta có a= 1 b =√
3 c= 1, thỏa mãn điều kiệna2+b2 ≥c2 do đó phương trình này có nghiệm. Ta chia hai vế của phương trình cho 2ta được