• Nếu a2+b2 < c2 thì phương trình đã cho vô nghiệm.
• Nếu a2+b2 ≥c2 thì ta chia hai vế cho√a2+b2 Ta được phương trình a
√
a2 +b2sinx+√ b
a2+b2 cosx= √ c
a2+b2
⇔cosαsinx+ sinαcosx= √ c
a2+b2
⇔sin(x+α) = √ c
a2+b2
Trong đóα là góc thỏa mãn cosα= √ a
a2+b2 và sinα= √ b
a2+b2 Khi đó phương trình đã được đưa về dạng cơ bản !
Ví dụ 4.7. Giải phương trình sau
sinx+√
3 cosx= 1 Lời giải 4.7. Ta có a= 1 b =√
3 c= 1, thỏa mãn điều kiệna2+b2 ≥c2 do đó phương trình này có nghiệm. Ta chia hai vế của phương trình cho 2ta được
1 2sinx+ √ 3 2 cosx= 1 2 Chú ý rằng cosπ3 = 12 và sinπ3 = √ 3
2 . Do đó phương trình tương đương cosπ 3sinx+ sin π 3cosx= 1 2 ⇔sinx+ π 3 = sinπ 6 ⇔ " x+π3 = π6 +k2π x+π3 =π− π 6 +k2π ⇔ " x =−π 6 +k2π x = π2 +k2π k ∈Z
Ví dụ 4.8. Giải phương trình sau
3 sinx+ 4 cosx= 5
Lời giải 4.8. Ta có a= 3 b = 4 c= 5, thỏa mãn điều kiện a2+b2 ≥c2 do đó phương trình này có nghiệm. Ta chia hai vế của phương trình cho √32 + 42 = 5 ta được
3
5sinx+ 4
5cosx= 1 Gọiα là góc thỏa mãn cosα= 3
5 và sinα = 4
5 ( ở đây α= arcsin4
5 ). Ta được phương trình cosαsinx+ sinαcosx= 1⇔sin (x+α) = 1
⇔x+α= π 2 +k2π ⇔x=−α+ π 2 +k2π ⇔x=−arcsin4 5 + π 2 +k2π; k ∈Z 4 Phương trình bậc hai đối với các hàm số lượng giác
Phương trình có dạng
Trong đó t là một trong 4 hàm số luọng giác. Để giải phương trình này ta đi giải phương trình bậc hai at2+bt+c= 0 sau đó giải các phương trình cơ bản thu được ! (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Ví dụ 4.9. Giải phương trình sau
sin2x+ 2 sinx−3 = 0
Lời giải 4.9. Phương trình bậc hait2+ 2t−3 = 0 có hai nghiệm là 1và −3 do đó ta có sin2x+ 2 sinx−3 = 0⇔
"
sinx = 1
sinx =−3(vô nghiệm) ⇔x= π
2 +k2π;k ∈Z 5 Phương trình bậc chẵn đối với sinx và cosx
Để giải phương trình này ta xét hai trường hợp
• Với x= π2 +kπ thay vào phương trình, nếu thỏa mãn thì đây là một họ nghiệm của phương trình, nếu không thỏa mãn thì nó không là nghiệm của phương trình đã cho
• Với x6= π2 +kπ khi đócosx6= 0 nên ta chia hai vé cho cosnx trong đó n là bậc cao nhất của các số hạng !
Ví dụ 4.10. Giải phương trình sau
3 sin2x+ 2 sinxcosx−cos2x= 2 Lời giải 4.10.
• Thay x= π2 +kπ vào phương trình ta được3 = 2 ( vô lí ), do đóx= π2 +kπ không là nghiệm của phương trình.
• Với x6= π2 +kπ khi đó cosx6= 0, ta chia hai vế cho cos2x ta được phương trình 3sin 2x cos2x + 2 sinxcosx cos2x − cos 2x cos2x = 2 cos2x
⇔3 tan2x+ 2 tanx−1 = 2(tan2x+ 1)
⇔tan2x+ 2 tanx−3 = 0⇔ " tanx = 1 tanx =−3 ⇔ " x = π4 +kπ x = arctan(−3) +kπ ;k ∈Z
Ví dụ 4.11. Giải phương trình sau
2 sin4x+ 3 sinxcosx−2 = 0 Lời giải 4.11.
• Thay x = π2 +kπ vào phương trình ta được 2−2 = 0 ( thỏa mãn ), do đó x= π2 +kπ là một họ nghiệm của phương trình.
• Với x6= π2 +kπ khi đó cosx6= 0, ta chia hai vế cho cos4x ta được phương trình 2sin
4x
+ 3sinxcosx −2 1 = 0 ⇔2 tan4x+ 3 tanx 1 −2
1 2
⇔2 tan4x+ 3 tanx 1 + tan2x−2 1 + tan2x2 = 0 ⇔3 tan3x−4 tan2x+ 3 tanx−2 = 0
⇔(tanx−1)(3 tan2x−tanx+ 2) = 0⇔tanx= 1 ⇔x= π
4 +kπ;k ∈Z
Vậy phương trình đã cho có hai họ nghiệm x= π
4 +kπ
x= π2 +kπ ;k ∈Z 6 Phương trình bậc lẻ đối với sinx và cosx (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Tương tự nhưm Phương trình bậc chẵn đối với sinx và cosx. Để giải phương trình này ta xét hai trường hợp
• Với x= π2 +kπ thay vào phương trình, nếu thỏa mãn thì đây là một họ nghiệm của phương trình, nếu không thỏa mãn thì nó không là nghiệm của phương trình đã cho
• Với x6= π2 +kπ khi đócosx6= 0 nên ta chia hai vế cho cosnx trong đó n là bậc cao nhất của các số hạng !
Ví dụ 4.12. Giải phương trình sau
2 sin3x= cosx Lời giải 4.12.
• Thayx= π2+kπ vào phương trình ta thấy không thỏa mãn do đóx= π2+kπ không là nghiệm của phương trình.
• Với x6= π2 +kπ khi đó cosx6= 0, ta chia hai vế cho cos3x ta được phương trình 2sin
3x cos3x =
cosx
cos3x ⇔2 tan3x= 1
cos2x ⇔2 tan3x= tan2x+ 1
⇔(tanx−1) 2 tan2x+ tanx+ 1= 0 ⇔tanx= 1⇔x= π
4 +kπ;k ∈Z
Vậy phương trình đã cho có một họ nghiệm x= π
4 +kπ;k ∈Z
Ví dụ 4.13. Giải phương trình sau
sin3x+ cos3x= sinx−cosx Lời giải 4.13.
• Thay x = π2 +kπ vào phương trình ta thấy thỏa mãn do đó x = π2 +kπ là một họ nghiệm của phương trình.
• Với x6= π2 +kπ khi đó cosx6= 0, ta chia hai vế cho cos3x ta được phương trình
Vậy phương trình đã cho có một họ nghiệm x= π
2 +kπ;k ∈Z 7 Phương trình đối xứng đối với sinx và cosx
Để giải dạng toán này ta đặt t = sinx+ cosx và suy ra sinxcosx= t22−1 thay vào lại phương trình để giải t sau đó giải x!
Ví dụ 4.14. Giải phương trình sau
3(sinx+ cosx) + 4 sinxcosx+ 3 = 0 Lời giải 4.14. Đặt t= sinx+ cosx=√ 2 cosx− π 4 suy ra sinxcosx= t 2−1 2 ; |t| ≤√2 Thay vào phương trình ta được
3t+ 2(t2−1) + 3 = 0 ⇔2t2+ 3t+ 1 = 0⇔ " t =−1 t =−1 2 ⇔ " √ 2 cos x− π 4 =−1 √ 2 cos x− π 4 =−1 2 ⇔ " cos x− π 4 =−√1 2 cos x− π 4 =− 1 2√2 ⇔ " x−π 4 =±3π 4 +k2π x−π 4 =±arccos− 1 2√2 +k2π ⇔ x =−π 2 +k2π x =π+k2π x = π4 + arccos− 1 2√2 +k2π x = π4 −arccos− 1 2√2 +k2π k∈Z
Vậy phương trình đã cho có một họ nghiệm x= π
2 +kπ;k ∈Z
Ví dụ 4.15. Giải phương trình tựa đối xứng sau
sinx−cosx+ 4 sinxcosx+ 1 = 0
Để giải dạng toán này ta đặt t = sinx−cosx và suy ra sinxcosx= 1−t2 (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
2 thay vào lại phương trình để giải t sau đó giải x!
Lời giải 4.15. Đặt t= sinx−cosx=√ 2 sinx− π 4
suy ra
sinxcosx= 1−t2
2 ; |t| ≤√2 Thay vào phương trình ta được
t+ 2(1−t2) + 1 = 0⇔2t2−t−3 = 0⇔ " t =−1 t = 32 (loại) ⇔ √ 2 sinx−π 4 =−1 ⇔sinx− π 4 =−√1 2 ⇔ " x− π 4 =−π 4 +k2π x− π 4 = 54π +k2π ⇔ " x =k2π x = 32π +k2π k∈Z 8 Phương trình đối xứng đối với tanx và cotx
Để giải dạng toán này ta đặt t = tanx+ cotx= sin 22 x và suy ratan2x+ cot2x=t2−2 thay vào lại phương trình để giải t sau đó giải x !
Ví dụ 4.16. Giải phương trình sau
2(tan2x+ cot2x)−(tanx+ cotx) = 2 Lời giải 4.16. Đặt t= tanx+ cotx= 2 sin 2x Suy ra tan2x+ cot2x=t2−2 Thay vào phương trình ta được
2(t2−2)−t= 2⇔2t2−t−6 = 0⇔ " t = 2 t =−3 2 ⇔ " sin 2x = 1 sin 2x =−4 3 ( vô nghiệm ) ⇔sin 2x= 1 ⇔2x= π 2 +k2π ⇔x= π 4 +kπ k ∈Z 9 Các phương trình giải bằng phương pháp đánh giá
Để giải phương trình loại này ta đánh giá hai vế của phương trình và tìm điều kiện đẳng thức xảy ra ! Ví dụ 4.17. Giải phương trình sau
2 cosx+ 3 cos 5x= 5 Lời giải 4.17.
Chú ý rằng cosx≤1 vàcos 5x≤1 Suy ra
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ( cosx = 1 cos 5x = 1 ⇔ ( x =k2π x =k25π ⇔x=k2π ∈Z
Ví dụ 4.18. Giải phương trình sau
sin5x+ cos5x= 1 Lời giải 4.18.
Chú ý rằng cos5x≤cos2x và sin5x≤sin2x suy ra
sin5x+ cos5x≤sin2x+ cos2x= 1 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
( cos5x = cos2x sin5x = sin2x ⇔ " cosx= 1 cosx= 0 sin5x= sin2x ⇔ " x=k2π x= π2 +kπ sin5x= sin2x ⇔ " x=k2π x= π2 +k2π k ∈Z
Ví dụ 4.19. Giải phương trình sau
sin8x+ cos8x= 1 8 Lời giải 4.19. Sử dụng bất đẳng thức Cô-si ta có sin8x+ 1 16+ 1 16+ 1 16 ≥ sin 2 x 2 cos8x+ 1 16+ 1 16+ 1 16 ≥ cos 2x 2 Suy ra sin8x+ cos8x≥ 1 8 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
( cos2x = 12 sin2x = 12 ⇔x= π 4 +k π 2 k ∈Z
Ví dụ 4.20. Giải phương trình sau
cos3x−sin3x
√
sinx+√
cosx = 2 cos 2x
10 Một số phương trình lượng giác không mẫu mực
Ví dụ 4.21. Giải phương trình sau
2 sinx+ cos 2x= (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
√
2 cosx
Ví dụ 4.22. Giải phương trình sau
sin2x+1 4sin
23x= sinxsin23x Ví dụ 4.23. Giải phương trình sau
sinx+√
3 cosx=
q
2 + cos 2x+√
3 sin 2x Ví dụ 4.24. Giải phương trình sau
√
1 + cosx+√
1−cosx= 16 sinx Ví dụ 4.25. Giải phương trình sau
sin 4xcos 16x= 1 Ví dụ 4.26. Giải phương trình sau
cos4x−sin4x=|cosx|+|sinx|
Ví dụ 4.27. Giải phương trình sau
sin4x+ cos4x+π 4
= 1 4 Ví dụ 4.28. Giải phương trình sau
tanx+1 4cotx
n
= sinnx+ cosnx n≥2 Ví dụ 4.29. Giải phương trình sau
2 cos3x+ cos 2x+ sinx= 0 Ví dụ 4.30. Giải phương trình sau
4 cosx−2 cos 2x−cos 4x= 1 Ví dụ 4.31. Giải phương trình sau
3 tan 3x+ cot 2x= 2 tanx+ 2 sin 4x Ví dụ 4.32. Giải phương trình sau
√
cos 2x+√
1 + sin 2x= 2√
sinx+ cosx Ví dụ 4.33. Giải phương trình sau (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Ví dụ 4.34. Giải phương trình sau
3 cosx+ 2|sinx|= 3 Ví dụ 4.35. Giải phương trình sau
3 sin 3x−√3 cos 9x= 1 + 4 sin33x Ví dụ 4.36. Giải phương trình sau
3 cosx+ cos 2x−cos 3x= 2 sinxsin 2x Ví dụ 4.37. Giải phương trình sau
cos 2x−√3 sin 2x−√3 cosx−sinx+ 4 = 0 Ví dụ 4.38. Giải hệ phương trình sau
(
sinx+ siny =√
2 cosx+ cosy =√
2 Ví dụ 4.39. Giải hệ phương trình sau
(
sinxcosy = 14 3 tanx = tany Ví dụ 4.40. Giải hệ phương trình sau
(
sinx+ cosy= 12 + siny−cosy 2 sin 2x−sin 2y= 32
Ví dụ 4.41. Giải phương trình sau
cos 4 3x = cos2x Ví dụ 4.42. Giải phương trình sau
|cotx|= tanx+ 1 sinx Ví dụ 4.43. Giải phương trình sau
sinx+p2−sin2x+ sinxp2−sin2x= 3 Ví dụ 4.44. Giải phương trình sau
cos3x+ sin3x= 2−sin4x Ví dụ 4.45. Giải phương trình sau
8 sin2xcosx= √ 3 cosx + 1 sinx Ví dụ 4.46. Giải hệ phương trình sau
(
sin2x= cosxcosy
Ví dụ 4.47. Giải hệ phương trình sau
(
tany−tanx−tanxtany= 1 cos 2y+√
3 cos 2x=−1 Ví dụ 4.48. Giải phương trình sau
tan22xtan23xtan 5x= tan22x−tan23x+ tan 5x Ví dụ 4.49. Giải phương trình sau
(cos 4x−cos 2x)2 = 5 + sin 3x Ví dụ 4.50. Giải phương trình sau
tan2x= 1−cos|x|
1−sin|x|
Ví dụ 4.51. Giải phương trình sau (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
tan2x+ tan2y+ cot2(x+y) = 1 Ví dụ 4.52. Giải phương trình sau
sin22x−cos28x= sin
17π
2 + 10x
Ví dụ 4.53. Giải phương trình sau
cos 2x+ cos 6x+ 4(3 sinx−4 sin3x+ 1) = 0 Ví dụ 4.54. Giải phương trình sau
6 sinx−2 cos3x= 5 sin 4xcosx 2 cos 2x Ví dụ 4.55. Giải phương trình sau
8 cos 4xcos22x+√
1−cos 3x+ 1
Ví dụ 4.56. Giải phương trình sau cos 3x+√
2−cos23x= 2(1 + sin22x) Ví dụ 4.57. Giải phương trình sau
cos23xcos 2x−cos2x= 0
11 Một số đề thi đại học
Bài Tập 4.1. Đề thi đại học khối A -2002 5
sinx+ sin 3x+ cos 3x 1 + 2 sin 2x
= cos 2x+ 3 Bài Tập 4.2. Đề thi đại học khối D -2002
cos 3x−4 cos 2x+ 3 cosx−4 = 0 Bài Tập 4.3. Đề thi đại học khối B -2002
sin23x−cos24x= sin25x−cos26x Bài Tập 4.4. Đề thi đại học khối B -2003
cotx−tanx+ 4 sin 2x= 2 sin 2x Bài Tập 4.5. Đề thi đại học khối A -2003
cotx−1 = cos 2x
1 + tanx + sin
2x− 1
2sin 2x Bài Tập 4.6. Đề thi đại học khối D -2003
sin2 x 2 − π 4 tan2x−cos2 x 2 = 0 Bài Tập 4.7. Đề thi đại học khối B -2004
5 sinx−2 = 3(1−sinx) tan2x Bài Tập 4.8. Đề thi đại học khối A -2005
cos23xcos 2x−cos2x= 0 Bài Tập 4.9. Đề thi đại học khối B -2006 (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
cotx+ sinx 1 + tanxtanx 2 = 4 Bài Tập 4.10. Đề thi đại học khối A -2006
2(cos6x+ sin6x)−sinxcosx
√
2−2 sinx = 0 Bài Tập 4.11. Đề thi đại học khối D -2006
cos 3x+ cos 2x−cosx−1 = 0 Bài Tập 4.12. Đề thi đại học khối D -2007
sinx 2 + cos x 2 2 +√ 3 cosx= 2
Bài Tập 4.13. Đề thi đại học khối B -2007
2 sin22x+ sin 7x−1 = sinx Bài Tập 4.14. Đề thi đại học khối A -2007
(1 + sin2x) cosx+ (1 + cos2x) sinx= 1 + sin 2x Bài Tập 4.15. Đề thi đại học khối D -2008
2 sinx(1 + cos 2x) + sin 2x= 1 + 2 cosx Bài Tập 4.16. Đề thi đại học khối A -2008
1 sinx + 1 sin x− 3π 2 = 4 sin 7π 4 −x
Bài Tập 4.17. Đề thi đại học khối B -2008
sin3x−√3 cos3x= sinxcos2x−√3 sin2xcosx Bài Tập 4.18. Đề thi đại học khối A -2009
(1−2 sinx) cosx (1 + 2 sinx)(1−sinx) =
√
3 Bài Tập 4.19. Đề thi đại học khối A -2010
(1 + sinx+ cos 2x) sin x+ π4 1 + tanx =
1
√
2cosx Bài Tập 4.20. Đề thi đại học khối A -2011
(1 + sin 2x+ cos 2x) 1 + cot2x =
√
2 sinxsin 2x
Các em có thể tham khảo thêm các chuyên đề khác đã được biên soạn để chuẩn bị cho kì thi đại học. Mọi thắc mắc các em có thể liên hệ theo địa chỉ Email: minhphuc.v@gmail.com Thân ái !
Chương 5
Khảo Sát Hàm Số Và Các Vấn Đề Liên Quan
1 Khảo sát các hàm số cơ bản
Các bước khảo sát hàm số
• Tìm tập xác định, xem hàm số là chẵn hay lẻ ?
• Tính đạo hàm và tìm nghiệm của đạo hàm. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
• Tính giới hạn suy tiệm cận nếu có.
• Lập bảng biến thiên
• Kết luận sự đồng biến và nghịch biến của hàm số trên các khoảng, hàm số không có cực trị.
• Tìm điểm uốn nếu có.
• Tìm một vài điểm đồ thị hàm số đi qua.